第4章 图形的轴对称（知识清单）数学新教材青岛版八年级上册

第4章 图形的轴对称 1.把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。 2.一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 3.成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 4.一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形。 5.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 联系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 6.垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 7.线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 8.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 9.角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 10.等腰三角形是轴对称图形。 11.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 12.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”） 13.顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 14.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 15.等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 16.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 17.等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 18.在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 易错点1 垂直平分线与角平分线的混淆 错误：在做题中，混淆垂直平分线与角平分线性质的应用场景。 注意：明确垂直平分线和角平分线的性质与判定定理。 例题1 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】解：∵体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴体育公园应该在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 易错点2 折叠问题中的隐藏条件遗漏 错误：忽略折叠前后图形的特征，导致无法找到关键等量关系。 注意：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，对应点被对称轴垂直平分。 例题2 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】①③④ 【解析】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，， ， ， ∴，结论①正确； 不一定等于，结论②错误； 由对称得， ∵点分别是底边的中点， ∴，结论③正确； 过作， ， ， 根据对称得， ， 同理可证， ∴，结论④正确； 故答案为：①③④． 1．如图，通过在中尺规作图得到射线与射线交于点，则点到（　　） A．三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边高线的距离相等 D．三边的距离相等 【答案】D 【解析】解：本题中，射线与射线是的角平分线，其交点D为的内心．根据内心的性质，内心到三角形三边的距离相等． 故选：D． 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 3．如图，中，和的角平分线交于点P，若，则、、的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵将四边形沿直线l翻折．点A，B的对应点分别为， ∴， ∴选项A，B，C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意； 故选：D． 5．如图，线段与关于直线l对称，交直线l于点O，连接． (1)图中相等的线段有：______________，线段的垂直平分线是______； (2)和关于直线l______，______，______，______． 【答案】(1)与，与，与，直线l (2)对称，，， 【解析】（1）解：图中相等的线段有：与，与，与，线段的垂直平分线是直线l， 故答案为：与，与，与，直线l； （2）解：和关于直线l对称，，，， 故答案为：对称，，，． 6．如图，在中，直线交于点，交于点，将沿直线折叠，使点落在点的位置．若，，则的度数是 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴． 故答案为：． 7．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 【答案】见解析 【解析】解：如图，点T即为所求． 8．如图，已知． (1)根据要求作图尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 在边上求作一点，使得点到、的距离相等， 在边上求作一点，使得点到、的距离相等； (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)见解析． 【解析】（1）解：如图所示； ∴点，即为所求； （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是的中垂线 ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，求的度数． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由折叠知，， ， ， ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形的轴对称 1.把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫__________，这条直线叫作_________。 2.一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这__________________________，重合的点叫作___________，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的__________。 3.成轴对称的两个图形中___________________被对称轴垂直平分。 4.一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作_________________。 5.轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴_____________ (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)__________对称轴 联系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，________________；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个_______________。 6.垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的________________。 7.线段垂直平分线上的点________________________，__________________________________在这条线段的垂直平分线上。 8.角是轴对称图形，________________________是它的对称轴。 9.角平分线上的点到______________________，__________________________________在角的平分线上。 10.等腰三角形是__________图形。 11.等腰三角形的性质定理1：_____________________________。（简写成“________________”） 12.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、_____________________________互相重合。（简写成“_______________”） 13.顶角是直角的等腰三角形叫作________________________。 14.等腰三角形的判定定理：___________________________是等腰三角形（简写为“_____________”）。 15.等边三角形的性质定理：等边三角形的各角_______________。 16.等边三角形的判定定理1：_________________的三角形是等边三角形。 17.等边三角形的判定定理2：_______________________的等腰三角形是等边三角形。 18.在直角三角形中，__________________________等于斜边的一半。 易错点1 垂直平分线与角平分线的混淆 错误：在做题中，混淆垂直平分线与角平分线性质的应用场景。 注意：明确垂直平分线和角平分线的性质与判定定理。 例题1 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 易错点2 折叠问题中的隐藏条件遗漏 错误：忽略折叠前后图形的特征，导致无法找到关键等量关系。 注意：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，对应点被对称轴垂直平分。 例题2 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④ 1．如图，通过在中尺规作图得到射线与射线交于点，则点到（　　） A．三个顶点的距离相等 B．三边中点的距离相等 C．三边高线的距离相等 D．三边的距离相等 2．如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，中，和的角平分线交于点P，若，则、、的面积之比为（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，线段与关于直线l对称，交直线l于点O，连接． (1)图中相等的线段有：______________，线段的垂直平分线是______； (2)和关于直线l______，______，______，______． 6．如图，在中，直线交于点，交于点，将沿直线折叠，使点落在点的位置．若，，则的度数是 ． 7．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹． 如图：表示两条道路，在上有一车站（用点表示）．现在要在两条道路形成的角的内部建一个报亭，要求报亭到两条道路的距离相等且到点所表示的车站距离最短．请在图中作出报亭的位置． 8．如图，已知． (1)根据要求作图尺规作图，保留作图痕迹，不写画法 在边上求作一点，使得点到、的距离相等， 在边上求作一点，使得点到、的距离相等； (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 9．如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，求的度数． 10．如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$