精品解析：广东省深圳市建文外国语学校两学部2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2025—2026学年高三上学期 广东省深圳市建文外国语学校两学部八月月考 数学 2025.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中间值比较可得答案. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求得，再利用对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因是两个互斥事件，故， 于是，. 故选：C. 3. 在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及已知可得a=sinA，b=sinB，c=sinC，则==． 【详解】由正弦定理 ， == ∴a=sinA，b=sinB，c=sinC 则 = = 故选B． 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题． 4. 设函数的部分图象如图所示，则f（0）＝ A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求出，再代入求f（0）. 【详解】 故选：D 【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 5. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】A：只有当时，才能由推出，故本选项不正确； B：只有当时，才能由，推出，故本选项不正确； C：当时，显然成立，但是显然不成立,因此本选项不正确； D：因为，所以，因此本选项正确. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题. 6. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即，也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，递增，当时，，递减. 且，当时，，所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示，由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题. 7. 若，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对，赋值，利用排除法求解即可. 【详解】根据，且，取，，则可排除A、C； 取，，则可排除B. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了不等关系，属于基础题. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用“1”的代换，转化，结合基本不等式即可得解. 【详解】，， ， 当且仅当，即，时，等号成立. 的最小值为9 故选：A. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 双曲线的一条渐近线的斜率为，若，则的值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程判断即可. 【详解】的渐近线方程为，则，解得. 故选：. 10. 已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的模为5 C. 复数z的虚部为 D. 方程的另一个根为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程虚根特征，结合韦达定理求解. 【详解】复数， 对于BC，，复数z的虚部为，BC错误； 对于AD，方程的另一个根为， ，AD正确. 故选：AD 11. 已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及周期性,结合函数值的定义即可求解. 【详解】已知函数为上的奇函数，则， 即，解得，B正确；A错误； 因为函数图象关于直线对称， 所以， 又因为函数为上的奇函数， 所以， 所以，即. 又因为，即，从而周期为8， ，，． 因为当时，， 所以， 从而，，， 所以，D正确；C错误. 故选:BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（），若在上恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】要保证在上恒成立，需将对数不等式转化为指数形式，即函数的最小值是否满足条件，结合函数单调性列出不等式求解即可. 【详解】若在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，所以函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以函数的最小值为， 所以，解得：， 故的取值范围是. 故答案为：. 13. 一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三条母线两两夹角为，则得到的三棱锥的各棱长相等，先利用正弦定理求得底面半径，再根据圆锥的侧面积为，求得高，代入锥体体积公式求解. 【详解】如图， 设，则， 设，则底面的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高， 所以该圆锥的体积为. 故答案为： 【点睛】本题考查圆锥以及球的结构特征，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题. 14. 已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______. 【答案】110 【解析】 【分析】先求方格中全部数之和的表达式，设，换元并利用二次函数性质求其最大值. 【详解】解：由表格数据可得所有数之和为： ， ， 集合， ， 设，则，，， 当或时，取最大值，最大值为110， 此时，，可取最大值110. 故答案为：110. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最大值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，对化简，然后利用基本不等式求最大值. （2）由，都是正数可知，也是正数，利用基本不等式可求出的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1. （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时，取得最大值9， 所以的最大值为. 16. 已知函数，，且的解集为 （1）求的值； （2）若，且，求证 【答案】（1）1；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可得，故有的解集为，即的解集为，进而可得结果；（2）根据利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）函数，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故． （2）由，，，且， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． 所以. 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题． 17. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. 【小问1详解】 解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则, 即, 解得; 【小问2详解】 由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; 【小问3详解】 因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记 当,时, 只需, 解得, 当,, 只需, 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直，即可得知点到平面的距离为，结合等边三角形性质可得解； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标法可得平面的法向量，进而可两平面夹角； （3）利用坐标法可得平面的法向量，进而可得线面夹角正弦值的取值范围，即可得线面夹角的范围. 【小问1详解】 平面，且，平面， ，， ，，且，平面， 平面， 平面， 平面平面， 是中点，且， ，， 平面平面，平面， 平面， 点到平面的距离； 【小问2详解】 由，可知，，两两垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又易知平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值为； 【小问3详解】 设，， 又是中点，则， 即，，，， 所以， 设平面法向量， 则，令，得， 则，， 所以直线与平面夹角满足， 当时，， 当，，且， 所以， 综上所述， 因为，所以. 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量，的点积函数定义写出函数解析式，对照可得的值，由向量的模长定义即可求得的值； （2）利用向量，的点积函数定义求得，通过换元，利用二次函数的单调性即可求得函数的值域； （3）根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得，求出该函数在上的值域，进而结合题意可得，求解即得. 【小问1详解】 由题意，， 则，，即， 所以； 【小问2详解】 因，， 则， 令（），则，对称轴为， 则函数在上单调递增，当， ，则的值域为. 【小问3详解】 因，， 则， 于是， ， 当时，， 因在时的取值范围为， 故， 由存在，使得成立，即与有交集， 故需满足，解得，综上所述的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三上学期 广东省深圳市建文外国语学校两学部八月月考 数学 2025.8 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 设是一个随机试验中的两个互斥事件，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　) A. B. C. D. 4. 设函数的部分图象如图所示，则f（0）＝ A. B. C. D. 1 5. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C 若，则 D. 若，则 6. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 双曲线的一条渐近线的斜率为，若，则的值可能为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的模为5 C. 复数z的虚部为 D. 方程的另一个根为 11. 已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（），若在上恒成立，则的取值范围是______. 13. 一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______. 14. 已知集合，将与（其中，）的乘积放入如图的方格中，则方格中全部数之和的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值. （2）已知，，且，求的最大值. 16. 已知函数，，且的解集为 （1）求的值； （2）若，且，求证 17. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $