精品解析：云南省丽江市实验学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷

丽江市实验学校2024-2025学年九年级下学期期中考试 数学试卷 一、单选题（本大题共12小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列表述不正确的是（ ） A. 葡萄的单价是4元/，表示葡萄的金额 B. 正方形的边长为表示这个正方形的周长 C. 某校七年级有4个班，平均每个班有a名男生，表示全校七年级男生总数 D. 一个两位数的十位和个位数字分别为4和表示这个两位数 7. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个选项中，错误的是（　　） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为20 C. “自驾”所占扇形圆心角的度数为 D. 若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人 8. 如图，在数轴上表示实数的点可能是点（ ） A. P B. Q C. M D. N 9. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式的系数是2，次数是3 B. 是整式 C. 多项式的次数是4 D. 是二次单项式 11. 由5个大小相同的正方形拼成如图所示的图形（阴影部分），在图中，，，四个位置中再选择一个正方形，使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 二、填空题（本大题共6小题） 13. 2022年云南省事业单位招聘考试中，昆明市报名并缴费的考生有62425名，进入考场前监考人员需要了解考生的健康码和行程卡情况，适宜采用________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 14. 如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则____． 15. 抽样调查是一种用样本估计总体的很好的统计方法．小明的家承包了村里的一个鱼塘用来养鱼，养殖一年后小明爸爸准备将养的鱼一次性整塘出售给某鱼店老板，为此，小明爸爸想估计一下整塘鱼的数量．小明运用所学习的统计知识进行了一下操作：他首先从鱼塘中随机排捞出100条鱼，将这100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出240条鱼，其中有记号的鱼有15条，这样小明就帮爸爸估算出了鱼塘中鱼的数量．那么小明估计鱼塘中的鱼大约有 ___条． 16. 一副直角三角板如图摆放，使两直角三角形的直角顶点O重叠在一起，//，则________． 17. 庚子新春，一场突如其来的新冠肺炎疫情肆虐湖北．举国上下，众志成城，为坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战，截止2020年2月28日，国家卫健委组织支援湖北的医护人员已超过40000人．数字40000用科学记数法表示为________． 18. 若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共6小题） 19. 如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆点表示钉板上的钉子，，，，…，，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． （1）求圆球落入的概率． （2）用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 20. 孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，绘制了学生每周自主发展兴趣爱好的时长的频数分布表和频数分布直方图如下： 学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布表 组别 时长t （单位：） 人数累计 人数 A 正正正正正正正正 40 B 正正正正正正正正正正 50 C 正正正正正正正正正正 正正正正正正 80 D 正正正正正正 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）这名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在___________组； （3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则B组的学生人数占调查总人数的百分比为___________，对应的扇形圆心角的度数为___________； （4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？ 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 计算：． 23. 为深入学习党的二十大精神，某校举办了“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，学校计划购买两种奖品共计30份分别发放给获得一等奖、二等奖的同学，获奖同学各发一份奖品，同一等级奖品相同．设一等奖奖品的单价为x元，购买两种奖品的总费用为y元． （1）若购买一等奖、二等奖奖品的单价分别为40元、20元，则学校共需花费800元，求获得一等奖、二等奖的人数分别是多少？ （2）在（1）的结果下，若一等奖、二等奖奖品的单价的和为60元，一等奖奖品的单价不超过二等奖奖品单价的倍，求总费用y的最小值． 24. 如图①，是的外接圆，是的直径，，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）如图②，作于点F，连接交于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市实验学校2024-2025学年九年级下学期期中考试 数学试卷 一、单选题（本大题共12小题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A.方程是一元一次方程，选项A不符合题意； B.方程是分式方程，选项B不符合题意； C.方程是一元三次方程，选项C不符合题意； D.方程是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：， ∴圆心角， ， ， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键． 3. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的加减法则可判断A，B；根据二次根式的乘除法法则可判断C和D． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 5. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 6. 下列表述不正确的是（ ） A. 葡萄的单价是4元/，表示葡萄的金额 B. 正方形的边长为表示这个正方形的周长 C. 某校七年级有4个班，平均每个班有a名男生，表示全校七年级男生总数 D. 一个两位数的十位和个位数字分别为4和表示这个两位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据“金额=单价数量”、正方形的周长公式、“男生总人数=班级数每班男生人数”、“两位数=十位数字个位数字”逐项判断即可得． 【详解】解：A、葡萄的单价是4元/，表示葡萄的金额，原表述正确； B、正方形的边长为，表示这个正方形的周长，原表述正确； C、某校七年级有4个班，平均每个班有a名男生，表示全校七年级男生总数，原表述正确； D、一个两位数的十位和个位数字分别为4和，表示这个两位数，原表述错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解各语句的意思是解题关键． 7. 昆明享有“春城”之美誉，是中国面向东南亚、南亚开放的门户城市，是国家历史文化名城，是中国重要的旅游、商贸城市，是西南地区重要的中心城市之一，“元旦”期间相关部门对到昆明观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了如图所示的两幅统计图，下列四个选项中，错误的是（　　） A. 本次抽样调查的样本容量是5000 B. 扇形统计图中的m为20 C. “自驾”所占扇形圆心角的度数为 D. 若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有50万人，估计选择飞机出行的有12000人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求扇形统计图圆心角，用样本估计总体，根据坐火车的人数与所占比例求出样本容量，即可判断A；用坐大巴的人数除以样本容量即可求出坐大巴的百分比，即可判断B；用自驾的百分比乘以360度即可求出圆心角，即可判断C；用50万人乘以乘飞机的百分比即可求出选择飞机出行的人数，即可判断D． 【详解】解：A、样本容量为，正确，不符合题意； B、，则m的值为20，正确，不符合题意； C、“自驾”所占扇形圆心角的度数为，正确，不符合题意； D、若“元旦”期间到昆明观光旅游的游客有500000人，选择飞机出行的约有 （人），错误，符合题意． 故选：D 8. 如图，在数轴上表示实数的点可能是点（ ） A. P B. Q C. M D. N 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义先判断出的范围，然后根据数轴进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点可能表示． 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的大小，确定出的范围是解题的关键． 9. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 单项式的系数是2，次数是3 B. 是整式 C. 多项式的次数是4 D. 是二次单项式 【答案】C 【解析】 【分析】单项式的次数是其所有字母的指数之和，单项式的系数指的是它的数字因数；整式中分母一律不能含有字母；根据单项式、整式的定义或特征判断选项是否正确． 【详解】解：A选项中单项式的系数为，次数为，故与选项不符； B选项中的分母中含有字母，所以不是整式，故与选项不符； C选项中多项式的次数为，故与选项相符； D选项中所以不是单项式，故与选项不符； 故选C． 【点睛】本题考查了整式、单项式．解题的关键在于理清整式与单项式的概念及特征． 11. 由5个大小相同的正方形拼成如图所示的图形（阴影部分），在图中，，，四个位置中再选择一个正方形，使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分别探讨在A、B、C、D位置时，能够通过该图形复原成一个完整的正方体即可． 【详解】解：利用空间想象能力，可以发现除了位置C以外的其他三个位置都可以． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了正方体的侧面展开图的复原，利用空间想象能力，把不同的侧面展开图成功复原成正方体，这是解决本题的关键． 12. 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解． 解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM． 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN． 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形． ∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP， ∴△PQR的周长=EF． ∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°， ∴△EOF是正三角形，∴EF=10， 即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10． 故选A． 考点：轴对称-最短路线问题． 二、填空题（本大题共6小题） 13. 2022年云南省事业单位招聘考试中，昆明市报名并缴费的考生有62425名，进入考场前监考人员需要了解考生的健康码和行程卡情况，适宜采用________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】全面调查 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但是所费人力、物力和时间比较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】2022年云南省事业单位招聘考试中，昆明市报名并缴费的考生有62425名，进入考场前监考人员需要了解考生的健康码和行程卡情况，适宜采用全面调查． 故答案为：全面调查． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 14. 如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可． 【详解】解：∵在中，，垂足为D， ∴是直角三角形； ∵E是的中点． ∴（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）； 又∵， ∴； 故答案为：10 15. 抽样调查是一种用样本估计总体的很好的统计方法．小明的家承包了村里的一个鱼塘用来养鱼，养殖一年后小明爸爸准备将养的鱼一次性整塘出售给某鱼店老板，为此，小明爸爸想估计一下整塘鱼的数量．小明运用所学习的统计知识进行了一下操作：他首先从鱼塘中随机排捞出100条鱼，将这100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出240条鱼，其中有记号的鱼有15条，这样小明就帮爸爸估算出了鱼塘中鱼的数量．那么小明估计鱼塘中的鱼大约有 ___条． 【答案】1600 【解析】 【分析】设鱼塘中的鱼有条，则，由此能估计鱼塘中鱼的条数． 【详解】解：设鱼塘中的鱼有条，则 ， 解得． 经检验：符合题意 故答案为：1600． 【点睛】本题考查收集数据的方法的应用，解题的关键是认真审题，建立等式． 16. 一副直角三角板如图摆放，使两直角三角形的直角顶点O重叠在一起，//，则________． 【答案】105°##105度 【解析】 【分析】如图作OE∥AB，根据平行线的性质求出∠AOE=60°，∠COE=45°即可得到答案． 【详解】解：如图，作OE∥AB，则OE∥AB∥CD， ∴∠AOE=∠A=60°，∠COE=∠C=45°， ∴∠AOC=60°+45°=105°． 故答案为：105°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17. 庚子新春，一场突如其来的新冠肺炎疫情肆虐湖北．举国上下，众志成城，为坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战，截止2020年2月28日，国家卫健委组织支援湖北的医护人员已超过40000人．数字40000用科学记数法表示为________． 【答案】4×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位. 【详解】解：将40000用科学记数法表示为：4×104 故答案为：4×104． 【点睛】本题考查了科学记数法，确定n的值是解题关键． 18. 若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为________． 【答案】（2，0） 【解析】 【分析】根据x轴上的点纵坐标等于0列出方程求解得到m的值，再进行计算即可得解． 【详解】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， ∴m+3＝﹣1+3＝2， ∴点P的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键． 三、解答题（本大题共6小题） 19. 如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆点表示钉板上的钉子，，，，…，，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内． （1）求圆球落入的概率． （2）用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 小球经过通道的概率是； 【小问2详解】 画树状图得： 所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为． 20. 孔子说“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校名学生中随机抽取了人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，绘制了学生每周自主发展兴趣爱好的时长的频数分布表和频数分布直方图如下： 学生每周自主发展兴趣爱好时长频数分布表 组别 时长t （单位：） 人数累计 人数 A 正正正正正正正正 40 B 正正正正正正正正正正 50 C 正正正正正正正正正正 正正正正正正 80 D 正正正正正正 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）这名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在___________组； （3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则B组的学生人数占调查总人数的百分比为___________，对应的扇形圆心角的度数为___________； （4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？ 【答案】（1） 补全统计图如下所示： （2）C （3）， （4）人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表补全统计图即可； （2）根据中位数的定义进行求解即可； （3）根据百分比该组频数总数，圆心角百分比，即可得出答案； （4）用乘以A组所占百分比即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵参与调查的总人数为人， ∴把学生每周自主发展兴趣爱好的时长从低到高排列，第100名和第101名的时长的平均数即为中位数， 又∵， ∴中位数落在C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：B组的学生人数占调查总人数的百分比为 ，对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：人， ∴该校学生中有人需要增加自主发展兴趣爱好时间 【点睛】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把除法化为乘法，约分后，再合并同类项得到化简后的结果，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟记运算法则是解本题的关键． 22. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用零指幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 23. 为深入学习党的二十大精神，某校举办了“学习二十大，奋进新征程”知识竞赛，学校计划购买两种奖品共计30份分别发放给获得一等奖、二等奖的同学，获奖同学各发一份奖品，同一等级奖品相同．设一等奖奖品的单价为x元，购买两种奖品的总费用为y元． （1）若购买一等奖、二等奖奖品的单价分别为40元、20元，则学校共需花费800元，求获得一等奖、二等奖的人数分别是多少？ （2）在（1）的结果下，若一等奖、二等奖奖品的单价的和为60元，一等奖奖品的单价不超过二等奖奖品单价的倍，求总费用y的最小值． 【答案】（1）获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人． （2）费用最小值为元． 【解析】 【分析】（1）设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人，可得，再解方程可得答案； （2）设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元，则总费用，再列不等式可得的范围，结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人， ∴， 解得：， ∴， 答：获一等奖的人数为人，则获二等奖的人数为人． 【小问2详解】 设获一等奖奖品的单价为元，则获二等奖奖品的单价为元， ∴总费用， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最小值为（元）． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系列方程与不等式或函数关系式是解本题的关键． 24. 如图①，是的外接圆，是的直径，，交于点E，且． （1）求证：是的切线； （2）如图②，作于点F，连接交于点G，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）是的直径，得，则，等边对等角得到，由得到，则，已知，则，得到，即，即可证明是的切线； （2）证明，则，得，再证，则，得，又由，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 又由， ∴， 即的值为． 【点睛】此题考查了切线的判定定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $