专题03 等腰三角形八类题型（专项训练）数学青岛版2024八年级上册

专题03 等腰三角形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三线合一（重点） 1 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形（常考点） 2 题型三、根据等角对等边求边长 3 题型四、等腰三角形的性质和判定（难点） 3 题型五、等边三角形的性质 5 题型六、等边三角形的判定 6 题型七、等边三角形的判定和性质 7 题型八、斜边的中线等于斜边的一半 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三线合一 1．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形 5．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 6．如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 7．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝40°，∠B＝80° C．∠A＝50°，∠B＝65° D．∠A＝60°，∠B＝70° 8．一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是 平方厘米． 9．有下列三个等式①AB＝DC；②BE＝CE；②∠B＝∠C．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt△AED是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可） 题型三、根据等角对等边求边长 10．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 11．如图，在中，平分，，，，则 ． 12．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 13．如图，，是的中点，平分，，，求的长． 题型四、等腰三角形的性质和判定 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 15．如图，已知为等腰直角三角形，其中，，点C在线段AB上运动（不与点A、点B重合），当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，则AC的长为 ． 16．如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，，，求的长． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 18．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型五、等边三角形的性质 19．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 21．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 22．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 题型六、等边三角形的判定 24．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 25．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 26．如图：，试说明是等边三角形． 27．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等边三角形． 28．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 题型七、等边三角形的判定和性质 29．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 30．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 31．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 32．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 33．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长． 题型八、斜边的中线等于斜边的一半 34．在中，，是边上的中线，若，则的长（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 36．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 37．如图，梯子斜靠在墙面上，点P是的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 38．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． D 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南焦作·一模）如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 5．（2025·陕西渭南·二模）如图，在，已知．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得为等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2025·吉林松原·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作出与线段平行的线段，使点C、D都在格点上 (2)在图②中，以为腰作等腰 (3)在图③中，作出，使的面积为，且点F在格点上 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，求证：． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，图中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点、均在格点上． (1)在图中画出以为一腰的等腰，点在格点上，使的面积为12； (2)在图中画出以为一腰的钝角等腰，点在格点上，使的面积为10； (3)在线段上找一点，过点分别向、作垂线段，请直接写出这两条垂线段的和． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．             (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等腰三角形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三线合一（重点） 1 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形（常考点） 3 题型三、根据等角对等边求边长 5 题型四、等腰三角形的性质和判定（难点） 8 题型五、等边三角形的性质 12 题型六、等边三角形的判定 16 题型七、等边三角形的判定和性质 19 题型八、斜边的中线等于斜边的一半 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三线合一 1．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 2．真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解∶∵，平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选∶C． 4．如图，等腰中，，于点，且，若，则 的度数是 ． 【答案】 【解析】解：过点A作于点D，如图所示． ∵等腰中，， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形 5．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 6．如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 7．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝40°，∠B＝80° C．∠A＝50°，∠B＝65° D．∠A＝60°，∠B＝70° 【答案】C 【解析】解：A、∠C＝180°−∠A−∠B＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项不符合题意； B、∠C＝180°−∠A−∠B＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，B选项不符合题意； C、∠C＝180°−∠A−∠B＝65°，则∠B=∠C，是等腰三角形，C选项符合题意； D、∠C＝180°−∠A−∠B＝50°，没有相等的角，则不是等腰三角形，，D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理和三角形内角和公式，理解等腰三角形的判定定理是关键． 8．一个三角形三个内角的比是3：3：6，且最短边长为10厘米，则该三角形的面积是 平方厘米． 【答案】50 【解析】解：∵，三角形的内角和为180°， ∴，， 该三角形的三个内角分别为45°，45°，90°， ∴该三角形为等腰直角三角形， ∵该三角形最短边长为10厘米， ∴等腰三角形的腰长为10厘米， ∴该三角形面积为：平方厘米， 故答案为：50． 9．有下列三个等式①AB＝DC；②BE＝CE；②∠B＝∠C．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt△AED是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可） 【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一） 【解析】解：当AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC时，Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形； 当AB＝DC，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（AAS），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形； 当BE＝CE，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DEC时，△ABE≌△DCE（ASA），故AE＝DE，即Rt△AED是等腰三角形． 故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一） 题型三、根据等角对等边求边长 10．如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【解析】解：∵， ∴． 故选：D 11．如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【解析】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 12．如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．如图，，是的中点，平分，，，求的长． 【答案】 【解析】解：如图，延长、交于F， ， ，， ∵点E是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分， ∴， ∴， ∴． 题型四、等腰三角形的性质和判定 14．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 【答案】 【解析】解：如图，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，已知为等腰直角三角形，其中，，点C在线段AB上运动（不与点A、点B重合），当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，则AC的长为 ． 【答案】或 【解析】解：当时， ，， ∴， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时，C与A或B重合，此种情况不成立． ∴当以点C、O、B为顶点的三角形为等腰三角形时，的长为或． 故答案为：或． 16．如图，在的边上截取，连接，作的角平分线交于点，若，，，求的长． 【答案】2 【解析】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，为内部一点，，于点，于点，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∵，　 ∴， 由(1)知：， ∴， ∴． 题型五、等边三角形的性质 19．如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 20．如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 21．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 22．如图，等边的周长为3，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则的边长为 ． 【答案】 【解析】解：∵等边的周长为3， 设等边的边长为，则， 所以，； ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴，即； 同理可得：，，，⋯⋯， 所以，的边长， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接交于点，过点作直线， ∵等边与的边长都为，， ∴， ∵、、三点在一条直线上， ∴ 与关于直线对称， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴、关于直线对称， ∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 故答案为： 题型六、等边三角形的判定 24．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 【答案】是等边三角形，理由见解析 【解析】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 25．如图，，，交于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【解析】证明：， 又， 是等边三角形． 26．如图：，试说明是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】解：， ， ， 又， 是等边三角形． 27．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析． 【解析】（1）解：添加： 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 28．（24-25八年级上·青海海西·期末）如图，已知线段，相交于点，连接，，，． (1)请你添加下面一个条件：______，证明； ①  ②  ③ (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，证明见解析 【解析】（1）添加的条件：或或(答案不唯一，任意写一种即可)； 证明：添加：， 在和中， ， ； 添加：， 在和中， ， ∴； 添加：， 在和中， ， ∴； （2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 题型七、等边三角形的判定和性质 29．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 30．如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 31．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【解析】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 32．如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3)． 【解析】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴是的垂直平分线， 即． ∵， ∴． ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 33．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【解析】（1）解：证明：∵是等边三角形 ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形． （2）如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，解得， ∴线段的长为6． 题型八、斜边的中线等于斜边的一半 34．在中，，是边上的中线，若，则的长（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】解：由题知，在中，，是边上的中线， ． 又， ． 故选：B． 35．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 36．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】D 【解析】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 37．如图，梯子斜靠在墙面上，点P是的中点，若梯子A端沿墙下滑，B端沿地面向右滑行，则在此滑动过程中，点C和点P之间的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【解析】解：如图，连接， ∵，点P是的中点， ∴是直角三角形斜边上的中线， 即， ∵为定值， ∴为定值， 即点C和点P之间的距离始终不变 故选：A 38．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 【答案】3 【解析】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 2．（2025·河南焦作·一模）如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形．如图2，在中，；点为边上一动点，分别为边上的动点．已知，若四边形为对等四边形，则的最小值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【解析】解：连接，如图所示： ∵四边形为对等四边形， ∴， ∵当时最短， 此时∵，， ∴， ∴， ∴的长度的最小值为8． 故选：B． 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 4．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见解析 【解析】解：如图，等腰即为所作： 5．（2025·陕西渭南·二模）如图，在，已知．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得为等腰直角三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图所示，点即为所求． 6．（2025·吉林松原·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点．点A、B都在格点上，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，作出与线段平行的线段，使点C、D都在格点上 (2)在图②中，以为腰作等腰 (3)在图③中，作出，使的面积为，且点F在格点上 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【解析】（1）解：如图，根据平移的性质可得， ∴即为所求； （2）如图，根据网格特点 根据网格特点， ∴即为所求； （3）根据图得，面积， ∴即为所求． 7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵， ∴， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，图中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点、均在格点上． (1)在图中画出以为一腰的等腰，点在格点上，使的面积为12； (2)在图中画出以为一腰的钝角等腰，点在格点上，使的面积为10； (3)在线段上找一点，过点分别向、作垂线段，请直接写出这两条垂线段的和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【解析】（1）解：如图所示，根据勾股定理得，即为所求作，且； （2）解：如图所示，即为所求作，且； （3）解： 4. 过点P作，交于点E，F，连接， ∵， ∴， 即. 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）银盆岭大桥，原名“湘江二桥”“北大桥”．年月日建成通车，是长沙市第二座沟通湘江两岸的大型桥梁，如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．             (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)大桥立柱在桥面以上的高度为米； (2)大桥立柱在水面以上的高度为米． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴(米) , 答：大桥立柱在水面以上的高度为米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$