精品解析：湖南省长沙市雨花区明德雨花实验中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2025年上学期期末监测试卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A. 6，8，9 B. C. 5，7，10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握其逆定理内容是解题关键． 欲判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，等于就是直角三角形，否则不是． 【详解】解：A、因为，不能构成直角三角形； B、因为，不能构成直角三角形； C、因为，不能构成直角三角形； D、因为，能构成直角三角形； 故选：D． 3. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某学校对本校教师进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：21，60，55，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 55 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列为：21，26，30，55，60， 所以这组数据的中位数为30， 故选：D． 4. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为分，复赛成绩为分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是根据加权平均数计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：小颖同学的总成绩为：（分）． 故选：B． 5. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2025 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 7. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线F处．若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．根据矩形的性质和勾股定理可得，，根据折叠可得，进而得到，设，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】在矩形中， ， ， ∴， ， 根据折叠可得： ， ∴， 设， 则， ， ， 在中： ， 解得： ， 故选A 8. 一次函数，下列结论正确的是（    ） A. 的值随值的增大而增大 B. 它的图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 它的图象必经过点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，故本选项正确，符合题意； D、当时，，它的图象必经过点，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 9. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 10. 如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）________． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形性质得出，，则，证明，推出，求出即可判断；取的中点，的中点，连接，，，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断；由知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到正确；延长至，使得，证，推出，，求出是等腰直角三角形，即可判断． 【详解】解：如图， ∵正方形，，均为中点， ∴，，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正确； 如图，取的中点，的中点，连接，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，，三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴正确； 由知：， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴；故正确； 如图，延长至，使得，连接， ∵， ∴， 又∵，分别是，的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线等知识点的综合运用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解． 根据分母不为0，列出不等式即可求解． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 则， 解得； 故答案为：． 12. 甲、乙、丙、丁四名学生最近5次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是____． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的离散程度．极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度的量．当平均数相同时，极差、方差、标准差越小，表明这一组数据越稳定．掌握以上知识是解题的关键．比较四个人的方差的大小，方差最小的成绩最稳定． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四名学生最近5次数学测试的平均分相同， 而方差分别为，，，， ， 甲的成绩最稳定． 故答案为：甲． 13. 若菱形的两条对角线长分别为4和6，则该菱形的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果． 【详解】解：该菱形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 15. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】如图， ∵∠BAC=30°，∠BCA=90°， ∴AB=2CB， 而BC=4米， ∴AB=8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米． 故答案为12． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键． 16. 定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“蝴蝶”方程的定义，方程有两个相等的实数根即根的判别式等于零，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴或， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，点，． （1）求直线的解析式； （2）将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得平移后的直线解析式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵将直线向下平移4个单位后得到直线l， ∴直线l解析式为， 令，得；令，得； 直线l与坐标轴的交点坐标是、． 19. 校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 【答案】（1）蔬菜区边的长为 （2）花卉区的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ； 答：蔬菜区边的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴花卉区的面积， 答：花卉区的面积为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． 【小问1详解】 解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； 【小问2详解】 解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 21. 学校对八年级全体学生进行了一次生物模拟测试，成绩评定分为A，B，C，D四个等级（A，B，C，D分别代表优秀、良好、合格、不合格），学校从八年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成以下不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息解答下列问题； （1）本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； （2）将上面的条形统计图补充完整，写出扇形统计图中等级C的百分比 ． （3）若等级D的5名学生的成绩（单位：分）分别是43、48、52、58、52．则这5个数据的中位数是 分，众数是 分． （4）如果学校八年级共有500名学生，试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数． 【答案】（1）50 （2）图见解析， （3）52，52； （4）100人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题； （1）根据等级中男女人数之和除以所占的百分比即可得到调查的总学生数； （2）根据总学生数乘以占的百分比求出等级中男女的学生总数，进而求出等级男生的人数，总人数减去其余各组人数求出等级的男女之和人数，进而求出等级的女生人数，补全条形统计图即可； （3）将等级的五人成绩按照从小到大的顺序排列，找出最中间的数字即为中位数，找出出现次数最多的数字为众数； （4）用500乘以等级所占的百分比，即可得到结果． 【小问1详解】 解：本次调查抽取的学生人数为（名， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：等级人数为（人） 则等级男生有（人），等级女生有（人） 补全图形如下： 等级的百分比为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：这5个数据重新排列为43、48、52、52、58， 则这5个数据的中位数是52分，众数为52分， 故答案为：52，52； 【小问4详解】 解：， 答：估计在这次测试中成绩达到优秀的人数为100人． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 23. 某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩 （1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； （2）一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元） 销售量（件） ①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）种植黄桃亩数的年平均增长率为 （2）①；②销售单价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用，理解题意、正确求出一次函数解析式、列出一元二次方程是解题的关键． （1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为，根据“年种植黄桃亩，今年种植了亩”，列出方程，求解取舍得出答案即可； （2）①设，代入表格数据得出，求解得出与之间的函数关系式即可；②根据“以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元”、总利润单件利润销售量，得出方程求解，根据“要让顾客得到实惠”，取舍得出答案即可． 【小问1详解】 解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为， 由题意得：， ∴， ∵增长率大于， ∴， 答：种植黄桃亩数的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：①∵黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系， ∴设， 由表格得：当时，；当时，， 代入得：， 解得：， ∴； ②∵以每件元的价格购进该种黄桃销售，要使每天的销售利润为元，由①得， ∴， 整理得：，即， ∴或， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠，， ∴， 答：销售单价应定为元． 24. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）； （3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； （1）由，即可得出结论； （2）解方程，得到友好点； （3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可． 【小问1详解】 证明：， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的“友好点”为； 【小问3详解】 解：由题意，直线， 过定点， 两个根为，， ，， ， ，即． 25. 如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． （1）求证：； （2）如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2）（ⅰ），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（2）（ⅱ），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期末监测试卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（    ） A. 6，8，9 B. C. 5，7，10 D. 3. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某学校对本校教师进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：21，60，55，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 55 B. 26 C. 28 D. 30 4. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为分，复赛成绩为分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（　　） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2025 D. 2023 7. 如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线F处．若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 8. 一次函数，下列结论正确的是（    ） A. 的值随值的增大而增大 B. 它的图象经过一、二、三象限 C. 当时， D. 它的图象必经过点 9. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 10. 如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）________． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____． 12. 甲、乙、丙、丁四名学生最近5次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是____． 13. 若菱形的两条对角线长分别为4和6，则该菱形的面积为____． 14. 如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是_______． 15. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 16. 定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）． （2）． 18. 在平面直角坐标系中，点，． （1）求直线的解析式； （2）将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 19. 校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 21. 学校对八年级全体学生进行了一次生物模拟测试，成绩评定分为A，B，C，D四个等级（A，B，C，D分别代表优秀、良好、合格、不合格），学校从八年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成以下不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息解答下列问题； （1）本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； （2）将上面的条形统计图补充完整，写出扇形统计图中等级C的百分比 ． （3）若等级D的5名学生的成绩（单位：分）分别是43、48、52、58、52．则这5个数据的中位数是 分，众数是 分． （4）如果学校八年级共有500名学生，试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 某地年种植黄桃亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年种植了亩 （1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； （2）一水果店以每件元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元） 销售量（件） ①求与之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围） ②若要使每天的销售利润为元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？ 24. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）； （3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 25. 如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． （1）求证：； （2）如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $