2026届高三上学期入学模拟考试数学试卷（新高考I卷地区）

2026届高三入学模拟考试 （新高考I卷） 科 目：数 学 （试题卷） 注意事项： 1.答题前，请考生将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。 姓 名_____________________ 准考证号_____________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 2026届高三入学模拟考试 数学（试题卷） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合A={x|-3<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=(　　) A.{x|-3<x<2}　　B.{x|0≤x≤2} C.{x|-3<x≤2}　　D.{x|0≤x<1} 2.已知复数z(2+i)=1,则=(　　) A.　　　　B.　　　C.　　　D. 3.植树节这天,某学校组织5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种数为(　　) A.30　　　　B.36　　　　C.40　　　　D.42 4.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(　　) A.必要不充分条件　　B.充分不必要条件　　 C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 5.已知数列{an}满足a1=,且对任意s,t∈N*,都有as+t=asat,记数列的前n项和为Sn,若Sm≥2 023,则m的最小值为(　　) A.9　　 　B.10　　 　C.11　　 　D.12 6.为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象(　　) A.向右平移个单位长度　　B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度　　D.向左平移个单位长度 7.已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|F1F2|=,I为三角形PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为(　　) A.　 　B.2-1　　 C.+1　　D.-1 8.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,e)　　　 B.(-∞,-e)　　　 C.(-∞,2e)　　　 D.(-∞,-2e) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知实数x,y>0,x+y=1,则(　　) A.+≥9　　B.+≥2 C.log2x+log2y≤-2　　D.logxy+logyx≥2 2026届高三入学模拟考试数学 第1页（共4页） A.+≥9　　 B.+≥2 C.log2x+log2y≤-2　　 D.logxy+logyx≥2 10.在(2x-1)8的展开式中,下列说法正确的有(　　) A.展开式中所有项的系数和为28 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C.展开式中二项式系数最大的项为第五项 D.展开式中含x3的项的系数为-448 11.阿基米德是伟大的物理学家,更是伟大的数学家,他曾经对抛物线做过系统而深入的研究,并定义了抛物线阿基米德三角形:抛物线的弦与抛物线在弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C:y=x2上两个不同点A,B的横坐标分别为x1,x2,分别以A,B为切点的抛物线的两条切线交于P点.则下列关于抛物线阿基米德三角形PAB的说法中,正确的有(　　) A.若弦AB过抛物线的焦点,则P点一定在抛物线的准线上 B.若抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,则其面积为 C.若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则其面积有最小值 D.一般情况下,抛物线阿基米德三角形PAB的面积S= 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前20项和S20=____________. 13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则P(B|A)=____________. 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,|PA|=|AB|=2,点E,F分别为CD,CP的中点,点T为△PAB内的一个动点(包括边界),若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据: 月份x 1 2 3 4 5 不戴头盔人数y 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程; (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关. 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式:xiyi=1 215,,χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 2026年届高三入学模拟考试数学 第2页（共4页） 生物第3页（共7页） (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关. 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式:xiyi=1 215,,χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 16.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设是首项为1,公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 17.（15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB=DC,PD=AD=1,M为棱PC的中点. (1)证明:BM∥平面PAD; (2)若PC=,AB=1. (i)求二面角P-DM-B的余弦值; (ii)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 18.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(2,0),且点(2,)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F的直线交椭圆于A,B两点(直线不与坐标轴垂直),已知点A与点P关于x轴对称,证明:直线PB恒过定点,并求出此定点的坐标. 19.（17分）已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2. ①求实数a的取值范围; ②求证:+>. 2026届高三入学模拟考试数学 第3页（共3页） 生物第3页（共9页） 2026届高三入学模拟考试数学 第4页（共4页） (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2. ①求实数a的取值范围; ②求证:+>. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2026 届高三入学模拟考试数字参考答案及评分细则 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B B A D D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12.110 13.0.5 14. 53 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） (1)由题表得x= 1+2+3+4+5 5 =3, y= 120+100+90+75+65 5 =90,∑ i=1 5 xi2=55, (2分) 所以b ^ = ∑ i=1 5 xiyi-5x y ∑ i=1 5 xi 2-5x2 = 1 215-5×3×90 55-5×32 =-13.5, a ^ =y−b ^ x=90+13.5×3=130.5, (4分) 所以经验回归方程为y ^ =-13.5x+130.5 . (6分) (2)零假设 H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关. (8分) 由题意得χ2=100×(15×50-10×25) 2 25×75×40×60 ≈5.556>3.841=x0.05, (10分) 依据α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不 大于 0.05. (13分) 16.（15分） (1)由已知得 S3+S5=50, a42=a1a13, 即 3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 5×4 2 d=50, (a1+3d)2=a1(a1+12d), (2分) 整理得 8a1+13d=50, d(3d-2a1)=0, 又 d≠0,所以 d=2,a1=3, (4分) 所以数列{an}的通项公式是 an=2n+1. (5分) (2)①因为 bn an 是首项为 1,公比为 3的等比数列,所以bn an =1×3n-1=3n-1,由(1)可得 an=2n+1,所以 bn=(2n+1)·3n-1, (7分) 所以 Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n =3+2×3(1-3 n-1) 1-3 -(2n+1)·3n=-2n·3n, (9分) 所以 Tn=n·3n. (10分) ②由(1)得 Sn= n(3+2n+1) 2 =n2+2n, (11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切 n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切 n∈N*恒成立,所以λ≤ 2-n 3n 对一切 n∈N*恒成立. 令 f(n)=2-n 3n (n∈N*),则 f(n)min≥λ, (12分) 易得 f(n+1)-f(n)= 1-n 3n+1 -2-n 3n =2n-5 3n+1 , 当 1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当 n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以 f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…, (14分) 所以 f(n)min=f(3)=- 1 27 ,故λ≤- 1 27 ,即实数λ的最大值是- 1 27 . (15分) 17.（15分） 9 10 11 ACD BCD ABC (1)证明:如图,取 PD的中点 E,连接ME,AE, ∵M为棱 PC的中点,∴ME∥DC,ME=1 2 DC, (2分) 又 AB∥DC,AB=1 2 DC,∴ME∥AB,ME=AB, ∴四边形ABME是平行四边形,∴BM∥AE, (4分) 又 AE⊂平面 PAD,BM⊄ 平面 PAD,∴BM∥平面 PAD. (6分) (2)∵AB=1,AB=1 2 DC,∴DC=2,又 PD=1,PC= 5,∴PC2=PD2+DC2,即 PD⊥DC, 又平面 PDC⊥平面 ABCD,平面 PDC∩平面 ABCD=DC,PD⊂平面 PDC, ∴PD⊥平面 ABCD,又 AD⊂平面 ABCD,∴PD⊥AD, 又 AD⊥DC,∴PD,AD,DC两两互相垂直, (8分) 如图,以 D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),M 0,1, 1 2 . (9分) (i)设平面 BDM的一个法向量为 m=(x,y,z), 则 m·DB =0, m·DM =0, 又DB =(1,1,0),DM = 0,1, 1 2 ,故 x+y=0, y+ 1 2 z=0,令 y=1,可得 x=-1,z=-2,∴m=(-1,1,-2), (10分) 又平面 PDM的一个法向量为DA =(1,0,0), ∴cos<m,DA >= m·DA |m||DA | = -1 1+1+4×1 =- 6 6 , (11分) 由图易知二面角 P-DM-B的平面角为钝角,∴二面角 P-DM-B的余弦值为- 6 6 . (12分) (ii)假设在线段 PA上存在点 Q,使得点 Q到平面 BDM的距离为 2 6 9 . 易得PA =(1,0,-1),PB =(1,1,-1),设PQ =λPA (0≤λ≤1),∴PQ =(λ,0,-λ), ∴BQ =PQ -PB =(λ,0,-λ)-(1,1,-1)=(λ-1,-1,1-λ), 由(i)知平面 BDM的一个法向量为 m=(-1,1,-2), ∴点 Q到平面 BDM的距离为 |BQ ·m| |m| =|λ-2| 6 ,则|λ-2| 6 =2 6 9 ,解得λ=2 3 或λ=10 3 , (14分) 又 0≤λ≤1,∴λ=2 3 ,故在线段 PA上存在点 Q,使得点 Q到平面 BDM的距离为 2 6 9 ,且 PQ PA =2 3 . (15分) 18.（17分） (1)由已知得 4 a2 + 2 b2 =1, a2=b2+c2, c=2, (3分) ∴ a2=8, b2=4, ∴椭圆 C的标准方程为 x2 8 +y 2 4 =1. (6分) (2)设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 A(x1,-y1), (7分) 由题可设直线 PB的方程为 y=kx+m, 联立 y=kx+m, x2 8 + y 2 4 =1, 消去 y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0, (9分) 则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0,∴x1+x2= -4km 2k2+1 ,x1x2= 2m2-8 2k2+1 , (11分) ∵A,F,B三点共线,AF =(2-x1,kx1+m),FB =(x2-2,kx2+m), ∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m), 整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0, (13分) ∴2k·2m 2-8 2k2+1 +(m-2k)· -4km 2k2+1 -4m=0,解得m=-4k, (15分) ∴直线 PB的方程为 y=kx-4k=k(x-4),则直线 PB恒过定点(4,0). (17分) 19.（17分） (1)因为 f(x)=ax+(a-1)ln x+1 x ,所以 f '(x)=a+a-1 x - 1 x2 =ax 2+(a-1)x-1 x2 =(x+1)(ax-1) x2 ,x>0. (2分) 当 a≤0时, f '(x)<0,所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当 a>0时,由 f '(x)>0得 x>1 a ,由 f '(x)<0得 0<x<1 a , 所以函数 f(x)的单调递增区间为 1 a ,+∞ ,单调递减区间为 0, 1 a . 综上,当 a≤0时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当 a>0时,函数 f(x)的单调递增区间为 1 a ,+∞ ,单调 递减区间为 0, 1 a . (5分) (2)①方程 f(x)=xex-ln x+1 x 可化为 xex=ax+aln x,即 ex+ln x=a(x+ln x). 令 t=x+ln x,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,且值域为 R, 结合题意,可知关于 t的方程 et=at(*)有两个不相等的实数根 t1,t2. 因为 t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为e t t =a. (7分) 令 g(t)=e t t ,t≠0,则 g'(t)=e t(t-1) t2 . 由 g'(t)<0得 t<0或 0<t<1,由 g'(t)>0得 t>1, 所以函数 g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数 g(t)的极小值为 g(1)=e, 当 t<0时,g(t)=e t t <0;当 t>0时,g(t)=e t t >0. (9分) 在同一平面直角坐标系内作出函数 y=g(t)的图象和直线 y=a,如图所示, 由图可知,当 a>e时,函数 y=g(t)的图象和直线 y=a有两个交点, 所以实数 a的取值范围是(e,+∞). (11分) ②证明:易知 x1>0,x2>0,要证 ex1 x2 +e x2 x1 > 2a x1x2 ,只需证 x1ex1+x2ex2>2a,即证 a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证 at1+at2>2a,即证 t1+t2>2. (12分) 结合①,不妨设 0<t1<1<t2. 因为 et=at,所以 t=ln a+ln t,即 t1=lna+ln t1, t2=lna+ln t2, 作差可得 t2-t1=ln t2 t1 . 所以只需证 t2+t1 t2-t1 > 2 lnt2t1 ,即证 t2 t1 +1 t2 t1 -1 > 2 lnt2t1 . 所以只需证 t2+t1 t2-t1 > 2 lnt2t1 ,即证 t2 t1 +1 t2 t1 -1 > 2 lnt2t1 . 令 p= t2 t1 ,则 p>1,只需证 ln p> 2(p-1) p+1 .(15分) 令 h(p)=ln p-2(p-1) p+1 ,p>1,则 h'(p)= 1 p - 4 (p+1)2 = (p-1) 2 p(p+1)2 >0, 所以 h(p)在(1,+∞)上单调递增,故 h(p)>h(1)=0,即 h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 2026 届高三入学模拟考试 （新高考 I 卷） 科 目：数 学 （试题卷） 注意事项： 1.答题前，请考生将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。 姓 名_____________________ 准考证号_____________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三入学模拟考试 数学（试题卷） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合 A={x|-3<x<1},B={x|0≤x≤2},则 A∪B=( ) A.{x|-3<x<2} B.{x|0≤x≤2} C.{x|-3<x≤2} D.{x|0≤x<1} 2.已知复数 z(2+i)=1,则 z =( ) A. 5 B. 5 5 C. 3 D. 3 3 3.植树节这天,某学校组织 5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种 数为( ) A.30 B.36 C.40 D.42 4.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知数列{an}满足 a1= 2 1 ,且对任意 s,t∈N*,都有 as+t=asat,记数列 1 an 的前 n项和为 Sn,若 Sm≥2 023,则m的最 小值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.为了得到 y=sin 5x- π 3 的图象,只需将函数 y=sin 5x的图象( ) A.向右平移 π 15 个单位长度 B.向左平移 π 15 个单位长度 C.向右平移π 5 个单位长度 D.向左平移π 5 个单位长度 7.已知点 P 为双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|F1F2|=b 2 a ,I为三角形 PF1F2的内心,若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立,则λ的值为( ) A.1+2 2 2 B.2 3-1 C. 2+1 D. 2-1 8.已知函数 f(x)= a+ e x ,x>0, e-x,x<0, 若方程 f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数 a的取值范围是( ) A.(-∞,e) B.(-∞,-e) C.(-∞,2e) D.(-∞,-2e) 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.已知实数 x,y>0,x+y=1,则( ) 2026届高三入学模拟考试数学 第 1页（共 4页） 学科网（北京）股份有限公司 A.4 x +1 y ≥9 B. x+ y≥2 C.log2x+log2y≤-2 D.logxy+logyx≥2 10.在(2x-1)8的展开式中,下列说法正确的有( ) A.展开式中所有项的系数和为 28 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为 128 C.展开式中二项式系数最大的项为第五项 D.展开式中含 x3的项的系数为-448 11.阿基米德是伟大的物理学家,更是伟大的数学家,他曾经对抛物线做过系统而深入的研究,并定义了抛物线阿 基米德三角形:抛物线的弦与抛物线在弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物 线 C:y=x2上两个不同点 A,B的横坐标分别为 x1,x2,分别以 A,B为切点的抛物线的两条切线交于 P点.则下列关 于抛物线阿基米德三角形 PAB的说法中,正确的有( ) A.若弦 AB过抛物线的焦点,则 P点一定在抛物线的准线上 B.若抛物线阿基米德三角形 PAB为正三角形,则其面积为 3 3 4 C.若抛物线阿基米德三角形 PAB为直角三角形,则其面积有最小值 1 4 D.一般情况下,抛物线阿基米德三角形 PAB的面积 S= |x1-x2|2 4 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分. 12.已知数列{an}满足 an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前 20项和 S20=____________. 13.设 A,B是一个随机试验中的两个事件,且 P(A)= 2 3 ,P(B)= 1 2 ,P(A+B)= 5 6 ,则 P(B|A)=____________. 14.如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD为正方形,|PA|=|AB|=2,点 E,F分别为 CD,CP的中点, 点 T为△PAB内的一个动点(包括边界),若 CT∥平面 AEF,则点 T的轨迹的长度为____________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进 行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续 5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据: 月份 x 1 2 3 4 5 不戴头盔人数 y 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数 y与月份 x之间的经验回归方程y ^ =b ^ x+a ^ ; (2)交管部门统计连续 5 年来通过该路口的电动自行车出事故的 100 人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,2026年届高三入学模拟考试数学 第 2页（共 4页） 学科网（北京）股份有限公司 生物第 3 页（共 9 页） 生物第 3 页（共 7 页） (2)交管部门统计连续 5年来通过该路口的电动自行车出事故的 100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得 到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关. 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式:∑ i=1 5 xiyi=1 215,b ^ = ∑ i=1 n xiyi-nxy ∑ i=1 n xi2-nx 2 ,a ^ =y−b ^ x,χ2= n(ad-bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 16.（15分）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn an 是首项为 1,公比为 3的等比数列. ①求数列{bn}的前 n项和 Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切 n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 17.（15分)如图,在四棱锥 P-ABCD中,平面 PDC⊥平面 ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB=1 2 DC,PD=AD=1,M为棱 PC 的中点. (1)证明:BM∥平面 PAD; (2)若 PC= 5,AB=1. (i)求二面角 P-DM-B 的余弦值; (ii)在线段 PA上是否存在点 Q,使得点 Q到平面 BDM的距离是2 6 9 ?若存在,求出PQ PA 的值;若不存在,说明理由. 18.(17分)已知椭圆 C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的右焦点 F的坐标为(2,0),且点(2, 2)在椭圆 C上. (1)求椭圆 C的方程; (2)过点 F的直线交椭圆于 A,B两点(直线不与坐标轴垂直),已知点 A与点 P关于 x轴对称,证明:直线 PB恒过定 点,并求出此定点的坐标. 19.（17分）已知函数 f(x)=ax+(a-1)ln x+1 x ,a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; 2026届高三入学模拟考试数学 第 3页（共 3页） 学科网（北京）股份有限公司 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若关于 x的方程 f(x)=xex-ln x+1 x 有两个不相等的实数根 x1,x2. ①求实数 a的取值范围; ②求证: ex1 x2 +e x2 x1 > 2a x1x2 . 2026届高三入学模拟考试数学 第 4页（共 4页） 2026届高三入学模拟考试 （新高考I卷） 科 目：数 学 （试题卷） 注意事项： 1.答题前，请考生将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题号； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面整洁。 姓 名_____________________ 准考证号_____________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 2026届高三入学模拟考试 数学（试题卷） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合A={x|-3<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=(　　) A.{x|-3<x<2}　　B.{x|0≤x≤2} C.{x|-3<x≤2}　　D.{x|0≤x<1} 解析：C A={x|-3<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B={x|-3<x≤2} 2.已知复数z(2+i)=1,则=(　　) A.　　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B 原式化简得，∴= 3.植树节这天,某学校组织5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种数为(　　) A.30　　　　B.36　　　　C.40　　　　D.42 解析：C若丙在第一或第五位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,和剩余的两个学生进行全排列,因此不同的浇水顺序有2=24种;若丙在第二位或第四位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,且甲、乙这个整体只能有两种选择,再将剩余的两位同学全排列,因此不同的浇水顺序有2×2=16种,所以不同的浇水顺序共有24+16=40种. 4.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(　　) A.必要不充分条件　　B.充分不必要条件　　 C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 解析：B　若a=1,则l1:x+2y-1=0,l2:x+2y+4=0,显然l1与l2平行,故充分性成立; 若l1∥l2,则a(a+1)-2=0,且4a-(-1)≠0,解得a=1或a=-2,故必要性不成立, 所以“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件. 5.已知数列{an}满足a1=,且对任意s,t∈N*,都有as+t=asat,记数列的前n项和为Sn,若Sm≥2 023,则m的最小值为(　　) A.9　　 　B.10　　 　C.11　　 　D.12 解析：B　令s=n,t=1,则an+1=ana1,又a1=,∴an+1=an,∴数列{an}是以为首项,为公比的等比数列, ∴an=×=,故=2n=2×2n-1,∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,∴Sn==2n+1-2. 由Sm≥2 023得2m+1-2≥2 023,即2m+1≥2 025,∵210=1 024,211=2 048,∴m+1≥11,即m≥10,∴m的最小值为10. 6.为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象(　　) A.向右平移个单位长度　　B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度　　D.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度　　D.向左平移个单位长度 解析：A　y=sin=sin,所以为了得到y=sin的图象,只需将函数y=sin 5x的图象向右平移个单位长度. 7.已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|F1F2|=,I为三角形PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为(　　) A.　 　B.2-1　　 C.+1　　D.-1 解析：D　设△PF1F2的内切圆半径为r,P在第一象限内,如图, 则=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2c·r=cr, 依题意得|PF1|·r=|PF2|·r+λcr, 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, 因此λ==, ∵|F1F2|=,∴2c==,∴+-1=0, 解得=±-1,又>0,∴λ==-1. 8.已知函数f(x)=若方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,e)　　　 B.(-∞,-e)　　　 C.(-∞,2e)　　　 D.(-∞,-2e) 解析：D　设g(x)=f(x)+ex.因为方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根,所以函数g(x)=f(x)+ex有三个零点, 当x∈(-∞,0)时,g(x)=f(x)+ex=e-x+ex,则g'(x)=-e-x+e,所以当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,当x∈(-1,0)时,g'(x)>0, 所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,则g(x)≥g(-1)=0,且当x→0-时,g(x)→1;当x→-∞时,g(x)→+∞. 当x∈(0,+∞)时,g(x)=f(x)+ex=a++ex,则g'(x)=-+e=, 所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 则g(x)≥g(1)=a+2e,且当x→0+时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.综上所述,g(x)的大致图象如图所示, 由图可知,当a+2e<0,即a<-2e时,函数g(x)=f(x)+ex有三个零点,即方程f(x)+ex=0存在三个不相等的实根. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 生物第3页（共7页） 9.已知实数x,y>0,x+y=1,则(　　) A.+≥9　　 B.+≥2 C.log2x+log2y≤-2　　 D.logxy+logyx≥2 解析：ACD　对于A,因为x>0,y>0,x+y=1,所以+=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当x=,y=时等号成立,故A正确; 对于B,因为x>0,y>0,x+y=1,所以=x+y+2≤1+x+y=2,故+≤,当且仅当x=y=时等号成立,故B错误; 对于C,因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤=,当且仅当x=y=时等号成立,故log2x+log2y=log2(xy)≤-2,故C正确; 对于D,因为x,y>0,x+y=1,所以0<x<1,0<y<1,故>0,>0, logxy+logyx=+≥2=2,当且仅当x=y=时等号成立,故D正确. 10.在(2x-1)8的展开式中,下列说法正确的有(　　) A.展开式中所有项的系数和为28 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C.展开式中二项式系数最大的项为第五项 D.展开式中含x3的项的系数为-448 解析：BCD　对于A,令x=1,可知展开式中所有项的系数和为1,A错误;对于B,展开式中所有奇数项的二项式系数和为=128,B正确;对于C,易知展开式中二项式系数最大的项为第五项,C正确;对于D,展开式中含x3的项为×(2x)3×(-1)5=-448x3,D正确.故选BCD. 11.阿基米德是伟大的物理学家,更是伟大的数学家,他曾经对抛物线做过系统而深入的研究,并定义了抛物线阿基米德三角形:抛物线的弦与抛物线在弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C:y=x2上两个不同点A,B的横坐标分别为x1,x2,分别以A,B为切点的抛物线的两条切线交于P点.则下列关于抛物线阿基米德三角形PAB的说法中,正确的有(　　) A.若弦AB过抛物线的焦点,则P点一定在抛物线的准线上 B.若抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,则其面积为 C.若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则其面积有最小值 D.一般情况下,抛物线阿基米德三角形PAB的面积S= 解析：ABC　由题意可知,直线AB的斜率一定存在,所以可设直线AB的方程为y=kx+m, 由题意可知,点A(x1,),B(x2,),不妨设x1<0<x2, 易得切线PA,PB的方程分别为y-=2x1(x-x1),y-=2x2(x-x2), 两方程联立,得 解得所以P点的坐标为. 将直线AB的方程与抛物线方程联立,得消去y,得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m. 对于A,抛物线C:y=x2的焦点坐标为,准线方程为y=-, 因为弦AB过抛物线的焦点,所以m=,则x1x2=-m=-, 显然P点一定在抛物线的准线上,故A中说法正确; 对于B,因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|PB|,即=, 化简得(x2-x1)3(x2+x1)=0,因为x1≠x2,所以x1=-x2, 故A(x1,),B(-x1,),P(0,-), 因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|AB|, 所以=2|x1|,解得x1=-, 因此正三角形PAB的边长为, 所以正三角形PAB的面积为×××sin 60°=×××=,故B中说法正确; 对于C,若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则PA⊥PB, 有kPA·kPB=-1,即·=-1,即x1x2=-, 则m=-x1x2=,即直线AB的方程为y=kx+, 所以P点坐标为,点P到直线AB的距离为 =, |AB|== ===1+k2, 因此直角三角形PAB的面积为×××(k2+1)=≥,当且仅当k=0时取等号,则其面积有最小值,故C中说法正确; 对于D,因为x1+x2=k,x1x2=-m,所以|AB|===|x1-x2|, 点P到直线AB的距离为==·, 所以抛物线阿基米德三角形PAB的面积S=·|x1-x2|··=,故D中说法不正确. 生物第3页（共9页） 将直线AB的方程与抛物线方程联立,得消去y,得x2-kx-m=0,则x1+x2=k,x1x2=-m. 对于A,抛物线C:y=x2的焦点坐标为,准线方程为y=-, 因为弦AB过抛物线的焦点,所以m=,则x1x2=-m=-, 显然P点一定在抛物线的准线上,故A中说法正确; 对于B,因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|PB|,即=, 化简得(x2-x1)3(x2+x1)=0,因为x1≠x2,所以x1=-x2,故A(x1,),B(-x1,),P(0,-), 因为抛物线阿基米德三角形PAB为正三角形,所以有|PA|=|AB|, 所以=2|x1|,解得x1=-, 因此正三角形PAB的边长为, 所以正三角形PAB的面积为×××sin 60°=×××=,故B中说法正确; 对于C,若抛物线阿基米德三角形PAB为直角三角形,则PA⊥PB, 有kPA·kPB=-1,即·=-1,即x1x2=-,则m=-x1x2=,即直线AB的方程为y=kx+, 所以P点坐标为,点P到直线AB的距离为=, |AB|== ===1+k2, 因此直角三角形PAB的面积为×××(k2+1)=≥,当且仅当k=0时取等号,则其面积有最小值,故C中说法正确; 对于D,因为x1+x2=k,x1x2=-m,所以|AB|===|x1-x2|, 点P到直线AB的距离为==·, 所以抛物线阿基米德三角形PAB的面积S=·|x1-x2|··=,故D中说法不正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知数列{an}满足an+1+(-1)nan=n,则数列{an}的前20项和S20=____________. 解析：110 当n为奇数时,可得所以an+1+an-1=2n-1,n≥3; 当n为偶数时,可得 所以an+1+an-1=1,n≥2, 所以S20=(a1+a3+a5+a7+…+a17+a19)+(a2+a4+a6+a8+…+a18+a20) =1×5+(5+13+21+29+37)=110. 13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则P(B|A)=____________. 解析： 因为P(A+, 所以P(AB)=,于是P(B 解析　因为P(A+, 所以P(AB)=,于是P(B|A)=. 13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则P(B|A)=____________. 所以P(AB)=,于是P(B|A)= 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,|PA|=|AB|=2,点E,F分别为CD,CP的中点,点T为△PAB内的一个动点(包括边界),若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为____________. 解析： 由题意知,PA,AB,AD两两互相垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 记AB的中点为G,连接CG, 因为四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,所以AG∥CE,且AG=CE, 所以四边形AGCE为平行四边形,所以CG∥AE, 又CG⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,所以CG∥平面AEF, 记点T的轨迹与PB交于点H,连接GH,CH,由题知CH∥平面AEF, 因为直线CH,CG是平面CHG内的相交直线,所以平面CHG∥平面AEF,所以线段GH即为点T的轨迹, 易得A(0,0,0),E(1,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),F(1,1,1),B(2,0,0),所以=(2,0,-2),=(-2,-2,2),=(1,2,0),=(1,1,1), 设=λ,则=+=+λ=(-2,-2,2)+λ(2,0,-2)=(2λ-2,-2,2-2λ), 设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量,则令y=1,得x=-2,z=1,则n=(-2,1,1), 因为⊥n,所以-2(2λ-2)-2+2-2λ=0,解得λ=,则=,又==(1,2,0), 所以=+=(1,2,0)+=,所以||==,即点T的轨迹的长度为. 15.（13分）根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据: 月份x 1 2 3 4 5 不戴头盔人数y 120 100 90 75 65 (1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程; (1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程; (2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关. 不戴头盔 戴头盔 伤亡 15 10 不伤亡 25 50 参考数据和公式:xiyi=1 215,,χ2=,n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解析：(1)由题表得=55, (2分) 所以=-13.5, =90+13.5×3=130.5, (4分) 所以经验回归方程为=-13.5x+130.5 . (6分) (2)零假设H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关. (8分) 由题意得χ2=≈5.556>3.841=x0.05,　 (10分) 依据α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不大于0.05. (13分) 16.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设是首项为1,公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn; ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立,求实数λ的最大值. 解析：(1)由已知得即 (2分) 整理得又d≠0,所以d=2,a1=3, (4分) 所以数列{an}的通项公式是an=2n+1. (5分) (2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1, (7分) 所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n =3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n, (9分) 所以Tn=n·3n. (10分) ②由(1)得Sn==n2+2n, (11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ, (12分) 易得f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…, (14分) 所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-. (15分) (7分) 所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n=3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n, (9分) 所以Tn=n·3n. (10分) ②由(1)得Sn==n2+2n, (11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ, (12分) 易得f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…, (14分) 所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-. (15分) 17.（15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB=DC,PD=AD=1,M为棱PC的中点. (1)证明:BM∥平面PAD; (2)若PC=,AB=1. (i)求二面角P-DM-B的余弦值; (ii)在线段PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 解析：(1)证明:如图,取PD的中点E,连接ME,AE, ∵M为棱PC的中点,∴ME∥DC,ME=DC, (2分) 又AB∥DC,AB=DC,∴ME∥AB,ME=AB, ∴四边形ABME是平行四边形,∴BM∥AE, (4分) 又AE⊂平面PAD,BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD. (6分) (2)∵AB=1,AB=DC,∴DC=2,又PD=1,PC=,∴PC2=PD2+DC2,即PD⊥DC, 又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PD⊂平面PDC, ∴PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD, 又AD⊥DC,∴PD,AD,DC两两互相垂直, (8分) 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),M. (9分) (i)设平面BDM的一个法向量为m=(x,y,z), 则又=(1,1,0),=,故令y=1,可得x=-1,z=-2,∴m=(-1,1,-2), (10分) 又平面PDM的一个法向量为=(1,0,0), ∴cos<m,>===-, (11分) 由图易知二面角P-DM-B的平面角为钝角,∴二面角P-DM-B的余弦值为-. (12分) (ii)假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为. 易得=(1,0,-1),=(1,1,-1),设=λ(0≤λ≤1),∴=(λ,0,-λ), ∴=-=(λ,0,-λ)-(1,1,-1)=(λ-1,-1,1-λ), 由(i)知平面BDM的一个法向量为m=(-1,1,-2), ∴点Q到平面BDM的距离为=,则=,解得λ=或λ=, (14分) 又0≤λ≤1,∴λ=,故在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为,且=. (15分) (2)∵AB=1,AB=DC,∴DC=2,又PD=1,PC=,∴PC2=PD2+DC2,即PD⊥DC, 又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PD⊂平面PDC, ∴PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD, 又AD⊥DC,∴PD,AD,DC两两互相垂直, (8分) 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),M. (9分) (i)设平面BDM的一个法向量为m=(x,y,z), 则又=(1,1,0),=,故令y=1,可得x=-1,z=-2,∴m=(-1,1,-2), (10分) 又平面PDM的一个法向量为=(1,0,0),∴cos<m,>===-, (11分) 由图易知二面角P-DM-B的平面角为钝角,∴二面角P-DM-B的余弦值为-. (12分) (ii)假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为. 易得=(1,0,-1),=(1,1,-1),设=λ(0≤λ≤1),∴=(λ,0,-λ),∴=-=(λ,0,-λ)-(1,1,-1)=(λ-1,-1,1-λ), 由(i)知平面BDM的一个法向量为m=(-1,1,-2), ∴点Q到平面BDM的距离为=,则=,解得λ=或λ=, (14分) 又0≤λ≤1,∴λ=,故在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为,且=. (15分) 18.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(2,0),且点(2,)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F的直线交椭圆于A,B两点(直线不与坐标轴垂直),已知点A与点P关于x轴对称,证明:直线PB恒过定点,并求出此定点的坐标. 解析：(1)由已知得 (3分) ∴∴椭圆C的标准方程为+=1. (6分) (2)设P(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,-y1), (7分) 由题可设直线PB的方程为y=kx+m, 联立消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0, (9分) 则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0,∴x1+x2=,x1x2=, (11分) ∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m), ∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m), 整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0, (13分) ∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k, (15分) ∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0). (17分) ∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m), ∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m), 整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0, (13分) ∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k, (15分) ∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0). (17分) 19.（17分）已知函数f(x)=ax+(a-1)ln x+,a∈R. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=xex-ln x+有两个不相等的实数根x1,x2. ①求实数a的取值范围; ②求证:+>. 解析：(1)因为f(x)=ax+(a-1)ln x+,所以f '(x)=a+-==,x>0. (2分) 当a≤0时, f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当a>0时,由f '(x)>0得x>,由f '(x)<0得0<x<, 所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (5分) (2)①方程f(x)=xex-ln x+可化为xex=ax+aln x,即ex+ln x=a(x+ln x). 令t=x+ln x,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,且值域为R, 结合题意,可知关于t的方程et=at(*)有两个不相等的实数根t1,t2. 因为t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为=a. (7分) 令g(t)=,t≠0,则g'(t)=. 由g'(t)<0得t<0或0<t<1,由g'(t)>0得t>1, 所以函数g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数g(t)的极小值为g(1)=e, 当t<0时,g(t)=<0;当t>0时,g(t)=>0. (9分) 在同一平面直角坐标系内作出函数y=g(t)的图象和直线y=a,如图所示, 由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点, 所以实数a的取值范围是(e,+∞). (11分) ②证明:易知x1>0,x2>0,要证+>,只需证x1+x2>2a,即证a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证at1+at2>2a,即证t1+t2>2. (12分) 结合①,不妨设0<t1<1<t2. 因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln. 由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点, 所以实数a的取值范围是(e,+∞). (11分) ②证明:易知x1>0,x2>0,要证+>,只需证x1+x2>2a,即证a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证at1+at2>2a,即证t1+t2>2. (12分) 结合①,不妨设0<t1<1<t2. 因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln. 所以只需证>,即证>. 令p=,则p>1,只需证ln p>.(15分) 令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=-=>0, 所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届高三入学模拟考试数字参考答案及评分细则 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B B A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.110 13.0.5 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） (1)由题表得=55, (2分) 所以=-13.5, =90+13.5×3=130.5, (4分) 所以经验回归方程为=-13.5x+130.5 . (6分) (2)零假设H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关. (8分) 由题意得χ2=≈5.556>3.841=x0.05,　 (10分) 依据α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不大于0.05. (13分) 16.（15分） (1)由已知得即 (2分) 整理得又d≠0,所以d=2,a1=3, (4分) 所以数列{an}的通项公式是an=2n+1. (5分) (2)①因为是首项为1,公比为3的等比数列,所以=1×3n-1=3n-1,由(1)可得an=2n+1,所以bn=(2n+1)·3n-1, (7分) 所以Tn=3×30+5×31+7×32+…+(2n+1)·3n-1, 3Tn=3×31+5×32+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,-2Tn=3+2×(31+32+…+3n-1)-(2n+1)·3n =3+2×-(2n+1)·3n=-2n·3n, (9分) 所以Tn=n·3n. (10分) ②由(1)得Sn==n2+2n, (11分) 所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N*恒成立即λn·3n+n2-2n≤0对一切n∈N*恒成立,所以λ≤对一切n∈N*恒成立. 令f(n)=(n∈N*),则f(n)min≥λ, (12分) 易得f(n+1)-f(n)=-=, 当1≤n≤2时, f(n+1)-f(n)<0,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0, 所以f(1)>f(2)>f(3), f(3)<f(4)<f(5)<…, (14分) 所以f(n)min=f(3)=-,故λ≤-,即实数λ的最大值是-. (15分) 17.（15分） 9 10 11 ACD BCD ABC (1)证明:如图,取PD的中点E,连接ME,AE, ∵M为棱PC的中点,∴ME∥DC,ME=DC, (2分) 又AB∥DC,AB=DC,∴ME∥AB,ME=AB, ∴四边形ABME是平行四边形,∴BM∥AE, (4分) 又AE⊂平面PAD,BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD. (6分) (2)∵AB=1,AB=DC,∴DC=2,又PD=1,PC=,∴PC2=PD2+DC2,即PD⊥DC, 又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PD⊂平面PDC, ∴PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD, 又AD⊥DC,∴PD,AD,DC两两互相垂直, (8分) 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),M. (9分) (i)设平面BDM的一个法向量为m=(x,y,z), 则又=(1,1,0),=,故令y=1,可得x=-1,z=-2,∴m=(-1,1,-2), (10分) 又平面PDM的一个法向量为=(1,0,0), ∴cos<m,>===-, (11分) 由图易知二面角P-DM-B的平面角为钝角,∴二面角P-DM-B的余弦值为-. (12分) (ii)假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为. 易得=(1,0,-1),=(1,1,-1),设=λ(0≤λ≤1),∴=(λ,0,-λ), ∴=-=(λ,0,-λ)-(1,1,-1)=(λ-1,-1,1-λ), 由(i)知平面BDM的一个法向量为m=(-1,1,-2), ∴点Q到平面BDM的距离为=,则=,解得λ=或λ=, (14分) 又0≤λ≤1,∴λ=,故在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离为,且=. (15分) 18.（17分） (1)由已知得 (3分) ∴∴椭圆C的标准方程为+=1. (6分) (2)设P(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,-y1), (7分) 由题可设直线PB的方程为y=kx+m, 联立消去y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0, (9分) 则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0, ∴x1+x2=,x1x2=,(10分) ∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m), ∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m), 整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0,(12分) ∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k,(14分) ∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0).(15分) 则Δ=16k2m2-8(2k2+1)(m2-4)=8(8k2-m2+4)>0,∴x1+x2=,x1x2=, (11分) ∵A,F,B三点共线,=(2-x1,kx1+m),=(x2-2,kx2+m), ∴(2-x1)(kx2+m)=(x2-2)(kx1+m), 整理得,2kx1x2+(m-2k)(x1+x2)-4m=0, (13分) ∴2k·+(m-2k)·-4m=0,解得m=-4k, (15分) ∴直线PB的方程为y=kx-4k=k(x-4),则直线PB恒过定点(4,0). (17分) 19.（17分） (1)因为f(x)=ax+(a-1)ln x+,所以f '(x)=a+-==,x>0. (2分) 当a≤0时, f '(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当a>0时,由f '(x)>0得x>,由f '(x)<0得0<x<, 所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. 综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为. (5分) (2)①方程f(x)=xex-ln x+可化为xex=ax+aln x,即ex+ln x=a(x+ln x). 令t=x+ln x,易知该函数在(0,+∞)上单调递增,且值域为R, 结合题意,可知关于t的方程et=at(*)有两个不相等的实数根t1,t2. 因为t=0不是方程(*)的实数根,所以方程(*)可化为=a. (7分) 令g(t)=,t≠0,则g'(t)=. 由g'(t)<0得t<0或0<t<1,由g'(t)>0得t>1, 所以函数g(t)在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数g(t)的极小值为g(1)=e, 当t<0时,g(t)=<0;当t>0时,g(t)=>0. (9分) 在同一平面直角坐标系内作出函数y=g(t)的图象和直线y=a,如图所示, 由图可知,当a>e时,函数y=g(t)的图象和直线y=a有两个交点, 所以实数a的取值范围是(e,+∞). (11分) ②证明:易知x1>0,x2>0,要证+>,只需证x1+x2>2a,即证a(x1+ln x1)+a(x2+ln x2)>2a,即证at1+at2>2a,即证t1+t2>2. (12分) 结合①,不妨设0<t1<1<t2. 因为et=at,所以t=ln a+ln t,即作差可得t2-t1=ln. 所以只需证>,即证>. 令p=,则p>1,只需证ln p>.(15分) 令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=-=>0, 所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证.(17分) 所以只需证>,即证>. 令p=,则p>1,只需证ln p>.(15分) 令h(p)=ln p-,p>1,则h'(p)=-=>0, 所以h(p)在(1,+∞)上单调递增,故h(p)>h(1)=0,即h(p)>0在(1,+∞)上恒成立,所以原不等式得证. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$