2025年中考数学专题训练——二次函数七大专题

专题一 二次函数与线段 （一） 二次函数中的线段最值问题 知识储备 方法 水平线段 (右减左) 竖直线段 (上减下) 斜线段 (勾股定理) 斜线段+角 (锐角三角函数) 图象 条件 AB∥x轴 AB∥y轴 AC⊥BC AG⊥MN,∠BAG=α,AH⊥x轴 结论 方法应用 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于B，C 两点，与y轴交于点A. 坐标均可求出 P是直线AB 下方抛物线上的一动点，PK∥x 轴，交 AB 于点 K， 轴，交x 轴于点 D.求 PK为水平线段 PD为竖直线段 +PD 的最大值及此时点 P 的坐标. 试题专练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，其中B(3,0),C(0,-3). (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，过点 P 作PD⊥AC于点D，求PD 的最大值及此时点P 的坐标. （二） 二次函数中的线段比值 方法 化斜线为横线 化斜线为竖线 图象 作法 过点 P 作 PE∥x轴 过点 A 作EA∥y 轴,过点 P 作 PF∥y 轴 结论 方法应用 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m. (1)A,B,C 三点的坐标分别为 , , . (2)连接AP,交线段 BC 于点D. ①当CP与x轴平行时，求 的值； “X”型相似 ②当CP 与x 轴不平行时，求 的最大值. 构造“X”型相似 试题专练 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C,点 A 的坐标为(2,0),点 在抛物线上. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，E为线段CD 上的动点，射线OE 与线段AD 交于点M，与抛物线交于点N，求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 专题二 二次函数与面积 （一） 二次函数中的面积求法 方法 铅垂法 (面积作和) 铅垂法 (面积作差) 割补法 (分割求和，补形作差) 平移转化法 (同底等高) 图象 条件作法 过点 P 作 PQ∥y 轴交AB 于点Q 过点 P 作 PQ∥y 轴交AB 的延长线于点Q 连接OP 作 PM∥AC 结论 方法应用 例 已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，与x 轴正半轴交于点B，与y轴交于点C,且OB=OC=2OA.直线y=kx-2(k>0)与抛物线交于 D，E两点(点D 在点E 的左侧),连接OD,OE. (1)求抛物线的解析式； (2)若△ODE 的面积为 求k 的值. 学科网（北京）股份有限公司 变式训练 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y 轴交于点D，C是抛物线的顶点，已知点 B(3，0)，C(1,-4). (1)求此抛物线的解析式； (2)连接AD，P是抛物线上一点，且点 P 在直线BD 上方(与点A 不重合).若 求出点 P 的坐标. 试题专练 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 经过A(4,0)，B(1，4)两点，P是抛物线上一点，且在直线AB 的上方.若 的面积是 面积的2倍，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 （二） 二次函数中的面积的和差 知识点 面积和差问题→利用平行法或铅垂法→单图形面积问题 方法应用 如图1，抛物线 交x轴于A(2,0),B(-6,0)两点,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)如图2,点 Q 为线段BC 上的动点,过点 Q 作( 交抛物线的第三象限部分于点 P，连接PA,PB,QA,记△PAQ 与 的面积分别为 设 当 时，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 试题专练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与y 轴交于点C，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点. (1)求直线 BC 的解析式; (2)过点 A 作交抛物线于点D,连接CA,CD,PC,PB,BD,记四边形ACPB 的面积为 的面积为 当 的值最大时，求点 P 的坐标和 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 （3） 二次函数中的面积倍分 知识点 面积倍数关系转化为线段倍数关系，构造相似，化斜为直. 方法应用 如图，抛物线 经过点.A(-1,0),B(2,-3)，与y 轴交于点C，抛物线的顶点为 D. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 试题专练 已知抛物线 与x 轴交于A,B两点(点A 在点 B 左侧),与y 轴交于点 C，若P 是抛物线上一点，且 的面积为 面积的2倍，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 （四） 二次函数中的面积比值 知识点 面积比转化为高之比或底边之比，结合相似，化斜为直. 方法应用 如图，抛物线 与x 轴交于点A 和点B，与y 轴负半轴交于点C，点 P 是直线BC 下方抛物线上的点， 连接OP 交BC 于点E，连接PC，记 的面积分别为 点P到BC的铅垂距离可求最值 两三角形同高 当 的值最大时，求此时点 P 的坐标. 面积之比=底边之比 试题专练 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 经过A(4,0),B(1,4)两点. P是抛物线上一点，且在直线AB 的上方. (1)求抛物线的解析式； (2)如图,OP 交AB 于点C, 交AB 于点D.记 的面积分别为 判断 是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题三 二次函数与角 （一） 二次函数中的特殊角 类型1 45°角→构等腰直角三角形→三垂直全等 1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x 轴交于点A,B(点 B在点A 左侧)，与y 轴交于点C，点 在抛物线上.点P 在y 轴上，且点 P 在点 C 的下方，若 ，求点 P 的坐标. 类型2 30°或 角→构直角三角形→三垂直相似 2.如图，抛物线 与x 轴交于A，B两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C.点D 是抛物线上的一点，且 ，求点 D 的横坐标. 学科网（北京）股份有限公司 （二） 二次函数中的锐角三角函数 类型1 三角函数→构直角→边角关系 放到直角三角形中得到直角边的长 1.如图，抛物线 交x轴于点 A,B(点 B 在点 A 左侧),连接AC,BC, 点P(-3,m)在抛物线上，G为第四象限抛物线上一点，连接 PG， 于点 H,连接OH. 求出坐标并观察与点C的关系 点G为直线PG与抛物线的交点 (1)抛物线的解析式为 ； (2)若 求点G 的坐标. 找到相等的角转化 类型2 三角函数→构直角三角形→三垂直相似(化斜为直)/勾股定理 2.如图，抛物线 与x轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 左侧),交 y 轴于点C,且 D为点 B 右侧抛物线上的一点，连接AD，若 ，求点 D 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 （三） 二次函数中的等角 知识点 角度相等→基本图：平行，角平分线，等腰→解决方法：相似，勾股定理，三角函数 方法应用 一题多解 如图，二次函数 是常数，且m>0)的图象与x 轴交于A，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x 轴交于点 F,连接AC,BD. (1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示)，并求出 的度数； (2)若 求m 的值. 试题专练 已知抛物线 经过点A(-2,0),B(6,4),与x轴的另一个交点是C. (1)求抛物线的解析式； (2)过点 B 作 轴，垂足为 D.延长BD至点E，连接AE，若 求点 E 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 （四） 二次函数中的角的和差 经典例题 如图，抛物线 与x 轴交于点A 和点 B(点 A 在点 B的左侧)，与y轴交于点C，CO=BO,点D 为抛物线上一个动点(点D 与A，B均不重合). (1)求抛物线的解析式； (2)若 与 互余，求点 D 的坐标. 试题专练 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y 轴交于点C.连接AC，BC，抛物线上是否存在点 Q，使 若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 （五） 二次函数中的角的倍分 类型1 角平分线→构直角三角形→角度问题转化为交点问题 1.已知抛物线 点 A 在抛物线上且其横坐标为4，过点 A 作 轴于点B.点P 为抛物线的顶点，连接PA.点Q为抛物线对称轴左侧上一点，AQ 的延长线交x轴于点C，QP 的延长线交AB 的延长线于点D，连接CD.若 PA 平分 求点 Q 的坐标. 类型2 二倍角→作角平分线→角等→构造横平竖直相似 2.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P为第一象限抛物线上的点,连接CA,CB,PB,PC.当 时，求点 P 的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 专题四 二次函数与特殊几何图形 （一） 二次函数中的特殊三角形 类型1 直角三角形→构三垂直相似→横平竖直线段比→坐标关系 1.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点 Q 的坐标.(用含b 的代数式表示) (2)若抛物线与x轴只有一个公共点，经过点(0，2)的直线y=kx+n(k<0)与抛物线交于 点A，B.判断△AOB 的形状，并说明理由. 类型2 等腰三角形→腰相等(三线合一)→勾股定理或相似→坐标表示 2.如图，抛物线 与x 轴交于点.A(-3,0)和点 B(1,0),与y轴交于点 C.点D 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式. (2)若点 N 是抛物线对称轴上位于点 D 上方的一动点，是否存在以点 N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出满足条件的点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 （二） 二次函数中的平行四边形 图形 方法 平移法 : 中点坐标法： 方法应用 如图，抛物线 与x轴交于A，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C，D为坐标平面内一点.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标. 试题专练 一题多解 已知抛物线 与y轴交于点A (0，3)，对称轴是直线x=3.直线 +m与抛物线交于B，C两点(点B 在点C 的左侧)，点Q 是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P 在抛物线对称轴上. (1)求抛物线的表达式. (2)不论m 为何值，是否存在点 P，Q使得四边形QBPC 是平行四边形?若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 （三） 二次函数中的菱形(含新定义) 经典例题 若一个四边形是菱形，它的三个顶点在某抛物线上，且一条对角线在该抛物线的对称轴上，则称该四边形是该抛物线的“正菱形”. 已知抛物线T 其中m>1,顶点为 P. (1)判断点(m,1-2m)是否在抛物线 T 上,并说明理由. (2)若A(n+1,m-n),B(m,3),是否存在点Q,使得四边形APBQ是抛物线T的“正菱形”? 若存在，请求出相应的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 试题专练 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点A(3,0),与y 轴交于点B，且关于直线.x=1对称. (1)求该抛物线的解析式. (2)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C 作x轴的垂线交直线AB 于点D，在y 轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 （四） 二次函数中的矩形 ①矩形→邻边互相垂直的两条直线→一次函数→一次函数与二次函数交点坐标 ②矩形→直角三角形→三垂直相似→坐标表示 ③矩形→等腰三角形(对角线相等且平分)→勾股定理与中点坐标公式→坐标表示(此方法不优先选择) 方法应用 一题多解 如图，抛物线 与x 轴交于A，B两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C,连接AC,BC. (1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC 的表达式. (2)若点 P 为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存在一点 Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC 为边的矩形.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题五 二次函数中的代数问题 （一） 二次函数中的参数范围问题 类型1 各象限点符号特征→点的相对位置→不等式(组) 1.如图，抛物线 与x 轴交于点A(-2,0)和点 B,交y轴负半轴于点C，对称轴在 y 轴的右边，OB=2OC,点 M，N是x 轴下方抛物线上的两点(点M在点 N 的左边)，且点 M，N关于对称轴对称， 求b 的取值范围. 类型2 构造关于参数的函数关系式→函数最值 2.已知抛物线 (b为常数)的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1. (1)求b 的值. (2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上. ①若h=3t,且 求h 的值； ②若 求h 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 （二） 二次函数区间最值 区间在对称轴左侧 区间在对称轴右侧 区间包含对称轴 a>0 则 则 则 a<0 则 则 则 方法应用 类型1 定轴定区间 1.已知二次函数 在-4≤x≤1时有最大值6,则a 的值是 . 类型2 定轴动区间 2.已知二次函数 当0≤x≤a时,y 的最大值为15,则a 的值为 . 类型3 动轴定区间 3.已知关于 x 的二次函数 当 时，函数有最小值2a，则a的值为 . 类型4 动轴动区间 4.已知二次函数 则函数的最小值为 . 试题专练 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点A(3,0),与y 轴交于点B，且关于直线x=1对称.当-1≤x≤t时，y的取值范围是 求t 的值. 学科网（北京）股份有限公司 专题六 二次函数与定值、定线、定点 （一） 二次函数与定值 知识点 点参法：设点坐标→点参表示直线→点参表示关联点坐标→定值 线参法：设直线解析式→线参表示点坐标→根与系数的关系消参→定值 方法应用 抛物线 与x轴交于点A，B(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C. P为第一象限内抛物线上一点，直线AP 交y 轴于点M，直线 BP 交y 轴于点N，在点 P 运动过程中，求证： 为定值. 试题专练 1.已知点 A 为抛物线 对称轴右侧上一动点.直线 AB：y=kx+b(k≠0)与抛物线有且只有一个交点A，且与y轴交于点B.点C 的坐标为((0,-2),直线AC 交抛物线于点 D,连接OA,OD,BD. (1)用含 k 的代数式表示b； (2)在点A 运动过程中， 是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 2.抛物线 经过点A(-1,0),且与直线y=kx-k+2(k≠0)交于点B,C. (1)求抛物线的解析式； (2)已知 轴于点D，轴于点E，求证： 3.如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，且OB=2OC,连接AC, (1)求抛物线的解析式； (2)D是点 B 右侧抛物线上的一动点，D，E两点关于y轴对称，直线 DB，EB 分别交直线x=-1于G,Q 两点,GQ 交x轴于点 P,求PG-PQ的值. 学科网（北京）股份有限公司 （二） 二次函数与定线 经典例题 (1)对任意的实数m，点A(m-1,2m+1))一定在直线 上；(填直线解析式) (2)对任意的实数m，点 一定在抛物线 上.(填抛物线解析式) (3)如图,抛物线 与 x 轴交于A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),E为AB 的中点,过点 E 的直线CD 交抛物线于点C,D(点C在点D 的右边,且C,D不与A,B 重合)，直线AD，BC 交于点 P. 求证：点P 在一条定直线上. 试题专练 已知抛物线W: 过点 P，直线OP 的解析式为y=2x.过点 Q(1,2)作直线MN(不与直线OP 重合)交抛物线W 于M ,N 两点(点 M 在点N 左侧),直线MO 与直线PN交于点 H.求证：点H 在一条定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 （三） 二次函数与定点 特殊值法：取两个特殊参数值，联立解析式解方程得交点坐标. 消参法：设参，表示直线或抛物线，整理参数，将含参项整理成乘积的形式，令含参项为0，得到定点坐标. 方法应用 例(1)直线y=kx-4k+3始终经过一固定点A,则点A 的坐标为 ; (2)已知抛物线 恒过定点，则定点坐标为 ； (3)若抛物线 中无论 p 取何值时都通过定点，则定点坐标为 . 变式训练 直线y=mx-m+2与抛物线 交于点G，M，其中，点M 在第一象限，直线OG与抛物线的另一交点为点N，求直线 MN 经过的定点坐标. 试题专练 已知抛物线 经过A(-1,1),B(2,4)两点.直线l:y=2x-1,将直线l向下平移2个单位长度得到直线l',过点 A 的直线m:y=(r-1)x+r与抛物线的另一个交点为D(异于点 B),过点 B 的直线n::y=(s+2)x-2s与抛物线的另一交点为E(异于点A)，当直线m，n的交点P 在定直线l'上时，试探究直线 DE是否过定点.若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题七 圆的综合探究 经典例题 如图,在 中， ,以AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D, ，垂足为E，BE 的延长线交 于点F. (1)求 的值. (2)求证: (3)求证:AD 与EF 互相平分. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 专题一 二次函数与线段 （一）二次函数中的线段最值问题 方法应用 解：∵抛物线 ∴抛物线的对称轴为直线x=1. 在 中,当y=0时， ∴B(4,0),C(-2,0). 在 中,当x=0时,y=-2. ∴点 A 的坐标为(0,-2). 设直线 AB 的表达式为y=mx+n(m≠0). 将点 B(4,0),A(0,-2)分别代入y= mx+n,得 解得 ∴直线 AB 的表达式为 设 令 得x= 点 K 与点 P 纵坐标相同 ∴ 点 D 与点 P 横坐标相同 (右减左)~~~ xD-xP(上减下) 一般式转化为顶点式 ∴当 时， 的值最大，最大值为 ，此时点 P 的坐标为 试题专练 (2)PD 的最大值为 此时 （二） 二次函数中的线段比值 方法应用 解:(1)(-2,0) (3,0) (0,4) (2)①∵CP∥x轴,C(0,4), ∴P(1,4),CP=1,AB=5. 又CP∥x轴, ∴△CPD∽△BAD. “X”型相似 利用相似三角形对应边成比例，将 转化求解 ②如图,过点 P 作PQ∥AB 交BC 于点Q. 构造“X”型相似 设直线 BC 的解析式为 b₁(k₁≠0). 把点 B(3,0),C(0,4)分别代入,得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 设 则 点 P，Q的纵坐标相同，将yp 代入直线BC 即可得x₀ (右减左) ∵PQ∥AB, ∴△QPD∽△BAD. “X”型相似 ∴当 时， 取得最大值，最大值为 试题专练 专题二 二次函数与面积 （一）二次函数中的面积求法 方法应用 [例 [变式训练] (2)P(4,5) 试题专练 (2,16/3)或(3,4) （二）二次函数中的面积的和差 方法应用 或 试题专练 的最大值为 （三） 二次函数中的面积倍分 方法应用 (2)存在点 P,使 或 试题专练 或 （四） 二次函数中的面积比值 方法应用 解：∵抛物线的解析式为 ∴A(-2,0),B(4,0),C(0,-2), ∴设直线 BC 的解析式为 y = kx -2(k≠0). ∴0=4k-2,解得 ∴直线 BC 的解析式为 如图,过点 P 作PF⊥x轴,交 BC 于点F.作辅助线构造铅垂线 PF 设 ∵OC∥PF,∴△OCE∽△PFE. 相似三角形对应边成比例且比例相等 两三角形同高，面积之比=底边之比=铅垂线之比，利用相似将面积最值转化为线段最值 ∴当 m =2 时,的值最大，此时P(2,-2). 试题专练 存在最大值，最大值为 专题三 二次函数与角 （一） 二次函数中的特殊角 1.(o, 2. （二） 二次函数中的锐角三角函数 1.解:( 解析：由图象，知抛物线 交y轴于点C. ∴C(0,-4). ∴OC=4. ∵tan∠ABC=1,tan∠BAC=4, 利用正切值求边长 即 B(-4,0),A(1,0). ∴可设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1)(a≠0). 根据交点设交点式 将C(0,-4)代入,得-4a=-4.解得a=1. ∴抛物线的解析式为 3x-4. (2)如图,连接 PC,设 PG 交 y 轴于点M. ∵点 P(-3,m)在抛物线上, ∴易得 P(-3,-4). 又C(0,-4), ∴PC⊥y轴. P，C两点纵坐标相同 ∴△PCM 是直角三角形,PC=3. ∵CH⊥PG, ∴∠HCM=∠HPC. 同角的余角相等 ∴在 Rt△PCM 中, tan∠HPC = ∴CM=2. ∴M(0,-2). 设直线 PG 的解析式为 y=kx+t(k≠0). 把P(-3,-4),M(0,-2)分别代入,解得 P，M，G三点在一条直线上 ∴联立方程 点 G 为直线 PG 与抛物线的交点 整理，得 解得 (舍去). 当 时 ∴点G 的坐标为 （三） 二次函数中的等角 方法应用 (1)A(-1,0),B(2m+1,0),C(0,2m+1),∠OBC=45° (2)1 试题专练 解:(1)将A(-2,0),B(6,4)代入y= 得 解得 ∴抛物线的解析式为 (2)如图,过点 C 作CF |AB 于点 F. 学科网（北京）股份有限公司 令 解得x=-2或x=4. ∴C(4,0). ∴AC=6,CD=2,AD=8,BD=4. 由勾股定理，得 2 解得 由勾股定理，得 ∵∠EAC=∠ABC, 解得 DE=6. ∴E(6,-6). （四）二次函数中的角的和差 经典例题 解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A 和点B，与y轴交于点C， 当y=0时, 方程两边可以将a 约掉，解方程不受a 的影响. 解得 当x=0时,y=-4a, ∴A(-1,0),B(4,0),C(0,-4a). ∵CO=BO,∴C(0,-4). ∴a=1. ∴抛物线的解析式为 (2)①当点 D 在BC 下方时, 点 D 位置不固定，在线段 BC 上、下均有可能，所以需要分类讨论 如图，过点 C 作x轴的平行线MN，分别过点 A，D作MN 的垂线，垂足分别为M,N. 根据∠ACD=90°作辅助线构造三垂直相似 ∵∠BCD 与∠ACB 互余, ∴∠BCD+∠ACB=90°. ∵AM⊥MN,DN⊥MN, ∴ ∠ACM + ∠DCN = 90°,∠ACM+∠CAM=90°. ∴∠DCN=∠CAM. 同角的余角相等 ∴△ACM∽△CDN. 设 解得 或m=0(舍去). 则 ②当点 D 在 BC 上方时，如图，连接CD 交x轴于点 H. ∵OB=OC,∠BOC=90°, ∴ ∠BCO = 45°, 即 ∠OCH +∠BCH=45°. ∴2∠OCH+2∠BCH=90°. 等式的基本性质2 ∵∠BCD+∠ACB=90°, ∴∠BCD +∠ACO +∠OCH +∠BCD=90°. 等量代换 ∴2∠OCH=∠ACO+∠OCH. ∴∠OCH=∠ACO. 可利用此关系求出点 H 的坐标，从而求出直线 CH 的解析式 ∵∠HOC=∠AOC=90°,OC=OC, ∴△HOC≌△AOC(ASA). ∴OH=OA. ∵A(-1,0),∴H(1,0). 设直线 CH 的解析式为 y = sx+t(s≠0). 把C(0,-4),H(1,0)代入,得 解得 ∴直线CH 的解析式为y=4x-4. 联立 点 D 为直线 CH 与抛物线的交点，联立方程可求出点 D 的坐标 解得 或 ∴D(7,24). 综上所述，点D 的坐标为 或(7,24). 试题专练 抛物线上存在点Q,使∠CBQ +∠ACO=45°; Q(2,3)或 （五） 二次函数中的角的倍分 2.解:如图,过点C 作CD∥x轴,交BP于点D,过点 P 作PE∥x轴,交y轴于点E. 辅助线构造横平竖直相似 ∵抛物线的解析式为 ∴A(-1,0),B(4,0),C(0,2). ∴AO=1,OC=2,OB=4. ∴∠OCA=∠ABC. 根据锐角三角函数将∠OCA 转化 ∵∠PCB=2∠OCA, ∴∠PCB=2∠ABC. ∵CD∥x轴,EP∥x轴, ∴∠ABC=∠DCB,∠EPC=∠PCD.利用平行线的性质构造两组内错角相等 ∴∠EPC=∠ABC. 将角度进一步转化 又∠PEC=∠BOC=90°, ∴△PEC∽△BOC. 横平竖直相似 设点 P 的坐标为 则 解得 (舍去),t₂=2. 当t=2时, ∴点 P 的坐标为(2,3). 专题四 二次函数与特殊几何图形 （一）二次函数中的特殊三角形 (2)△AOB 是直角三角形. 理由：∵抛物线与 x 轴只有一个公共点， ∴△=0,即 ∴b=0. ∴抛物线的解析式为 ∵直线AB:y= kx+n(k<0)经过点(0,2), ∴直线AB 的解析式为y= kx+2. 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),其中x₁<0<x₂. 坐标未知可设坐标 学科网（北京）股份有限公司 如图，分别过点 A，B作x轴的垂线，垂足分别为 D，E. 则AD=y₁,OD=-x₁,BE=y₂, 联立 点 A，B为直线与抛物线的交点 整理，得. 一元二次方程根与系数的关系 即 将上式乘积的形式转化为比例的形式，从而得到对应边成比例 ∵∠ADO=∠BEO=90°, ∴△ADO∽△OEB. 对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ∴∠AOD=∠OBE. ∵∠BOE+∠OBE=90°, ∴∠AOD+∠BOE=90°. 等量代换 ∴∠AOB=90°.利用平角的定义得出 ∴△AOB 是直角三角形. (2)存在以点 N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形. N(-1, )或 或N(-1,-1)或 （二） 二次函数中的平行四边形 方法应用 (4,4)或(-4,4)或(-2,-4) 试题专练 (2)存在点 P,Q 使得四边形QBPC 是平行四边形. Q(4,-1) （三） 二次函数中的菱形(含新定义) 经典例题 解:(1)点(m,1-2m)不在抛物线T上. 理由:∵抛 物 线 ,其中m>1,当x=m时,得 将横坐标代入求值 由抛物线的定义，知a≠0. 即y≠1-2m. ∴点(m,1-2m)不在抛物线 T 上. (2) 存在点 Q,使得四边形 APBQ 是抛物线T 的“正菱形”. 理由：依据题意，画出图象如图，连接AB，设AB 交 PQ 于点 G. ∵四边形APBQ 是抛物线T的“正菱形”， 用结论作为条件 则AB，PQ互相垂直且平分. ∵P 是抛物线T 的顶点， 菱形 APBQ 的一条对角线在抛物线T 的对称轴上， ∴点 Q 在对称轴上，点A，B在抛物线上. ∴PQ⊥x轴. ∴AB∥x轴. ∴yA=yB. ∴m-n=3,即n=m-3. ∴A(m-2,3),B(m,3). ∵PQ 垂直平分AB,且 PQ 在抛物线T 的对称轴上， 对称轴为直线 ∵m>1,解得a=1. ∴抛物线 T: ∵点B(m,3)在抛物线T上, 选含m的特殊点代入，目的是能求出m 的值 1=3. 整理，得 解得 (舍去). 根据对称轴得到横坐标，将 代入抛物线的解析式求得纵坐标 ∴点 Q 的坐标为( ,4). 试题专练 (2)存在点 E,使得以 B,C,D,E 为顶点的四边形是菱形，菱形的边长为 或2 （四） 二次函数中的矩形 (1)A(-1,0),B(4,0),C(0,4);直线 BC 的表达式为y=-x+4. (2)存在,Q(6,2)或Q(-6,-2) 专题五 二次函数中的代数问题 （一）二次函数中的参数范围问题 1. b<-1 2.(1)4 (2)①3 ② （二） 二次函数区间最值方法应用 1. 或-6 2.4 3.1 4.-a²或9-6a 试题专练 专题六 二次函数与定值、定线、定点 （1） 二次函数与定值 方法应用 略 试题专练 是定值，定值为2 (2)略 (2)3 （二） 二次函数与定线 经典例题 (1)y=2x+3 (3)略 试题专练 证明：根据题意，画出图象，如图. ∵抛物线w: ∴设 M(m,m²),N(n,n²),直线 MN的解析式为y= kx+b₁(k≠0). 解得 ∴直线 MN 的解析式为y=(m+n)x-mn. ∵直线MN 经过点Q(1,2), ∴mn=m+n-2. 联立 解得 或 (舍去) ∴点 P(2,4). 同理,直线 PN 的解析式为y=(n+2)x-2n,直线OM 的解析式为y= mx. ∵直线OM 与 PN 相交于点 H, ∴n+2≠m. 联立 解得 ∵mn=m+n-2, ∴点 H 在定直线y=2x-2上. （三） 二次函数与定点方法应用 [例](1)(4,3) (2)(0,2)或(-2,0) (3)(4,33) [变式训练](4,2) 试题专练 直线 DE 过定点,定点为(1,3) 专题七 圆的综合探究 经典例题 解:(1)∵AB=AC,且 AB 是⊙O的直径， ∴AC=2AO. ∵∠BAC=90°, ∴在 Rt△AOC中, ∵AE⊥OC, ∴在 Rt△AOE 中. 利用同角的三角函数值在不同直角三角形中转化 (2)证明:过点 B 作 BM∥AE,交 EO延长线于点 M，如图. ∴ ∠BAE = ∠ABM, ∠AEO =∠BMO=90°. ∵AO=BO, ∴△AOE≌△BOM(AAS). ∴AE=BM,OE=OM. ∴BM=2OE=EM. 利用(1)中的三角函数值，以OE 为媒介进行等量代换 ∴∠MEB=∠MBE=45°,等腰直角三角形 ∴∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠BEC=180°-∠MEB=135°. ∴∠AEB=∠BEC. ∵AB=AC,∠BAC=90°,等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°. ∴∠ABM=∠CBE. ∴∠BAE=∠CBE. ∴△AEB∽△BEC. (3)证明:连接DE,DF.如图. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴BC=2BD,∠DAB=45°. 由(2)知,△AEB∽△BEC, =∠EBD. ∴△AOE∽△BDE. 两边对应成比例，夹角相等 ∴∠BED=∠AEO=90°. ∴∠DEF=90°. ∴∠AFB=∠DEF. ∴AF∥DE. 由(2)知,∠AEB=135°. ∴∠AEF=180°-∠AEB=45°. ∵∠DFB=∠DAB=45°, 同弧所对的圆周角相等 ∴∠DFB=∠AEF. ∴AE∥FD. ∴四边形AEDF 是平行四边形. ∴AD 与EF 互相平分. 试题专练 (1)略 (2)略 (3) 学科网（北京）股份有限公司 $$