精品解析：湖南省长沙市雨花区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年上学期期末质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 一组数据3，5，1，4，5的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（　　） A B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实根的个数与的取值有关 D. 没有实数根 5. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C ， D. ， 6. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 7. 下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直线与轴的交点坐标为______． 12. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为______． 13. 小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为______． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是______个． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分面积为__________． 16. 若实数、满足，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求斜边的长． 19. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求的值． 20. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； （2）综合上表中统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 21. 新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展．某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）该镇旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 22. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？ （2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度，问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ （4）小明出发多长时间离家1200米？ 23. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．以为边在第二象限内作正方形． （1）求点，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 25. 如图，在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分别交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连接，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期期末质量监测试卷 八年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 一组数据3，5，1，4，5的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将这5个数从小到大排列此数据为：1，3，4，5，5， ∵第3个数据为4， ∴中位数为4． 故选：C． 【点睛】本题属于基础题，主要考查的是中位数的定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数． 2. 若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数y=-x+b中k=-1<0，b<0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定．进行判断即可，解题的关键是要掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是甲， 故选：． 4. 已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 实根的个数与的取值有关 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是　　 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项进行判断即可. 【详解】A、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意； B、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意； C、由，不能判断四边形ABCD是平行四边形,有可能是等腰梯形；故本选项符合题意； D、由，可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键. 6. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 7. 下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数解析式的求法．正比例函数解析式为：，将各点坐标代入求出的值即可解答． 【详解】解：设正比例函数解析式为：； 将代入可得， 解得：； 将代入可得， 解得：； 将代入可得； 正比例函数过坐标原点， 点，，均在正比例函数的图像上； 故选：D 8. 如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由三角形的中位线定理可得，然后根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：A． 9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A. 2或6 B. 2或8 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与轴的交点，熟练掌握一次函数图像与坐标轴的交点坐标的关系是解题的关键．令，得到即可得到答案． 【详解】解；根据题意可得； 直线与轴的交点，则； 将代入，可得： 故答案为： 12. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．先利用勾股定理求出，再利用三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差即可得． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， ； 故答案为： 13. 小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为______． 【答案】8.4分 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意可得： 故小雅的最终比赛成绩为分 故答案为：分． 14. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个主干长出的支干数量是______个． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---传播问题，等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支． ， ， 解得（不合题意，舍去），， 故答案为：9． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及矩形的性质，根据矩形的性质及翻折变换的性质求得，根据题意可得，，求解即可． 【详解】解：矩形， ，，， 由翻折变换的性质可得，，， ， ， ，， 设，则， 在△中，， 即， 解得， ． 故答案为：10． 16. 若实数、满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，原式化为，整理后利用因式分解法求出z的值，再根据舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 原式化为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，， ∵， ∴，即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了换元法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握换元思想的应用是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法．方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程变形得：， 即， 解得：，． 18. 如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）求斜边的长． 【答案】（1）30 （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据三角形的面积公式计算，即可求解； （2）根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：； 小问2详解】 解：． 19. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把和两点坐标代入中，建立方程组，求出，的值即可得结果． （2）令（1）中求得的解析式中，求出即可． 【小问1详解】 解：把和两点坐标代入中得， ， 解得， 一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 当时，， 当时，的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法是解题关键． 20. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】（1）8，9，＜ （2）小刘应选择甲公司，理由见解析 （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答； （2）综合分析表中的统计量，即可解答； （3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一． 本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10， 从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为，即， 其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定， 即； 故答案为：8，9，． 【小问2详解】 解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． 【小问3详解】 解：∵根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势， ∴除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一）． 21. 新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展．某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同． （1）该镇旅游收入的年增长率； （2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？ 【答案】（1）20%；（2）预计2021年旅游收入达到2592万元． 【解析】 【分析】（1）设该镇旅游收入的年增长率为x，根据题意列出等量关系进行求解即可； （2）相等关系是：2021年盈利=2020年盈利×（1+年增长率）． 【详解】解：（1）设该镇旅游收入的年增长率为x， 根据题意得：1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每年盈利的年增长率为20%； （2）2160（1+0.2）=2592， 答：预计2021年旅游收入达到2592万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 22. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？ （2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？ （3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度，问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ （4）小明出发多长时间离家1200米？ 【答案】（1）1500米，4分钟 （2）2700米 （3）在整个上学途中12～14分钟时间段小明的骑车速度最快，速度不在安全限度 （4）6分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）根据图象即可求得； （2）根据图象可知； （3）根据图象可知，从12分钟至14分钟小明的骑车速度最快，根据“路程÷间=速度”即可判断； （4）设小明出发t分钟时，小明离家1200米，根据图象以及列方程即可求解． 【小问1详解】 由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，小明在书店停留了（分钟）； 【小问2详解】 小明一共行驶了：（米）； 【小问3详解】 当时间在0～6分钟内时，速度为：米/分钟， 当时间在6～8分钟内时，速度为：米/分钟， 当时间在12～14分钟内时，速度为：米/分钟， ，∴在整个上学途中12～14分钟时间段小明的骑车速度最快，速度不在安全限度； 【小问4详解】 设分钟时，小明离家1200米，则或，得， 即小明出发6分钟或分钟离家1200米． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义并求出速度是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．以为边在第二象限内作正方形． （1）求点，的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证，，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 四边形为正方形， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示． ，，， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，即； 同理，可证出：， ，， 点的坐标为，即． 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，如图2所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及全等三角形的性质，求出，，，的长；（2）利用两点之间线段最短，找出点的位置． 24. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）是 （2）26或5 （3）13或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 ， ， ， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 ， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或， ∴m的值为13或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． 25. 如图，在平行四边形中，过点作，过点作的垂线，分别交于点，且，． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）连接，证明：． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． （1）根据平行四边形的性质进行推导即可解题； （2）证明，然后得到，，进而得到，过点作交延长线于，由，则可得到为平行四边形，然后在等腰直角中利用勾股定理计算解题； （3）过点作，交延长线于，证明，，得到是等腰直角三角形，然后利用勾股定理推理即可． 【小问1详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， ，， ， ， ， 过点作交延长线于，由， ∴为平行四边形 为等腰直角三角形，，， ； 【小问3详解】 过点作，交延长线于， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$