阶段练习(五) (2.4～2.5)-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 阶段练习(五)　(2.4～2.5) 一、单项选择题 1．已知椭圆＋y2＝2，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为2 B．焦距为2 C．短轴长为2 D．离心率为 答案：D 解析：已知椭圆＋y2＝2，整理得＋＝1，得a2＝4，b2＝2，所以a＝2，b＝，c＝＝，故椭圆长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，短轴长为2b＝2，离心率为e＝＝.故选D. 2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(0<k<16)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D 解析：由于＋＝1(0<k<16)的长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝6，离心率为，而椭圆＋＝1的长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，离心率为，故两个椭圆的焦距相等．故选D. 3．关于方程x2＋xy＋2y2＝4所表示的曲线，下列说法正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点中心对称 答案：D 解析：对于A，用－y替换方程中的y，得x2－xy＋2y2＝4，方程发生变化，即曲线不关于x轴对称，A错误；对于B，用－x替换方程中的x，得x2－xy＋2y2＝4，方程发生变化，即曲线不关于y轴对称，B错误；对于C，用x替换y，y替换x，得2x2＋xy＋y2＝4，方程发生变化，即曲线不关于直线y＝x对称，C错误；对于D，将点(－x，－y)代入原方程仍为x2＋xy＋2y2＝4，因此曲线关于原点中心对称，D正确．故选D. 4．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于A，B两点，若|AF2|＋|BF2|的最大值为8，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由椭圆的定义，可知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，所以当|AB|最小时，|AF2|＋|BF2|最大，由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，当直线AB垂直于x轴时，|AB|取得最小值＝，此时|AF2|＋|BF2|＝4a－＝8，由a>0，解得a＝3，此时C的离心率e＝＝＝＝.故选A. 5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在C上(M位于第一象限)，且点M，N关于原点O对称，若·＝0，|NF2|＝|MF2|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由点M，N关于原点O对称，得线段MN，F1F2互相平分，则四边形MF1NF2为平行四边形，由·＝0，得∠F1MF2＝，则▱MF1NF2是矩形，|MN|＝|F1F2|，|NF2|＝|MF1|，设|MF2|＝t，由|MF2|＝|NF2|＝|MF1|，得|MF1|＝t，由|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，得15t2＋t2＝4c2，整理得c＝2t，而2a＝|MF1|＋|MF2|＝(＋1)t，所以C的离心率e＝＝＝.故选C. 二、多项选择题 6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2，则下列说法中正确的是(　　) A．|PF1|＝5，|PF2|＝3 B．离心率为 C．△PF1F2的面积为12 D．△PF1F2外接圆的面积为 答案：ABD 解析：由＋＝1，得椭圆的半长轴长a＝4，半短轴长b＝2，半焦距c＝＝2，由P是椭圆上的点，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，而|PF1|－|PF2|＝2，对于A，|PF1|＝5，|PF2|＝3，A正确；对于B，离心率为e＝＝，B正确；对于C，由|PF1|2＝25＝|PF2|2＋|F1F2|2，得△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，S△PF1F2＝×3×4＝6，C错误；对于D，由C项分析知，△PF1F2的外接圆直径为线段PF1，则该圆半径为，面积为，D正确．故选ABD. 7．已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A．点P的纵坐标为3 B．∠F1PF2> C．△F1PF2的周长为4(＋1) D．△F1PF2内切圆的半径为(－1) 答案：CD 解析：∵椭圆＋＝1，∴a＝2，b＝2，c＝2，又P为椭圆上一点，不妨设P(m，n)，m＞0，则S△F1PF2＝×2c×|n|＝3，解得n＝±，故A错误；由A项分析得＋＝1，解得m＝，∴P，∴|PF1|2＝＋＝＋2，|PF2|2＝＋＝－2，∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝×2－16＝＞0，∴cos∠F1PF2＝>0，∴0＜∠F1PF2＜，故B错误；由椭圆的定义，可得△F1PF2的周长为4(＋1)，故C正确；设△F1PF2内切圆的半径为r，由r·(4＋4)＝3，解得r＝(－1)，故D正确．故选CD. 三、填空题 8．已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若AF1⊥AF2，则C的短轴长为________． 答案：4 解析：设|F1F2|＝2c，易知|AF1|＝|AF2|＝a＝4，结合AF1⊥AF2，可知△AF1F2为等腰直角三角形，所以|F1F2|＝＝＝4＝2c，故c＝2，所以b＝＝＝2，所以C的短轴长为2b＝4. 9．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，O是原点，且||＝，则△F1PF2的面积等于________． 答案：2 解析：设P(x0，y0)，则消去x0，得|y0|＝，所以S△F1PF2＝×|F1F2|×|y0|＝×4×＝2. 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，O是原点，若|QF2|＝3|OQ|，则椭圆C的离心率的取值范围是________． 答案： 解析：如图，当Q，F2在点O同侧时，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，∵|QF2|＝3|OQ|，∴|QF2|＝c，|QF1|＝c，∵PQ是∠F1PF2的平分线，∴＝＝，则|PF1|＝|PF2|，由|PF1|＋|PF2|＝|PF2|＝2a，可得|PF2|＝，由a－c<<a＋c，可得e＝>，由0<e<1，可得<e<1；当Q，F2在点O异侧时，同理可得|PF1|＝×2a＝，则a－c<<a＋c，可得e＝>，∴<e<1.综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 四、解答题 11．已知椭圆C1：＋y2＝1(a＞0)过点，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． (1)求椭圆C2的方程； (2)已知F1，F2为椭圆C2的两焦点，若点P在椭圆C2上，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积． 解：(1)因为在＋y2＝1(a＞0)上，则＋＝1，可得a2＝4， 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1，故长轴长为2a＝4，离心率为＝， 设椭圆C2的方程为＋＝1(a′>b′>0)， 故C2中b′＝2，且e＝＝， 则a′2＝16， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. (2)由题意，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2， 又|PF1|＋|PF2|＝2a′＝8， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋)|PF1|·|PF2|＝48，故|PF1||PF2|＝8(2－)， 所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝×8(2－)×＝4(－1)． 12．已知椭圆E的两个焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，且经过点. (1)求E的标准方程； (2)在E上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M满足＝，当点P在E上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状(当点P经过椭圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)． 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 因为椭圆E的两个焦点坐标分别为(－4，0)，(4，0)，且经过点， 所以2a＝＋＝10， 所以a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9， 所以E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x，y)，P(x0，y0)， 则D(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 因为＝， 所以则 又因为＋＝1，把代入上式，得x2＋y2＝25， 所以点M的轨迹方程为x2＋y2＝25，轨迹是以(0，0)为圆心，5为半径的圆． 13．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Q为椭圆上一点．△F1QF2的重心为G，内心为I，且＝λ，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，设Q(x0，y0)．∵G为△F1QF2的重心，∴点G的坐标为.∵＝λ，则∥，∴I的纵坐标为.又|QF1|＋|QF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴S△F1QF2＝|F1F2|·|y0|.又I为△F1QF2的内心，∴即为△F1QF2的内切圆的半径，∴S△F1QF2＝(|QF1|＋|F1F2|＋|QF2|)，即×2c×|y0|＝×(2a＋2c)×，∴2c＝a，∴椭圆的离心率为e＝.故选A. 14．如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，O为HF的中点，R，S是线段OF，CF上的动点，若＝，直线ER，GS相交于点P.问：是否存在两个定点，使点P到这两点的距离之和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由． 解：如图，以O为原点，HF，EG所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 则E(0，－1)，B(2，－1)，C(2，1)，F(2，0)，G(0，1)． 设＝＝λ(0≤λ≤1)，则|OR|＝2λ，|CS|＝λ，所以R(2λ，0)，S(2，1－λ)， 当λ≠0时，直线ER的方程为y＝x－1，① 直线GS的方程为y＝－x＋1，② 由①②消去λ，得＋y2＝1； 当λ＝0时，P(0，1)，满足＋y2＝1. 所以点P的轨迹方程为＋y2＝1(x≥0，y≥0)， 所以存在定点F1(－，0)，F2(，0)，使点P到点F1，F2的距离之和为定值4. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$