精品解析：江苏省宿迁市沭阳县如东实验中学2023—2024学年下学期期末八年级数学试卷　

2023～2024学年度第二学期期末测试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形是( ） A. B. C. D. 2. 某市有4万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了1500名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 每名考生的数学成绩是个体 B. 4万名考生是总体 C. 1500名考生是总体一个样本 D. 1500名考生是样本容量 3. 学校为了了解七年级学生喜欢的课外书中语文课外阅读书、数学辅导书及英语读物所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 4. 下列关于x的方程中一定有实数根的是（ ） A. x2﹣x+2=0 B. x2+x﹣2=0 C. x2+x+2=0 D. x2+1=0 5. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A. （x+4）2＝﹣7 B. （x+4）2＝9 C. （x+4）2＝23 D. （x+4）2＝﹣9 6. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形顶点A、B、C的坐标分别为．将矩形向右平移m个单位，若平移后的矩形与函数的图像有公共点，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 10. 当_______时，分式的值为． 11. 一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相等，为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀多次试验发现摸到红球的频率是，则估计黄色小球的数目是______个 12. 已知关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围___________． 13. 已知x＝，y＝，则x2＋xy＋y2值为______． 14. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是________ 15. 设，，其中为实数，则与的大小关系是 ______ 16. 若，则的值为__________． 17. 如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________． 18. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2）（用公式法解） 21. 先化简再求值：，其中a满足． 22. 2024年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等4次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为，，，四个等级，并绘制了如下统计图（不完整）． 根据以上信息，回答下列问题． （1）求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩等的总人数． 23. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 24. 已知：如图，中，，点是边上一点． （1）尺规作图：以为对角线作平行四边形（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）填空：当 时，平行四边形是菱形． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，交轴于点． （1）求的值； （2）过点的直线，交反比例函数的图象于点，分别交轴于点、点．若，求的面积． 27. 如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处． （1）求证：∠EDO= ∠FBO； （2）求证：四边形DEBF是菱形； （3）如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值． 28. 【性质认识】如图，在函数图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期末测试 八年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 某市有4万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了1500名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 每名考生的数学成绩是个体 B. 4万名考生是总体 C. 1500名考生是总体的一个样本 D. 1500名考生是样本容量 【答案】A 【解析】 【分析】根据个体，总体，样本，样本容量的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，每名考生的数学成绩是个体，A正确，故符合要求； 4万名考生的数学成绩是总体，B错误，故不符合要求； 1500名考生的数学成绩是总体的一个样本，C错误，故不符合要求； 1500是样本容量，D错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了个体，总体，样本，样本容量等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3. 学校为了了解七年级学生喜欢的课外书中语文课外阅读书、数学辅导书及英语读物所占的比例，通常采用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上均可 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点，扇形统计图能反映部分与整体的关系，更容易看出部分占整体的比例情况． 根据各统计图的特征与优缺点进行选择即可． 【详解】解：要了解学生喜欢的课外书所占的比例，通常采用扇形统计图． 故选B． 4. 下列关于x的方程中一定有实数根的是（ ） A. x2﹣x+2=0 B. x2+x﹣2=0 C. x2+x+2=0 D. x2+1=0 【答案】B 【解析】 【详解】A、△=1-8=-7＜0，所以没有实数解，故本选项错误；B、△=1+8=9＞0，所以有实数解，故本选项正确；C、△=1-8=-7＜0，原方程没有实数解； 故本选项错误；D、△=0-4=-4＜0，原方程有实数解，故本选项正确， 故选B． 5. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A. （x+4）2＝﹣7 B. （x+4）2＝9 C. （x+4）2＝23 D. （x+4）2＝﹣9 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项． 【详解】解：x2+8x+7＝0， x2+8x＝﹣7， x2+8x+16＝﹣7+16， （x+4）2＝9， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 6. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，矩形的顶点A、B、C的坐标分别为．将矩形向右平移m个单位，若平移后的矩形与函数的图像有公共点，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据平移方式求出平移后点B和点D的对应点坐标分别为，，再求出反比例函数恰好经过点和点时m的值即可得到答案. 【详解】解：∵矩形的顶点A、B、C的坐标分别为， ∴，， ∴， ∴平移后点B和点D的对应点坐标分别为，， 当反比例函数恰好经过点时，则， 解得（已检验是原方程的解）； 当反比例函数恰好经过点时，则， 解得（已检验是原方程的解）； ∴若平移后的矩形与函数的图像有公共点，则m的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形变化平移等等，根据题意求出反比例函数经过平移后点D和点B对应点时m的值是解题的关键． 8. 如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN． 下列结论： ①△OCN≌△OAM； ②ON=MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等； ④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为． 其中正确的个数是【 】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确． 【详解】设正方形OABC的边长为a， 则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）． ∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900， ∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确． 根据勾股定理，，， ∴ON和MN不一定相等．结论②错误． ∵， ∴．结论③正确． 如图，过点O作OH⊥MN于点H，则 ∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM． ∵∠MON=450，MN=2， ∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50． ∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1． ∴． 由得，． 解得：（舍去负值）． ∴点C的坐标为．结论④正确． ∴结论正确的为①③④3个． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，理解二次根式有意义的条件是关键． 根据二次根式有意义的条件列式，求不等式的解集即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 10. 当_______时，分式的值为． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为，分子等于分母不为，列式求解即可解答． 【详解】∵分式的值为， ∴且， ∴， 故答案为：． 11. 一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有8个，黄、白色小球的数目相等，为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀多次试验发现摸到红球的频率是，则估计黄色小球的数目是______个 【答案】20 【解析】 【分析】根据多次试验发现摸到红球的频率是，则可以得出摸到红球的概率为，再利用红色小球有8个，黄、白色小球的数目相同进而表示出黄球概率，得出答案即可． 【详解】设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个， 多次试验发现摸到红球的频率是，则得出摸到红球的概率为， ， 解得：， 则黄色小球的数目是20个． 故答案为20． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据题目中给出频率可知道概率，从而可求出黄色小球的数目是解题关键． 12. 已知关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围___________． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根可知该方程为一元二次方程且，然后据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴且，解得： 且 ． 故答案为： 且 ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式的意义，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 已知x＝，y＝，则x2＋xy＋y2的值为______． 【答案】4 【解析】 【详解】根据完全平方公式可得： 原式=－xy==5－1=4． 14. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是________ 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式的一般步骤， 先解关于x的分式方程，再根据关于x的分式方程的解为负数，列出关于k的不等式，求出k的取值范围，然后再根据分式的分母不等于0确定k的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 整理，得， ， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴， ∴， ∵分式方程有解， ∴，即， ∴， 解得且 ∴且． 故答案为：且, 15. 设，，其中为实数，则与的大小关系是 ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的大小比较，完全平方式的应用，利用作差法求出，进而根据结果即可判断求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即， 故答案为：． 16. 若，则的值为__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 17. 如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值． 【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B， 而＜0，＜0， ∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-， ∵AB=3BC， ∴S△ABO=3S△OBC=6， 即-=2，解得=-4， ∵-=6+2，解得=-16， ∴+=-16-4=-20． 故答案为：-20． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 18. 如图，在矩形中，，E是边上一点，，F是直线上一动点，将线绕点E逆时针旋转得到线段，连接则的周长最小值是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和轴对称的性质，解题关键是恰当作辅助线，得出三角形周长最小值，利用勾股定理求值； 将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N，证，确定点G在过点H且垂直的直线上运动，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长，求出值即可 【详解】解：如图，将绕点E逆时针旋转得到，连接，并延长交于N， ∵， ∴， ∵将线绕点E逆时针旋转得到线段， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G在过点H且垂直的直线上运动， ，作点C关于直线的对称点，连接，则CG+DG的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为13， ∵， ∴周长最小值是， 故答案为：18． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算和分式的混合运算． （1）原式利用完全平方公式和平方差公式展开，再根据二次根式的运算法则计算； （2）先将括号内的分式通分，进行减法计算，再将括号外的除法变为乘法进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2）（用公式法解） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟知解法是关键． （1）根据解分式方程的步骤依次进行，并注意检验即可； （2）根据解一元二次方程的公式法，找出a，b，c，套用公式即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， ， 方程有两个不相等的实数根， ，． 21. 先化简再求值：，其中a满足． 【答案】，4 【解析】 【详解】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a满足求出a的值，代入原式进行计算即可，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【解答】解：原式 ， ∵a满足， ∴或， ∵， ∴， ∴ ∴原式． 22. 2024年，中国空间站工程将陆续实施天舟七号货运飞船、神舟十八号载人飞船、天舟八号货运飞船、神舟十九号载人飞船等4次飞行任务，为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，某中学随机抽取学生进行测试，并对测试结果进行整理和分析，将成绩划分为，，，四个等级，并绘制了如下统计图（不完整）． 根据以上信息，回答下列问题． （1）求出本次调查抽取的总人数，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该中学共有3000名学生，且全部参加这次测试，利用题中信息，估计学生的测试成绩等的总人数． 【答案】（1）50人，见详解 （2） （3）名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由图得等级有10人，占，可求抽取的总人数，从而可求出等级的人数，即可补全条形统计图； （2）用360度乘以级所占的比例即可求出扇形统计图中等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数； （3）用总人数乘等级所占的比例即可． 【小问1详解】 解：由图得：等级有10人，占， （人， 等级的人数：（人， 条形图如图所示： 【小问2详解】 解：等级为的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（名） 答：估计学生的测试成绩等的总人数有1200人． 23. 制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1）加热时与的函数关系式为，停止加热后与的函数关系式为 （2）当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． （1）停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式，再求出当时，，从而得到，加热时，设，将，代入得，求出的值即可； （2）在材料加热时，当时，解得：；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【小问1详解】 解：停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为， 当时，， 解得：， ， 加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在材料加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 24. 已知：如图，中，，点是边上一点． （1）尺规作图：以为对角线作平行四边形（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）填空：当 时，平行四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点交于点，可得，连接并延长，在延长线上截取，连接，，，如图所示，即为所求； （2）设，可得，由菱形性质可得，，由勾股定理可得：，即：，解出方程即可． 【小问1详解】 解：以点，点为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点交于点，连接并延长，在延长线上截取，连接，，，如图所示，即为所求， 证明：由以点，点为圆心，适当长为半径，画弧交于两点，连接连点交于点， 可知，该直线为线段的垂直平分线，即：， 又∵， ∴四边形平行四边形； 【小问2详解】 设， ∵， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， 则由勾股定理可得：，即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线，平行四边形的判定及菱形的性质，勾股定理，解题的关键是利用平行四边形的判定正确作出图形，属于中考常考题型． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】（1）证明见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，交轴于点． （1）求的值； （2）过点的直线，交反比例函数的图象于点，分别交轴于点、点．若，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，进而设，根据，求得，继而求得直线的表达式为，得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点 ∴ 解得： ∴ ∵反比例函数经过点， ∴； 【小问2详解】 由（1）可得反比例函数解析式为， 设， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将,代入得， ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 由，当时，，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 27. 如图1，四边形ABCD是矩形，点O位于对角线BD上，将△ADE，△CBF分别沿DE、BF翻折，点A，点C都恰好落在点O处． （1）求证：∠EDO= ∠FBO； （2）求证：四边形DEBF是菱形； （3）如图2，若AD=2，点P是线段ED上的动点，求2AP + DP的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明△DOF≌△BOE得到OE=OF，再证明△EOD≌△FOB即可得到∠EDO=∠FBO； （2）先证明∠DOF=∠BOE=90°，从而推出E、O、F三点共线，再由OE=OF，OB=OD，EF⊥BD，即可证明四边形DEBF是菱形； （3）如图所示，连接OA，先证明△AOB是等边三角形，得到∠ADO=60°，则由折叠的性质可得，过点P作PH⊥BD于H，得到，则，要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小，则当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠C=90°，AD=BC，， ∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB， 由折叠的性质可知AD=OD，OB=BC，∠EOD=∠A=90°，∠BOF=∠C=90°， ∴OD=OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴OE=OF， 又∵∠EOD=∠FOB=90°，OD=OB， ∴△EOD≌△FOB（SAS）， ∴∠EDO=∠FBO； 【小问2详解】 解：由（1）得△DOF≌△BOE， ∴∠DOF=∠BOE， ∵∠EOD=∠FOB=90°，∠DOF+∠BOE+∠EOD+∠FOB=360°， ∴∠DOF=∠BOE=90°， ∴∠DOE+∠DOF=180°， ∴E、O、F三点共线， 又∵OE=OF，OB=OD，EF⊥BD， ∴四边形DEBF是菱形； 【小问3详解】 解：如图所示，连接OA， 由（1）得OD=AD，OB=BC，BC=AD， ∴BD=2AD， ∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴OA=OD， ∴OA=OD=AD， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠ADO=60°， ∴由折叠的性质可得， 过点P作PH⊥BD于H， ∴， ∴， 要使2AP+DP最小，即要使AP+PH最小， ∴当A、P、H三点共线且与BD垂直时AP+PH有最小值， 过点A作AG⊥BD， 在Rt△ABD中，BD=2AD=4，AD=2， ∴， ∴由等面积法可知， ∴， ∴， ∴2AP+DP的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等等，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$