专题02 线段的垂直平分线与角平分线六类题型（专项训练）数学青岛版2024八年级上册

专题02 线段的垂直平分线与角平分线 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段垂直平分线的性质 1 题型二、线段垂直平分线的判定 2 题型三、作角平分线(尺规作图)（常考点） 3 题型四、角平分线的性质定理（重点） 4 题型五、角平分线的判定定理（难点） 5 题型六、角平分线性质的实际应用 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 4．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 5．如图，为的边的垂直平分线，且，的周长为8，则的长是多少？ 题型二、线段垂直平分线的判定 6．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 7．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ） A．， B．， C．， D．，平分 8．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 9．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 10．（24-25八年级上·江西赣州·期中）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    题型三、作角平分线(尺规作图) 11．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 12．如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为 ． 13．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 14．如图，在中，，在边上求作一点P，使点P到边和边的距离相等． 15．如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 题型四、角平分线的性质定理 16．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 17．如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 19．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，在中，，是的平分线，若的长为4，则的面积为 ． 题型五、角平分线的判定定理 21．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 23．如图，，则 ． 24．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六、角平分线性质的实际应用 26．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 27．已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 28．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 29．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    30．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再分别以点C，D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 E，射线 交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·山东枣庄·三模）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知锐角，过点A作的垂线，垂足为点C．请你利用尺规在射线上求作一点E，使与E到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知扇形，请用尺规作图法，在上求作一点P，使得点P到的距离等于到的距离．（保留作图痕迹，不写作法） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 线段的垂直平分线与角平分线 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段垂直平分线的性质 1 题型二、线段垂直平分线的判定 3 题型三、作角平分线(尺规作图)（常考点） 6 题型四、角平分线的性质定理（重点） 9 题型五、角平分线的判定定理（难点） 11 题型六、角平分线性质的实际应用 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【解析】解：∵等腰的周长为，底边， ∴ ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 2．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 3．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 【答案】6 【解析】解：∵垂直平分线段于点，， ∴， ∵垂直平分线段于点， ∴， 故答案为：6． 4．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】12 【解析】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为12． 5．如图，为的边的垂直平分线，且，的周长为8，则的长是多少？ 【答案】 【解析】解：∵为的边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长是． 题型二、线段垂直平分线的判定 6．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【解析】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 7．下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【解析】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图，   ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 8．如图所示，在正方形网格中，的顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是 ． 【答案】 【解析】解：如图所示， 点在，的垂直平分线上， 故答案为：． 9．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【解析】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 10．（24-25八年级上·江西赣州·期中）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 请把下面的说理过程补充完整． 已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，___________ 证明：连接、、． 点是边垂直平线上的一点，___________（　　） 同理可得，___________．（等量代换）． 点是___________边垂直平线上的一点（　　） 、、的垂直平分线相交于点．    【答案】见解析 【解析】已知：如图，在中，分别作边、边的垂直平分线，两线相交于点，分别交边、边于点、． 求证：、、的垂直平分线相交于点，； 证明：点是边垂直平线上的一点， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）． 同理可得，．（等量代换）． 点是边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条垂直平分线上）， 、、的垂直平分线相交于点．   ． 题型三、作角平分线(尺规作图) 11．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【解析】解：由作法得平分， 过点作于，如图，则， ， ， 即， ， ， 故选：B． 12．如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为 ． 【答案】 【解析】解：∵与它的余角相等， ∴， 根据题意得平分， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为 ． 【答案】/69度 【解析】解：由作法得平分， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，在边上求作一点P，使点P到边和边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，点P即为所求． 15．如图，在中，，请用尺规作图的方法在上求作一点，使得点到的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：根据题意，，点到的距离等于，判定点P一定在的角平分线上，作图如下： 则点P即为所求． 题型四、角平分线的性质定理 16．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【解析】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 17．如图，在中，，平分，交于点，垂足为．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 18．到三角形三边距离相等的点是（    ） A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 19．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：如图，过点O作于点F， ∵分别为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵的面积是16， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是8， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 20．如图，在中，，是的平分线，若的长为4，则的面积为 ． 【答案】12 【解析】解：过点D作于E， 由得， ∵是的平分线，，， ∴ ∵的长为4， ∴， ∴的面积为, 故答案为：12． 题型五、角平分线的判定定理 21．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，已知点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰是、、三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】解：∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故①正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上， 故②正确； ∵点P到、的距离相等， ∴点P在的平分线上，故③正确； ∵点P到、、的距离都相等， ∴恰好是、、三条平分线的交点，故④正确； 综上可得①②③④都正确． 故选：A． 22．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 23．如图，，则 ． 【答案】/30度 【解析】解：∵， ∴． 故答案为： 24．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 25．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 题型六、角平分线性质的实际应用 26．三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（   ） A．三角形的三条角平分线的交点处 B．三角形的三条中线的交点处 C．三角形的三条高的交点处 D．以上位置都不对 【答案】A 【解析】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 27．已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【解析】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 28．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【解析】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 29．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【解析】解：点P即为所求，如图所示：    30．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【解析】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，，， ， 由作法得：平分， ， 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再分别以点C，D 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 E，射线 交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， 由作图可知， 平分，垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 5．（2025·山东枣庄·三模）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵平分交于，， ∴，故正确； 如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分，故正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故正确； 由上得，， ∴，， ∴， ∴，故正确， 综上可知，正确，共个正确， 故选：． 7．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 【答案】 【解析】（1） 与的平分线相交于点 ， ； 故答案为：． （2）如图，连接，作于点于点于点， ∵平分，， ∴ 同理可得 ∴ ． 的周长为 ． 故答案为：． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知锐角，过点A作的垂线，垂足为点C．请你利用尺规在射线上求作一点E，使与E到射线的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，即为所求． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知扇形，请用尺规作图法，在上求作一点P，使得点P到的距离等于到的距离．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图，点P即为所求， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$