第4章 一元二次方程（知识清单）数学青岛版九年级上册

第4章 一元二次方程 1.方程两边都是整式，__________________，并且整理后未知数的最高次数都是，像这样的方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程可以化为____________________ 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的________、_______和_________， ，分别叫做___________和______________。 3.当二次项的系数为1时，可先把________________________，然后在方程的两边都__________________________________，就把方程的左边___________________________，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 4.用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成____________。 ②将二次项_____________。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时_______________________________________________。 ④把方程的左边写成____________右边是一个____________。 ⑤根据直接开方法解方程。 5. 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是____________________ 这个式子叫做一元二次方程的_____________。用求根公式解一元二次方程的方法叫做_____________。 6.公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定_________________的值。 ②计算________________的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 7.利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做___________________。 8.因式分解的方法： ①提公因式法：________________ ； ②公式法：平方差公式：____________________ ； 完全平方公式：________________ ； ③十字相乘法：分解，若且，则______________ 。 9.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其__________。 ②对方程的左边进行__________________，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令______________________，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 10.一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式_____________的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用_________来表示，即___________________。 1)若 方程有________________________________。 2)若 方程有_________________________。 3)若 方程_____________________。 11.如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 _________ ， _____________ 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 __________________________ ；__________________________。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 ________________ 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 12.在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做_____________________。 13.列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②____：根据题意，可以_________________，也可以___________________。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④____：准确_____________________。 ⑤____：检验所求出的根________________________________。 ⑥答：写出答案。 易错点1 忽视使用判别式的前提条件 错误：当题目未明确说明方程类型时，学生容易忽略二次项系数为零的情况。 注意：在使用判别式判断根的情况时，必须确保方程是一元二次方程（）。 例题1 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 易错点2 因式分解中误用等式性质 错误：在用因式分解法解一元二次方程时，学生常在等式两边同时除以含未知数的代数式，导致丢根。 注意：正确做法应为移项使等式右边为0，再分解因式。 例题2 解方程： 易错点3 应用题中忽视隐含条件 错误：在列一元二次方程解应用题时，学生常忽视解的实际意义（如正数解、整数解、符合题意的范围等），导致求得错误答案。 注意：在列一元二次方程解应用题时，要根据实际意义得出结论。 例题3 小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 1．方程的解为 ． 2．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为 ．（参考数据：） 4．解方程：． 5．解方程：． 6．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 7．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 8．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 9．随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 10．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元二次方程 1.方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程可以化为 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项， ，分别叫做二次项系数和一次项系数。 3.当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 4.用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成一般形式。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 5. 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 6.公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 7.利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 8.因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 9.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。 ②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 10.一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用 来表示，即。 1)若 方程有两个不相等的实数根 。 2)若 方程有两个相等的实数根。 3)若 方程没有实数根。 11.如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 ， 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 12.在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 13.列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④解：准确求出方程的解。 ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题。 ⑥答：写出答案。 易错点1 忽视使用判别式的前提条件 错误：当题目未明确说明方程类型时，学生容易忽略二次项系数为零的情况。 注意：在使用判别式判断根的情况时，必须确保方程是一元二次方程（）。 例题1 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 易错点2 因式分解中误用等式性质 错误：在用因式分解法解一元二次方程时，学生常在等式两边同时除以含未知数的代数式，导致丢根。 注意：正确做法应为移项使等式右边为0，再分解因式。 例题2 解方程： 【答案】 【详解】解： ∴或 解得：． 易错点3 应用题中忽视隐含条件 错误：在列一元二次方程解应用题时，学生常忽视解的实际意义（如正数解、整数解、符合题意的范围等），导致求得错误答案。 注意：在列一元二次方程解应用题时，要根据实际意义得出结论。 例题3 小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 1．方程的解为 ． 【答案】， 【解析】解：， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 2．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴且， 解得：且 故答案为：． 3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为 ．（参考数据：） 【答案】 【解析】解：设每天“遗忘”的百分比为，由题意得 ． 解得，（，不符合题意，舍去 ）． ∵ ， ∴ 每天“遗忘”的百分比约为． 故答案为：． 4．解方程：． 【答案】， 【解析】解：将方程整理可得：， ∴， ∴或， ∴，． 5．解方程：． 【答案】， 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 6．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【解析】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 7．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 【答案】(1)为任何实数，原方程均有实数根 (2) 【解析】（1）解：当时，或． 原方程为，或．有实数根． 当时， ．有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． （2）解：由（1），当时，原方程有整数根． 当时， 两根为． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 8．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为 (2)每件售价应定为元 【解析】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次下降的百分率为； （2）设每件售价应定为元，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件售价应定为元． 9．随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)25% (2)0.1万人 【解析】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 由题意可得：． 解得：，（不合题意舍去）． 所以，这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设6月份后10天日均接待游客人数是万人． 由题意可得：， 解得：， 所以，6月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 10．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【解析】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$