第4章 一元二次方程（复习讲义）数学青岛版九年级上册

第4章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的及其相关概念。 ①了解一元二次方程的概念；②会把任意的一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)；③熟练的确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 2．掌握一元二次方程程的解法。 ①掌握配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程；②掌握一元二次方程的求根公式，会用公式法解某些一元二次方程；③会用因式分解法解某些一元二次方程。 3．理解一元二次方程的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 ①理解一元二次方程的判别式；②会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；③利用根与系数的关系求解。④运用方程思想列出一元二次方程解应用题，通过列方程解应用题。 知识点01：一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程可以化为 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项， ，分别叫做二次项系数和一次项系数。 知识点03： 用配方法解一元二次方程 1）配方法的定义：当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成一般形式。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 知识点04：用公式法解一元二次方程 1）公式法的定义： 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1）因式分解的方法的定义：利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2）因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。 ②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 知识点06： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用 来表示，即。 1)若 方程有两个不相等的实数根 。 2)若 方程有两个相等的实数根。 3)若 方程没有实数根。 知识点07： 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 ， 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 知识点08：整体法或换元法解一元二次方程 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 知识点09：一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④解：准确求出方程的解。 ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题。 ⑥答：写出答案。 1、与图形有关问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。 ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2、增长率问题 计算公式：平均增长类型： 平均下降类型： 3、营销问题 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－（原数量＋） 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【解析】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 【变式1-1】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【解析】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-3】方程不含x的一次项，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：解：， ， 不含的一次项， 则， 解得． 故选：D． 题型二 由一元二次方程的解求参数 【例2】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【解析】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 【变式2-1】若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】解：将代入得， ， ． 故选：A． 【变式2-2】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：∵是一元二次方程的一个解， ， 解得：， 故选：B． 【变式2-3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（  ） A． B．1 C． D．2025 【答案】A 【解析】解：∵是方程的根， ∴将代入得：， 移项得：． 故代数式的值为， 故选A． 题型三 用配方法解一元二次方程 【例3】用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 移项：将常数项移到方程右边，得到， 配方：方程两边加上一次项系数一半的平方，即加1：， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：， 因此，配方后的方程为选项B． 故选：B． 【变式3-1】将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 【变式3-2】用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 【变式3-3】（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【解析】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 题型四 用公式法解一元二次方程 【例4】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式4-1】用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， ， 则，，， 故选：C． 【变式4-2】用公式法解方程：． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ， ， ． 【变式4-3】用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 (3) (4)， 【解析】（1）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：整理可得：， ∴，，， ∴， ∴原方程无实数根； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 题型五 用因式分解法解一元二次方程 【例5】一元二次方程的根是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解： ， 或， 所以或． 则一元二次方程的根是或． 故选：C． 【变式5-1】一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解： ， 故选：C． 【变式5-2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 【变式5-3】现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 【答案】C 【解析】解：∵对于任意实数a，b，都有， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选：C． 题型六 用换元法解一元二次方程 【例6】已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【解析】解：， ， 令， ， 解得：或， ， （舍去）， 的值是3， 故选：B 【变式6-1】已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 【变式6-2】利用换元法解方程． 【答案】， 【解析】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 【变式6-3】【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 【答案】(1)降次 (2) (3) 【解析】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想 （2）解：设，则原方程可化为 整理，得 解得， 又∵ （3）解：设，则原方程可化为 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 原方程的解为． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例7】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】C 【解析】解：∵，，，， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 【变式7-1】关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【解析】解： ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式7-2】下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：∵方程中， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 【变式7-3】下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     B. ，此时， 有两个相等的实数根，不符合题意；     C. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     D. ，此时， 无实数根，符合题意；     故选：D． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【例8】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 故选：B． 【变式8-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 【变式8-2】若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 【变式8-3】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：B． 题型九 一元二次方程的根与系数的关系 【例9】已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 【变式9-1】34．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 【变式9-2】方程的一个根为2，则另一个根为（    ）． A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】解：∵方程的一个根为2，且两根之积为， ∴另一个根为； 故选C． 【变式9-3】设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 【答案】A 【解析】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 则的值为18． 故选：A． 题型十 一元二次方程的应用 【例10】有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 【答案】C 【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮传染后有（人）； 故选：C ． 【变式10-1】在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 (2)日销售利润不能达到元，见解析 【解析】（1）解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）解：不能．理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 【变式10-2】学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)，；， (2)围成的矩形花圃面积不能为840．理由见解析 【解析】（1）篱笆长80， ， ， ， 由解得， ， 矩形面积，． （2）不能，理由如下： 令，即， 整理得， 此时， 一元二次方程没有实数根， 围成的矩形花圃面积不能为840． 【变式10-3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【解析】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【解析】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 2．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．0 【答案】A 【解析】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴把代入得：， 解得：， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【解析】解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 所以，， ∴． 故选：C． 4．方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 5．已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 【答案】C 【解析】解：， 或， 当时，解得， 此时， 代数式的值为0或4， 故选C． 二、填空题 6．已知：，那么 ． 【答案】5 【解析】解：设，则． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：5． 7．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】解：， ， ∵， ∴， ∴关于x的一元二次方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根； 8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 【答案】 【解析】解：根据题意可列方程： ， 解得或（舍去）， 经过三次降价后每瓶零售价为， ， 经过三次降价后，顾客一共节省了元． 故答案为：；． 9．已知是方程的根，则m的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵是方程的根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 11．解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)， ； (2)， ． 【解析】（1）解：根据题意得：， ， ， ∴， ； （2）解： ， ∴， ． 12．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【解析】解：是方程的根， ， ， ． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【解析】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 14．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 15．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【解析】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：∵ ∴， ， 即， 则 故选：D． 3．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【解析】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 4．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 【答案】A 【解析】解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得 ， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴金色纸边的宽为1分米； 故选：A． 5．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 二、填空题 6．一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】44 【解析】解：一元二次方程根的判别式的值是：， 故答案为：44． 7．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【解析】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 8．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ， ．（，结果精确到0.1） 【答案】 【解析】解：根据题意得， 即， 整理得， 则， ∴， ∴（舍去）， 所以， 故答案为：；． 9．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 【答案】6或10 【解析】解：， ∴， ∴或， 当斜边为5时，另一条直角边的长度为， 所以的面积， 当直角边为5时，的面积， 综上所述，的面积为6或10． 故答案为：6或10． 10．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 【答案】10 【解析】解：设运动x秒后P、Q两点相距25， 则，， 由题意，得， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， 故答案为： 三、解答题 11．解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【解析】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 14．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 【答案】 【解析】解：， 设， 则原方程化为， 即， ， 解得，， ∵不能是负数， ∴ 15．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【解析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元二次方程（复习讲义） 1．了解一元二次方程的及其相关概念。 ①了解一元二次方程的概念；②会把任意的一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)；③熟练的确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 2．掌握一元二次方程程的解法。 ①掌握配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程；②掌握一元二次方程的求根公式，会用公式法解某些一元二次方程；③会用因式分解法解某些一元二次方程。 3．理解一元二次方程的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 ①理解一元二次方程的判别式；②会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；③利用根与系数的关系求解。④运用方程思想列出一元二次方程解应用题，通过列方程解应用题。 知识点01：一元二次方程的定义 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程。 知识点02：一元二次方程的一般形式 一元二次方程可以化为 的形式，称为一元二次方程的一般形式 。其中 ， ， 分别叫做这个方程的二次项、一次项和常数项， ，分别叫做二次项系数和一次项系数。 知识点03： 用配方法解一元二次方程 1）配方法的定义：当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法 . 2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①将方程化成一般形式。 ②将二次项系数化为1。方程的左右两边同时除以二次项系数或乘以二次项系数的倒数并且将常数项移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方。 ④把方程的左边写成完全平方式右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 知识点04：用公式法解一元二次方程 1）公式法的定义： 一般地，对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 2）公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成一般形式，并确定的值。 ②计算的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 知识点05： 因式分解法解一元二次方程 1）因式分解的方法的定义：利用因式分解求出方程的解的方法，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2）因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 3）因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。 ②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 知识点06： 一元二次方程根的判别式 一元二次方程是否与实数根，有实数根时两个实数根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式的值的符号，因而叫做一元二次方程的根的判别式，通常用 来表示，即。 1)若 方程有两个不相等的实数根 。 2)若 方程有两个相等的实数根。 3)若 方程没有实数根。 知识点07： 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是Х1,Х2 ,那么 ， 。 1）时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 2）时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 3）时，一元二次方程没有实数根。 知识点08：整体法或换元法解一元二次方程 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 知识点09：一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系。 ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。 ③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程。 ④解：准确求出方程的解。 ⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题。 ⑥答：写出答案。 1、与图形有关问题 ①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。 ②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。 2、增长率问题 计算公式：平均增长类型： 平均下降类型： 3、营销问题 计算公式：总利润＝ 单利润×数量 现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分） 现数量＝ 原数量－（原数量＋） 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【变式1-1】已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【变式1-2】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】方程不含x的一次项，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 由一元二次方程的解求参数 【例2】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式2-1】若一元二次方程有一根为，则代数式的值为（　　） A． B． C． D．0 【变式2-2】若是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为（  ） A． B．1 C． D．2025 题型三 用配方法解一元二次方程 【例3】用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】用配方法解方程： (1)． (2)； 【变式3-3】（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 题型四 用公式法解一元二次方程 【例4】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】用公式法解方程：． 【变式4-3】用公式法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型五 用因式分解法解一元二次方程 【例5】一元二次方程的根是（       ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】一元二次方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】现定义运算“★”，对于任意实数a、b都有，如：，若，则实数x的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．1或 题型六 用换元法解一元二次方程 【例6】已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 【变式6-1】已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】利用换元法解方程． 【变式6-3】【阅读材料】 方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①， 解方程①可得，； 当时，，即，； 当时，，即，； 原方程的解为，，，． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想； (2)已知，求的值； (3)请仿照材料中的方法，解方程：． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例7】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【变式7-1】关于x的方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【变式7-2】下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式7-3】下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D．               题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【例8】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【变式8-2】若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 题型九 一元二次方程的根与系数的关系 【例9】已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式9-1】34．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【变式9-2】方程的一个根为2，则另一个根为（    ）． A． B．1 C． D． 【变式9-3】设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．18 B． C．20 D．22 题型十 一元二次方程的应用 【例10】有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 【变式10-1】在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． (1)据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． (2)已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【变式10-2】学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙．另外三边用篱笆围成，已知墙长42，篱笆长80．设垂直于墙的边长为x米，平行于墙的边长为y米，围成的矩形面积为． (1)求y与x，S与x的函数关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为840？如果能，求出x的值；如果不能，说明理由． 【变式10-3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 2．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．0 3．用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 4．方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 二、填空题 6．已知：，那么 ． 7．关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得 ．若第三次降价的百分率与前两次相同，则经过三次降价后，顾客一共节省了 元． 9．已知是方程的根，则m的值为 ． 10．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 12．已知m是方程的根，求代数式的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 14．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 15．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．把一元二次方程，配成的形式，则、的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 4．如图1是小明同学用手机拍摄的一张家乡风景照片，照片的长为8分米，宽为6分米，现在想在原照片的四周围用宽度相同的金色纸边进行装裱，如图2．如果要求装裱后的图片面积是80平方分米．则装裱用的金色纸片的宽是（    ） A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米 5．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．一元二次方程根的判别式的值是 ． 7．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 8．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若设支撑点C到端点A的距离为，则得到关于x的方程的一般形式是 ， ．（，结果精确到0.1） 9．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 10．如图，在中，，，，动点P从点C出发，以2的速度沿方向运动；同时动点Q从点B出发，以1的速度沿方向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25． 三、解答题 11．解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（方法不限）． 12．先化简，再求值： ．其中m是方程的根．                    13．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 14．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为. 解得， 当时，，∴.∴； 当时，，∴.∴. ∴原方程的解为，，，； 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值. 15．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$