第三章 勾股定理（知识清单）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第三章 勾股定理 1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用，分别表示直角三角形的两直角边和斜边长为，那么。 2.赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。图中，所以。　 3.如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 4.判定一个三角形是否是直角三角形 ①确定最大边（如）. ②验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 5.满足的三个正整数，称为勾股数。 6.勾股数满足两个条件：①满足 ②三个正整数 7.最短路径问题的基本原理：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 易错点1 忽略勾股定理使用条件 错误：勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。 注意：如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 例题1 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 易错点2 考虑不全面而漏解 错误：在解决勾股定理相关问题时考虑不全面而漏解，例如已知两边求第三边，要考虑第三边是直角边还是斜边。 注意：在解决勾股定理相关问题时要考虑所有可能的情况。 例题2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（   ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【答案】D 【解析】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得， 所以； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得， 所以； 故或7， 故选：D． 1．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【解析】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为（    ） A．42 B．33 C．42或32 D．37或33 【答案】C 【解析】此题应分两种情况说明： 如图（1），当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中， ， ∴BC=5+9=14 ∴△ABC的周长为：15+13+14=42； （2）当△ABC为钝角三角形时， 如图（2）， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中，， ∴BC=9-5=4． ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32． 故选 C． 【点睛】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 3．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（   ） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 【答案】C 【解析】解：当第三边是斜边时， ， 当第三边是直角边时， ， ∴第三边长的平方为9或41， 故选：C． 4．已知两条线段的长分别为、，当第三条线段长为 时，这三条线段可以构成一个直角三角形． 【答案】3或 【解析】解：当和长线段为直角边时，第三条线段的长为； 当长线段为直角三角形的斜边时，第三条线段的长为； 故答案为：3或． 5．已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于 ． 【答案】 【解析】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 6．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【答案】24 【解析】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？ 【答案】或16 【解析】解：在中，，， 所以由勾股定理，得，所以． 如图，作边上的高． 因为， 所以． ①当为直角时，点与点重合，，所以； ②当为直角时，点与点重合，． 在中，因为，所以，解得． 综上，当或16时，为直角三角形． 8．某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】解：连接，如图， ∵，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，， ∴． 9．如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【解析】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 10．如图，在四边形中，连接，，，，，且，求的度数． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 勾股定理 1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用，分别表示直角三角形的两直角边和斜边长为，那么。 2.赵爽弦图：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形。图中，所以。　 3.如果三角形的三条边长满足，那么这个三角形是直角三角形。 4.判定一个三角形是否是直角三角形 ①确定最大边（如）. ②验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形。 5.满足的三个正整数，称为勾股数。 6.勾股数满足两个条件：①满足 ②三个正整数 7.最短路径问题的基本原理：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 易错点1 忽略勾股定理使用条件 错误：勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。 注意：如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 例题1 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 易错点2 考虑不全面而漏解 错误：在解决勾股定理相关问题时考虑不全面而漏解，例如已知两边求第三边，要考虑第三边是直角边还是斜边。 注意：在解决勾股定理相关问题时要考虑所有可能的情况。 例题2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（   ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 【答案】D 【解析】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得， 所以； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得， 所以； 故或7， 故选：D． 1．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【解析】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为（    ） A．42 B．33 C．42或32 D．37或33 【答案】C 【解析】此题应分两种情况说明： 如图（1），当△ABC为锐角三角形时， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中， ， ∴BC=5+9=14 ∴△ABC的周长为：15+13+14=42； （2）当△ABC为钝角三角形时， 如图（2）， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ACD中，， ∴BC=9-5=4． ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32． 故选 C． 【点睛】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度． 3．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边长的平方为（   ） A．6或9 B．3或9 C．9或41 D．6或41 【答案】C 【解析】解：当第三边是斜边时， ， 当第三边是直角边时， ， ∴第三边长的平方为9或41， 故选：C． 4．已知两条线段的长分别为、，当第三条线段长为 时，这三条线段可以构成一个直角三角形． 【答案】3或 【解析】解：当和长线段为直角边时，第三条线段的长为； 当长线段为直角三角形的斜边时，第三条线段的长为； 故答案为：3或． 5．已知三角形的三边分别为，则最长边上的高等于 ． 【答案】 【解析】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， 三角形的三边分别为， ∴， ∴三角形是直角三角形（斜边长是）， ∵， ∴解得， ∴最长边上的高等于； 故答案为：； 6．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ． 【答案】24 【解析】解：连接，在中，， ， 在中， ， 为直角三角形； 图形面积为： 故答案为：． 7．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，则当为多少时，为直角三角形？ 【答案】或16 【解析】解：在中，，， 所以由勾股定理，得，所以． 如图，作边上的高． 因为， 所以． ①当为直角时，点与点重合，，所以； ②当为直角时，点与点重合，． 在中，因为，所以，解得． 综上，当或16时，为直角三角形． 8．某中学初二年级同学在学习了勾股定理后对其产生了学习兴趣．数学活动小组对校园一角开辟的一块四边形的“试验田”进行面积测量．如图，四边形是规划好的“试验田”，经过测量得知：，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【解析】解：连接，如图， ∵，，， ∴， 在中，∵， ∴是直角三角形，， ∴． 9．如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【解析】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 10．如图，在四边形中，连接，，，，，且，求的度数． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$