第三章 空间向量与立体几何（复习课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第三章 空间向量与立体几何 北师大版2019·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握空间向量基础：理解空间向量的定义、表示及模、零向量等核心概念，明确向量与数量的本质区别，熟练运用线性运算、数量积运算及坐标运算规则。 2.学会向量工具应用：能准确求解直线方向向量和平面法向量，运用向量方法判定线线、线面、面面的平行与垂直关系，掌握空间角与距离的向量计算技巧。 3.提升空间建模能力：能将立体几何实际问题转化为空间向量模型，通过建立空间直角坐标系，利用坐标运算解决几何问题，强化数学建模思维。 4.强化运算与推理能力：提高向量运算的速度和准确性，在位置关系判定、角与距离计算中做到逻辑推理严谨，能用规范数学语言表述过程与结论。 单元学习目标 单元知识图谱 一、空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 长度(模)为　　　的向量  0 单位向量 长度(模)为　　　的向量  — 相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量  a=b 相反向量 长度　　　　而方向　　　　的向量  a的相反向量为-a   共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　　　　　的向量  a∥b 共面向量 平行于同一个　　　　　的向量  — 0 1 相同 相等 相等 相反 注意类比空间向量与平面向量 平行或重合 平面 考点串讲 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p= . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p= .{a，b，c}叫做空间的一个基底. a=λb 唯一 xa+yb xa+yb+zc 二、空间向量的有关定理 为了使λ存在且唯一 考点串讲 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则　　　　叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>. (1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向 ②范围:0≤<a,b>≤π. (2)两个非零向量a,b的数量积: a·b=　　　　　　　　　　.  误区警示　向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 三、空间向量的数量积 ∠AOB |a||b|cos<a,b> 考点串讲 (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).   向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) ______________________ 垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) ________________ 模 |a| ________________ a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0 三、空间向量的数量积 考点串讲 四、空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. 考点串讲 四、空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 考点串讲 1.证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线: (1)=λ(λ∈R); (2)对空间任意一点O,+t(t∈R); (3)对空间任意一点O,=x+y(x+y=1). 五、空点三点共线、四点共面 考点串讲 2.证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面: (1)=x+y(x,y∈R); (2)对空间任一点O,+x+y(x,y∈R); (3)(或). 五、空点三点共线、四点共面 考点串讲 六、空间距离 （一）点到直线的距离 设 ＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量 在直线l上的投影 向量 ＝ .在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ . （a·u）u　 考点串讲 六、空间距离 （二）点到平面的距离 1. 点到平面的距离： 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点 P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P 到平面α的距离就是 在直线l上的投影向量 的长度. 因此PQ＝ ＝ ＝ 　 　. 　 2. 直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 考点串讲 【例1】(1)已知向量=(1，a，-2)，=(-3，6，b)，若A，B，C三点共线，则a-b等于 A.-8 B.-2 C.2 D.8 题型一、空间向量的线性运算 以图形为指导是解题的关键 (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点，=2，则等于 A.- B. C.- D.-- 【答案】（1）C （2）C 题型剖析 题型一、空间向量的线性运算 【解析】(1)因为A，B，C三点共线，所以与共线，又向量=(1，a，-2)，=(-3，6，b)，所以==， 所以a=-2，b=6，所以a-b=-8, （2）因为=2，所以=，所以===×)+-)+ =-. 题型剖析 在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若=a，=b，=c，则等于  A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c 题型一、空间向量的线性运算 【解析】选A 根据题意可得=)=(a+c)，==(a+c)， 所以==-=-b+(a+c)=a-b+c. 变式训练 题型二、空间向量基本定理的应用 【例2】 (1)已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,-2),c=(1,-1,0),若(a+c)∥b,则x+y=(　　) A.-1 B.-3 C.- D.-8 (2)O为空间任意一点，若=-+t，若A，B，C，P四点共面，则实数t等于（ ） A.1 B. C. D. 【答案】（1）C （2）C 注意类比空间向量与平面向量 题型剖析 【解析】(1)a+c=(x,2,4)+(1,-1,0)=(x+1,1,4).因为(a+c)∥b,所以可设b=m(a+c), 即(3,y,-2)=m(x+1,1,4),故解得故x+y=-7-=- （2）因为=-，所以=-+t可化简为 -=-+t，即=+t， 由于A，B，C，P四点共面，则+t=1，解得t=. 题型二、空间向量基本定理的应用 题型剖析 题型二、空间向量基本定理的应用 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型剖析 （苏教选二P17习题6题改编）已知空间中A，B，C，D四点共面， 且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若 ＝6 －4 ＋λ ，则λ＝（　B　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【解析 ＝6 －4 ＋λ ，即 － ＝6 －4 ＋λ ，整理得 ＝6 －3 ＋λ ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 题型二、空间向量基本定理的应用 变式训练 （人A选一P13例2、例3改编）如图，已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝ ∠A1AD＝120°. （1）求线段AC1的长； 题型三、空间向量的数量积及应用 （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； （3）求证：AA1⊥BD. 题型剖析 （1）求线段AC1的长； 题型三、空间向量的数量积及应用 解：设 ＝a， ＝b， ＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1× cos 120°＝－1. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋b＋c， 所以｜ ｜＝｜a＋b＋c｜＝ ＝ ＝ ＝ ，所以线段AC1的长为 . 题型剖析 （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； 【解析】因为 ＝a＋b＋c， ＝b－c， 所以 · ＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0 ＋1＋1－4＝－2， ｜ ｜＝｜b－c｜＝ ＝ ＝ ＝ ， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为 . 题型三、空间向量的数量积及应用 题型剖析 题型三、空间向量的数量积及应用 （3）求证：AA1⊥BD. 解：证明：因为 ＝c， ＝b－a， 所以 · ＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即 ⊥ ， 所以AA1⊥BD. 题型剖析 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂 直问题 利用a⊥b⇔a·b=0,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 题型三、空间向量的数量积及应用 题型剖析 题型三、空间向量的数量积及应用 已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是 A.(a+b)∥a B.a与b夹角的余弦值为 C.2a⊥(5a+6b) D.4|a|=|b| 对于A，a+b=(1，3，6)，因为≠≠，所以a+b与a不平行，故A错误； 对于B，a与b夹角的余弦值为==-，故B错误； 对于C，2a=(-4，-2，2)，5a+6b=(8，19，35)，则2a·(5a+6b)=-32-38+70= 0，即2a⊥(5a+6b)，故C正确； 对于D，4|a|=4，|b|=×=5，故D错误. 变式训练 题型四、向量法证明平行、垂直 【例4】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E，F分别为PC，BD的中点.求证：(1)EF∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PDC. 题型剖析 题型四、向量法证明平行、垂直 （1）如图，取AD的中点O，连接OP，OF. 因为PA=PD， 所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD.因为PA=PD=AD，所以PA⊥PD，OP=OA=.如图，以O为坐标原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A，F，D，P，C.因为E为PC的中点，所以E.易知平面PAD的一个法向量为=，因为=，·=·=0. 且EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. 题型剖析 题型四、向量法证明平行、垂直 （2）因为=，=(0，-a，0)， 所以·=·(0，-a，0)=0， 所以⊥， 所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC， 所以PA⊥平面PDC. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 题型剖析 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素). (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 题型四、向量法证明平行、垂直 变式训练 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点.求证：  (1)EF∥平面A1B1BA； (2)平面AEA1⊥平面BCB1. 题型四、向量法证明平行、垂直 变式训练 因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB=3，BE=，所以AE=2，所以E(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，2，0)，B(-，0，0)，A1(0，2，)，则F.=，=(-，-2，0)，=(0，0，).设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x，y，z)， 则所以取所以n=(-2，，0).因为·n=×(-2)+1××0=0，所以⊥n.又EF⊄平面A1B1BA， 所以EF∥平面A1B1BA. 题型四、向量法证明平行、垂直 变式训练 题型五、空间距离 【例5】 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点. (1)求点A1到直线B1E的距离; (2)求直线FC1到直线AE的距离; (3)求直线FC1到平面AB1E的距离. 题型剖析 题型五、空间距离 解 (1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0), A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1), E(0,0,),F(1,1,),=(0,1,0),=(1,1,), 所以点A1到直线B1E的距离 d1= 题型剖析 题型五、空间距离 (2)=(1,0,-),=(1,0,-),则,因为A,C1,E,F不共线,则C1F∥AE,连接EF,则=(1,1,0), 所以直线FC1到直线AE的距离d2= 题型剖析 题型五、空间距离 (3)因为C1F∥AE,FC1⊄平面AB1E,AE⊂平面AB1E,则FC1∥平面AB1E, 则直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离, 设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z), 则取x=1, 可得n=(1,-2,2),=(-1,1,1),则直线FC1到平面AB1E的距离d3= 题型剖析 题型五、空间距离 (1)点到直线的距离 ①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的 距离d=. ②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离. (2)求点面距一般有以下三种方法 ①作点到面的垂线，求点到垂足的距离. ②等体积法. ③向量法. 题型剖析 (多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在 BD上，且BE=BD；点F在CB1上，且CF=CB1.则下列结论正确的是  A.线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段 B.异面直线AA1与BD的距离为 C.点D1到直线EF的距离为 D.点D1到平面DEF的距离为 题型五、空间距离 变式训练 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，  ==， ==， 所以E，F. 对于A，==(1，1，0)，=(1，0，1)， 所以·=-=0，·=-=0， 题型五、空间距离 变式训练 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，  ==， ==， 所以E，F. 对于A，==(1，1，0)，=(1，0，1)， 所以·=-=0，·=-=0， 题型五、空间距离 变式训练 即EF⊥DB，EF⊥CB1，所以线段EF是异面直线BD与 CB1的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体的性质可得异面直线AA1与BD的公 垂线的一个方向向量为=(-1，1，0)， 又=(1，0，0)，所以异面直线AA1与BD的距离为==，故B错误； 对于C，==， 所以在方向上的投影向量的长度为h==，所以点D1到直线EF的距离为==，故C正确； 题型五、空间距离 变式训练 对于D，设平面DEF的法向量为n=(x，y，z)，=， 则即 令x=1，得y=-1，z=2， 所以n=(1，-1，2)，又=(0，0，1)， 所以点D1到平面DEF的距离d===，故D正确. 题型五、空间距离 变式训练 1. 若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向 量是（　　） A. （2，2，6） B. （1，2，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 【解析】∵M，N在直线l上，且 ＝（1，1，3），故向量（2，2， 6）是直线l的一个方向向量. 针对训练 2.（2025·济南模拟）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面 AB1C与平面A1C1D之间的距离为（　　） A. B. C. D. 针对训练 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1，0，0）， C1（0，1，0），D（0，0，1），A（1，0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝ （－1，0，0）.设平面A1C1D的一个法向量为m＝ （x，y，1），则有 解得 故m＝ （1，1，1）.显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D 之间的距离d＝ ＝ ＝ . 针对训练 3. 若四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB ＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则 点G到直线AD的距离为（　　） A. B. C. D. 针对训练 【解析】由∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，知OA， OB，OC两两垂直，以O为原点，OA，OB，OC所在直线 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝ 1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A（1，0，0），B （0，2，0），C（0，0，3），D（0，0，1），G（ ， ，1），于是 ＝（－ ， ，1）， ＝（－1，0，1），｜ ｜＝ ＝ ， · ＝－ ×（－1）＋1＝ ，所以点G到直线AD的距离d＝ ＝ ＝ . 针对训练 1种意识——基底意识 用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识． 2种方法——基向量法和坐标法 用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解， 适于建系的可用坐标运算求解． 3个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题 (1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误； (2)注意向量夹角与两直线夹角的区别； (3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别. 课堂总结 感谢聆听! $$