精品解析：浙江省宁波市慈溪市慈吉实验学校2025-2026学年九年级上学期暑托检测数学检测卷

慈吉实验学校八下第一期暑托检测（九年级） 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列函数属于二次函数的是（　　） A. y＝x﹣ B. y＝（x﹣3）2﹣x2 C. y＝﹣x D. y＝2（x+1）2﹣1 2. 下列说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 所有矩形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有平行四边形都相似 3. 若，则下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 7. 二次函数y=ax2+bx-c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，是斜边上的高线，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交于点G，下列结论：①；②G为中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题） 11. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 12. 如果函数y=（k-2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是_____________． 13. 已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）． 14. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是______填序号． 16. 如图在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点，已知，（，为不小于的整数），则的值是________． 三、解答题（共7小题） 17. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 18. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）求此抛物线与坐标轴的交点． 19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 20. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 21. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线y＝x＋1与抛物线交于A，D两点，求点A，D的坐标； （3）请直接写出当一次函数值小于二次函数值时，x的取值范围． 22. 设二次函数（是实数）． （1）若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为4，求的值； （3）已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 23. 课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）加工成的正方形零件的边长是多少？ （2）【探索发现】如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果，高，则矩形面积的最大值为______用含，的代数式表示 （3）【实际应用】现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈吉实验学校八下第一期暑托检测（九年级） 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列函数属于二次函数的是（　　） A. y＝x﹣ B. y＝（x﹣3）2﹣x2 C. y＝﹣x D. y＝2（x+1）2﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案． 【详解】解：A．自变量x的次数不是2，故A错误； B．整理后得到，是一次函数，故B错误 C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误； D．是二次函数的顶点式解析式，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 所有菱形都相似 B. 所有矩形都相似 C. 所有正方形都相似 D. 所有平行四边形都相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可． 【详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误； B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误； C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确； D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3. 若，则下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，将已知比例式转化为等式，逐一验证选项是否成立. 【详解】解：已知，即，可变形为； 选项A：，即，与矛盾，不成立； 选项B：，即，交叉相乘得，与原比例无关，不成立； 选项C：，即，交叉相乘得，与已知一致，成立； 选项D：，即，与矛盾，不成立. 故选：C. 4. 在平面直角坐标系中，把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的平移函数表达式变换规律：左加右减，上加下减，求出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】 把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 所得抛物线的函数表达式是：， 即 ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移，解答此题的关键是要明确函数表达式平移的变化规律． 5. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 7. 二次函数y=ax2+bx-c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A、由抛物线知，a＞0，c＞0；由直线知a＞0，c＞0，故本选项正确； B、由抛物线知，a＜0，c＜0；由直线知a＜0，c＞0，故本选项错误； C、由抛物线知，a＜0，c＞0；由直线知a＞0，c＜0，a，c的值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线知，a＞0，c＞0；由直线知a＜0，c＞0，a的值矛盾，故本选项错误． 故选A． 8. 在中，是斜边上的高线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用射影定理可直接求解. 【详解】根据射影定理, ，， . 故选:C. 【点睛】主要考查直角三角形斜边上的高把三角形分成的两个三角形与原三角形相似. 9. 若二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，则的值的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得到，，对称轴的左侧，y随x的增大而增大，判断，从而得到，，得到，用b的代数式表示s即可确定范围． 【详解】∵二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和， ∴点和，都在对称轴的左侧， 即，，， ∵，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，对称轴的意义，不等式的意义，熟练掌握抛物线的增减性，灵活进行等式变形，不等式性质运用是解题的关键． 10. 如图，正方形中，E为BC中点，连接于点F，连接交于点G，下列结论：①；②G为中点；③；④，其中结论正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点M，可证得，可得，再证明，可得，故①正确；分别证得，，可得，即G为中点，故②正确；再根据，可得，故③正确；设，则， 分别求出，，故④正确，即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即G为中点，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共6小题） 11. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 12. 如果函数y=（k-2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是_____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到k-2≠0且，然后解不等式和方程即可得到k的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，解得k=0，或k=2， ∵k-2≠0，∴k≠2， 所以k=0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的定义． 13. 已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取，0，4时，所对应的函数值分别为，，，则，，的大小关系为________（用“＜”连接）． 【答案】＜＜ 【解析】 【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，），然后比较横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0）， ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3 ∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4，）关于对称轴直线x=3的对称点为（2，） ∵0＜2＜＜3 ∴＜＜ 故答案为：＜＜． 【点睛】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键． 14. 有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ，解得， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 15. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤． 其中正确的是______填序号． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出， ，，据此可判断①；根据图当时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤． 【详解】解：由于抛物线的开口向下，因此， 由于抛物线的对称轴是直线，所以、异号，而，所以， 由于抛物线与轴的交点在轴的正半轴，因此， 所以， 因此①不正确； 由图象可知，当时，，即， 因此②正确； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，等于c，c大于0， 当时，， 因此③正确； 因为对称轴为，即， 而当时，， 所以， 即， 因此④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：②③⑤， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握：抛物线的开口方向确定a的正负，对称轴的位置及a的符号确定b的符号，与y轴交点的位置确定c的符号． 16. 如图在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点，已知，（，为不小于的整数），则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DG∥AC交BF于点G，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：过点D作DG∥AC交BF于点G ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用． 三、解答题（共7小题） 17. 已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4． 【解析】 【分析】（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 设，， ， ， ， ，； （2）是的比例中项， ， 是线段，， ． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 18. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）求此抛物线与坐标轴的交点． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2）抛物线与轴的交点坐标为，．与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点M坐标代入函数解析式，即可求出m的值，再根据所得函数解析式求出抛物线顶点坐标即可． （2）分别取可求抛物线与y轴的交点，取可得抛物线与x轴的交点． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：对于，当时，， 所以，抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 解得，， 所以，抛物线与轴的交点坐标为，． 19. 在的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． （1）在图1网格中画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． （2）在图2的网格中作出与相似的最小格点． 【答案】（1） 如图1，即为所求． （2） 如图2，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可． （2）作三条边长分别为1，1，的三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，和的顶点A重合，，． （1）若，，求的长； （2）连接，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等证明，再由对应边成比例即可求解； （2）由，得到，变形为，再由夹角相等，即可证明相似． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴; 【小问2详解】 略 21. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线y＝x＋1与抛物线交于A，D两点，求点A，D的坐标； （3）请直接写出当一次函数值小于二次函数值时，x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A（－1，0）和B（3，0）代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把两个函数解析式联立，再解方程组即可得到答案； （3）当一次函数值小于二次函数值时，则一次函数的图象在二次函数的图象的下方，再结合函数图象可得答案. 【详解】解：（1） 抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）和B（3，0）两点， ，整理得 解得： 所以抛物线为： （2）由题意得： 整理得： 解得： 当 则 当 则 所以方程组的解为：或， 所以两个函数的交点坐标为： （3）当一次函数值小于二次函数值时， 则一次函数的图象在二次函数的图象的下方， 此时：或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解两个函数的交点坐标，利用两个函数的交点坐标结合图象法比较两个函数的函数值的大小，熟练的应用数形结合的方法解题是解本题的关键. 22. 设二次函数（是实数）． （1）若函数的对称轴为直线，求函数的表达式； （2）当时，函数的最大值为4，求的值； （3）已知和是函数图象上的两点，当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）函数对称轴为直线，据此求出，即可得到答案； （2）根据函数的最值得到，解得或，即可得到答案； （3）根据a的取值范围分三种情况讨论解答即可． 【小问1详解】 解：∵该函数对称轴为直线， ∴， 解得， ∴函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，函数的最大值为4， ∴， 解得或， 故的值为或； 【小问3详解】 ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数随着的增大而减小， ①当时，， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴ ∴ ③当时，函数为，， 即点N的坐标为，即， 当时，则， ∴ ∴符合题意； 综上可知，的取值范围是． 23. 课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）加工成的正方形零件的边长是多少？ （2）【探索发现】如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果，高，则矩形面积的最大值为______用含，的代数式表示 （3）【实际应用】现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积． 【答案】（1）48mm （2） （3） 【解析】 【分析】(1)设正方形的边长为，则，，通过证明∽，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出即可； (2)设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答； (3) 延长、交于点，过点作于点，由已知条件得到、，，继而求得，可判断中位线的两端点在线段、上，利用(2)结论解答可得． 【小问1详解】 解：如图，设正方形的边长为，则， ， ， ∽， ，即， 解得． 加工成的正方形零件的边长是． 【小问2详解】 设，矩形的面积为， 由条件可得∽， ， 即， 解得： 则， 故的最大值为． 【小问3详解】 解：如图，延长、交于点，过点作于点， ，， ， ，且， ， ， ， 在中，， ， ， 的中点在线段上， ， ， 的中点在线段上， 中位线的两端点在线段、上， 由知，矩形的最大面积为， 答：该矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $