精品解析：黑龙江省大庆市靓湖学校2024-2025学年下学期八年级数学期末 试卷

大庆市靓湖学校八年级期末考试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列立体图形中，三视图（主视图、左视图、俯视图）相同的是（　　） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 3. 如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=2x2+1共有的性质是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴都是y轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点 6. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（ ） 火树银花 （化学变化） 晾干衣服 （物理变化） 水果发霉 （化学变化） 冰雪消融 （物理变化） A. B. C. D. 9. 如图，A，C为反比例函数（）图象上的两点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，线段交于点E，且E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 10. 如图（1），在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F．设点E运动的路程为x，FC＝y（当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0），y与x的函数关系的大致图象如图（2）．当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4.8 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知，则 _______． 12. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 13. 如图，点A在双曲线y=上，AB⊥y轴于B，S△ABO =3，则k=__________ 14. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 __________________ ． 15. 在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ． 16. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 17. 已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 18. 如图，在正方形中，，等腰直角三角形的顶点E 在上，且，，点O为斜边的中点，连接，，将绕点E 旋转，当时，点F到的距离为__________ 三、解答题（本大题共9个小题，共66分） 19. 一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 21. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在 中，点为边上一点，连接． （1）初步探究， 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 23. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 24. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式是．柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（结果保留根号） 25. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点C为线段上一点，且，连接，求； （3）当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； （4）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校八年级期末考试 数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列立体图形中，三视图（主视图、左视图、俯视图）相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左边看得到的图形，俯视图是从上边看得到的图形，分别分析各选项即可得到答案．熟练掌握常见的简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：A、半球体的主视图和左视图都是半圆，俯视图是圆，故本选项不符合题意； B、圆柱体的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； C、球体的主视图、主视图和俯视图都是圆，故本选项符合题意； D、圆锥体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入反比例函数解析式，直接计算m的值． 本题考查了图象过点求坐标问题，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以将代入函数解析式，得： 因此，， 故选：C． 3. 如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）； （3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）； （4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。 【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意． B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意． C选项相等的角不是对应角，不符合题意． D选项相等的角不是对应角，不符合题意． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法． 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 5. 抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=2x2+1共有的性质是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴都是y轴 C. 都有最高点 D. 顶点都是原点 【答案】B 【解析】 【详解】（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点； （2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点； （3）y=2x2+1开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，1）． 故选B． 6. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 7. 在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx﹣3的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； ②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限， 观察只有B选项符合， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题． 8. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（ ） 火树银花 （化学变化） 晾干衣服 （物理变化） 水果发霉 （化学变化） 冰雪消融 （物理变化） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 9. 如图，A，C为反比例函数（）图象上的两点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，线段交于点E，且E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴, ∴， 则， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴ ∴． 故选A． 10. 如图（1），在正方形ABCD中，动点E从点A出发，沿A—B—C运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE，交CD于点F．设点E运动的路程为x，FC＝y（当点A，E重合时，点D，F重合；当点C，E重合时，不妨设y＝0），y与x的函数关系的大致图象如图（2）．当点E在BC上运动时，FC的最大长度是1，则正方形ABCD的面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】易证，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】解：如图，设，当点E在上运动时（不与点B、C重合）， ∵四边形是正方形 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，即， ∴， 当时，y取得最大值，此时点E为的中点， ，把代入，得， 解得，， 即， 故正方形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】由4y-3x=0得：4y=3x，根据比例的性质即可求出答案. 【详解】因为4y-3x=0， 所以4y=3x， 所以=. 故答案为. 【点睛】本题考查比例的性质，比例的两个内项的积等于两个外项的积，熟练掌握比例的性质是解题关键. 12. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 13. 如图，点A在双曲线y=上，AB⊥y轴于B，S△ABO =3，则k=__________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO=|k|，即可求出表达式. 【详解】解： ∵△OAB的面积为3，∴k＝2S△ABO＝6， ∴反比例函数的表达式是y= 即k=6 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意三角形面积=|k|，学生们熟练掌握这个公式. 14. 如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 __________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率；求出黑色区域面积占整个面积的比即可． 【详解】解：镖落在黑色区域的概率是； 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 __________ ． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3）， ∴点A1的坐标是：， 即A1． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 16. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析式中各系数关系的正负性是解题的关键．由二次函数的图象及性质，逐个结论进行判段，从而解答本题． 【详解】解：由抛物线的开口方向可知：， 由对称轴的位置，可知：， 不等式两边同时乘以得：， 可得：，， 结论①正确；②正确； 由，，可知：， 由抛物线与轴的交点可知：， ， 结论③错误； 由二次函数与一元二次方程的联系得，关于的方程有两个不相等的实数根， ， ， 由上可知，，，， ，， ， 结论④正确； 综上所述：①②④正确； 故答案为：①②④． 18. 如图，在正方形中，，等腰直角三角形的顶点E 在上，且，，点O为斜边的中点，连接，，将绕点E 旋转，当时，点F到的距离为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】由可知，点在线段或的垂直平分线上，分①当点在上方时和②当点在下方时，两种情况讨论即可得解． 【详解】①当点在上方时，如图，过点作于点，则，过点作于点，交于点，则， ， 是等腰直角三角形，， 由勾股定理得， 点为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ②当点在下方时，如图，过点作于点，同①可求，过点作于点，交于点， 同①可求，， ， 综上可知，点到的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线截线段成比例定理，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共66分） 19. 一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，由三视图还原几何体是解题的关键． 根据三视图可知该几何体为圆锥和圆柱的结合体，进而根据三视图中的数据计算体积即可． 【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为：． 20. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1） （2）半径为米 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 21. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在 中，点为边上一点，连接． （1）初步探究， 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正确运用相似三角形的判定与性质的知识是解答本题的关键． （1）由，证明，得，则； （2）设则根据相似三角形的性质得，则，求得,所以，而，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ∵点D为中点， ∴ 由（1）得， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 22. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 23. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144 （2） 补全条形图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：200，144； 【小问2详解】 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 【小问3详解】 由题意，列表如下： A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. 24. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式是．柱子的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（结果保留根号） 【答案】；水池的半径至少为，才能使喷出的水流不至于落在池外 【解析】 【分析】令，求出，令，求出的值即可． 【详解】解：令，， ， 令时，， 解得：，（舍）， 水池的半径至少为，才能使喷出的水流不至于落在池外． 25. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元 （3）当时，有利润的最大值为3600元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． 【小问3详解】 每天的利润为， 则 ， 当时，有利润的最大值为3600元． 26. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点C为线段上一点，且，连接，求； （3）当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； （4）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）3 （3）或 （4）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）根据函数图象即可求解； （4）分为和两种情况讨论，分别构造“三垂直相似”证明，利用相似三角形的性质得到，设，，分别得到关于、的方程求解即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则反比例函数的解析式为：， 将点的坐标代入反比例函数的解析式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 则一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，连接、、， 对于， 当，， 解得： ∴点， 则， ， ∴， 则； 【小问3详解】 解：∵， ∴由图象可得：反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； 【小问4详解】 解：存在， 由题意得，，或， ①当时， 过点作轴的平行线分别交过点、与轴的平行线于点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， 则，， 解得：，， 则点； ②当时， 同理可证明：， ∴， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点； ∴综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 27. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）； （1）求二次函数的解析式； （2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由． （3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；（3）M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（-，0）． 【解析】 【分析】（1）设二次函数的交点式为y=a，将C点代入交点式，求出a，即可得出解析式； （2）设出N点坐标（n，-n2-n+2），利用未知数表示出△NAC的面积的表示方法，再利用二次函数求最值的方法，求出面积的最大值； （3）利用等腰三角形的特点，分类进行分析，即可求出结果． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A（-2，0），B（1，0）， 设二次函数的解析式为：y=a， 把C（0，2）代入得：2=a， a=-1， ∴y==-x2-x+2， ∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2； （2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2）， 设直线AC的解析式为：y=kx+b， 把A（-2，0）、C（0，2）代入得：， 解得： ， ∴直线AC的解析式为：y=x+2， ∴D（n，n+2）， ∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n， ∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1， ∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2）， （3）存在，分三种情况： ①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）； ②如图2，由勾股定理得：BC=， 以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=， 此时，M2（1-，0），M3（1+，0）； ③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4， 设OM4=x，则CM4=BM4=x+1， 由勾股定理得：22+x2=（1+x）2， 解得：x=， ∵M4在x轴的负半轴上， ∴M4（，0）， 综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或（1±，0）或（，0）； 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，包括求解析式，面积问题，等腰三角形求值问题，掌握相关知识点并进行熟练运用是解综合题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $