精品解析：浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试卷

文澜中学2024学年第二学期期末考试初一数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意； B、由可得，原不等式不正确，不符合题意； C、由可得，原不等式不正确，不符合题意； D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意； 故选：A 2. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 把化为用含的代数式表示的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项、系数化为即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得， 故选：． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 负数没有平方根 B. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，根据平方根的定义、平行线的性质以及对顶角的性质逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A．在实数范围内，平方根的定义要求被开方数非负，因此负数没有平方根，此命题为真命题． B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，此命题为真命题． C．只有当两直线平行时，同旁内角才互补．若未限定“两直线平行”，则此命题不成立，故为假命题． D．对顶角的定义决定了它们始终相等，此命题为真命题． 综上，假命题为选项C． 故选：C． 5. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 6. 若，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质“①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”进行判断即可． 本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ∵，而， ，故A选项错误； B. ， ，故B选项正确； C. ，， ，故C选项错误； D. ， ，故D选项错误． 故选：B． 7. 2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米的欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意“5000米比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达”列分式方程即可． 【详解】解：设乙的速度为每分钟x米，则甲的速度为每分钟米， 可列方程， 故选B． 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据解的情况求参数．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得：， 故选：C． 9. 已知，则的值是（ ） A. 12 B. 19 C. 18 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 10. 如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠性质和平行可得，从而求得，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ， ． ， ∴， ∴， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 二．填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 11. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据“频数即出现次数”进行解答． 【详解】解：由题意得：“强”字出现了3次． 所以，“强”字出现的频数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了频数，熟练掌握“频数即出现次数”是解题的关键． 12. 分式有意义的条件是________． 【答案】x≠2 【解析】 【分析】根据分式有意义条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-2≠0， ∴x≠2， 故答案是：x≠2． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0，是解题的关键． 13. 如图，已知，，，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 14. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如果是完全平方式，则k的值是________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．完全平方公式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，根据完全平方公式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故答案为：16． 16. 若，则代数式的值为______． 【答案】49 【解析】 【分析】先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ = = = = =49． 故答案为：49． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键． 17. 已知，，则______． 【答案】-8 【解析】 【分析】利用分式的加法的法则对所求的式子进行运算，再代入相应的值求解即可． 【详解】解：原式= = = ∵，， ∴原式= 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18. 关于x的分式方程有增根，则a的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴去分母，得：； ∵分式方程有增根， ∴， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 19. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握除以或乘以一个负数不等式符号改变这一知识点是解题的关键． 根据题意判断出，然后把其代入到，即可求出的解集． 【详解】解：∵不等式的解集为， ， ， ， ， 故答案为：． 20. 如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积______． 【答案】 【解析】 【分析】由长方形的周长，面积为，确定，，通过观察图形分别用含有和的式子表示出阴影部分的面积、、，然后整理化简，通过完全平方公式计算出，从而求出值． 【详解】解：由题知，，． ， ， ， ，，， 阴影部分面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出和的形式是本题的关键，由和，利用完全平方公式变形计算出，从而求出面积． 三．解答题（本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ，得：， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：． 22. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23. 为了解某区初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况、在全区随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）进行整理．绘制如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查了______名学生，其中D组（）有______名学生，A组（）所在的扇形圆心角为______； （2）根据抽样调查结果，请你估计该区5000名初中生中锻炼时长不少于6小时的学生人数． 【答案】（1）500，150，36； （2）1900人． 【解析】 【分析】（1）先由B组人数及其所占百分比算出总人数，然后可得D组人数及A组对应圆心角； （2）用样本中锻炼时长不少于6小时的学生人数所占百分比乘以5000即可得到答案． 【小问1详解】 ∵（人）， ∴本次抽样调查了500名学生， ∵（人）， ∴D组（）有150名学生， ， ∴A组（）所在的扇形圆心角为36， 故答案500，150，36； 【小问2详解】 （人）， 答：该区5000名初中生中锻炼时长不少于6小时的学生约1900人． 【点睛】本题考查统计图的应用，熟练掌握条形图与扇形图的关联应用是解题关键． 24. 2025年春晚名为《秧》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】（1）型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 （2）购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，正确列出方程组和函数表达式成为解题的关键． （1）设A型智能机器人单价为万元，型智能机器人的单价为万元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，根据题意可得，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， ，解得． 答：A型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． 【小问2详解】 解：设每天分拣快递的件数为万件，购买A型号智能机器人，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ，解得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值． （台）， ∴购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多． 25. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请判断与的大小： ； （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； （3）若满足条件的整数有且只有个，直接写出的值为 ． 【答案】（1）＞；（2）①m+4；②常数，9；（3）1015 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可； （2）根据长方形和正方形的周长和面积公式即可得到结论； （3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论． 【详解】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7， 图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8， 比较：∵S1-S2=2m-1，m为正整数，m最小为1 ∴2m-1≥1＞0， ∴S1＞S2； 故答案为：＞； （2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4， 则该正方形的边长为m+4； ②图中甲的长方形周长为2（m+7+m+1）=4m+16， ∴该正方形边长为m+4， ∴S3-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=9， ∴这个常数为9； （3）由（1）得，|S1-S2|=|2m-1|，且m为正整数，2m-1＞0， ∴S1-S2=2m-1， ∵2021＜n≤|S1-S2|， ∴2021＜n≤2m-1， ∵整数n有且只有8个， ∴2029≤2m-1<2030， 解得：1015≤m<， ∵m为正整数， ∴m=1015． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式、长方形的性质、正方形的性质等知识． 26. 如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． （1）当，，求的度数； （2）如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示：   ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文澜中学2024学年第二学期期末考试初一数学试卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 把化为用含的代数式表示的形式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 负数没有平方根 B. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 对顶角相等 5. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 2025年5月18日，某市马拉松赛激情开跑甲、乙两人参加了5000米欢乐跑比赛，甲每分钟比乙多跑100米，最终甲比乙早10分钟到达．设乙的速度为每分钟x米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则m的值为（ ） A. －1 B. 7 C. 1 D. 2 9. 已知，则的值是（ ） A. 12 B. 19 C. 18 D. 11 10. 如图①，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分） 11. “少年强则国强；强国有我，请党放心．”这句话中，“强”字出现的频数是______． 12. 分式有意义的条件是________． 13. 如图，已知，，，则______度． 14. 因式分解： ______． 15. 如果是完全平方式，则k的值是________． 16. 若，则代数式的值为______． 17. 已知，，则______． 18. 关于x的分式方程有增根，则a的值是 _____． 19. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是____． 20. 如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积______． 三．解答题（本大题共6小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 22. 先化简， 再求值：，其中． 23. 为了解某区初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况、在全区随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（），B组（），C组（），D组（），E组（）进行整理．绘制如下两幅不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查了______名学生，其中D组（）有______名学生，A组（）所在的扇形圆心角为______； （2）根据抽样调查结果，请你估计该区5000名初中生中锻炼时长不少于6小时学生人数． 24. 2025年春晚名为《秧》机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； 型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 25. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），面积分别为、． （1）请判断与的大小： ； （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含的代数式表示）； ②若该正方形的面积为，试探究：与的差（即）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由； （3）若满足条件的整数有且只有个，直接写出的值为 ． 26. 如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． （1）当，，求的度数； （2）如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； （3）如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $