第4章 图形的轴对称（复习讲义）数学新教材青岛版八年级上册

第4章 图形的轴对称（复习讲义） 1．了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 ①了解轴对称图形的概念与性质；②了解两个图形成轴对称的概念及特征；③体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2．掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明线段垂直平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出线段的垂直平分线；③能运用这些定理解决相关的几何问题。 3．掌握角平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明角平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出角平分线；③能够在实际问题中灵活应用这些定理进行推理和计算。 4．认识等腰三角形，理解并利用等腰三角形的性质及判定定理解决问题。 ①认识等腰三角形并且能够描述等腰三角形的特征；②掌握等腰三角形的性质和判定方法；③能够运用这些知识解决与等腰三角形相关的实际问题和证明题。 知识点01：图形的轴对称 1） 轴对称：把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。 2） 两个图形成轴对称：一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 3）轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 4）轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形。 5）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 联系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点02：线段垂直平分线 1）定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等。 3）判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 知识点03：角平分线 1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3）判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点04：等腰三角形 1）等腰三角形是轴对称图形。 2）等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 3）等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”） 4）顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 5）等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 知识点05：等边三角形 1）等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 2）等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3）等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A．     B． C．   D．   【变式1-1】汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】【新考向 数学文化】我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多重大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例2】如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【变式2-1】如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【变式2-2】如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是 ． 【变式2-3】如图，为的边上一点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，则的周长是 ． 题型三 折叠问题 【例3】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，则图b中的的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 题型四 线段垂直平分线的性质 【例4】如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．16 D．21 【变式4-1】如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D、E，连接，交于点P，连接．则与的长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【变式4-3】如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 题型五 线段垂直平分线的判定 【例5】如图，．直线是线段的垂直平分线吗？为什么？ 【变式5-1】下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【变式5-2】如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 【变式5-3】如图，在△ABC 中，∠C=90° ，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，AC= BE，试说明 DE 是线段 AB 的垂直平分线． 题型六 作角平分线（尺规作图） 【例6】在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹可知， ． 【变式6-2】尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 【变式6-3】如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 题型七 角平分线的性质定理 【例7】如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 【变式7-1】如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 【变式7-2】如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-3】如图，O是到的三条边距离相等的点，连接．若的面积分别为，则 ． 题型八 角平分线的判定定理 【例8】如图，，E是的中点，平分．求证：平分．（提示：过点E作，垂足为F．） 【变式8-1】如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【变式8-2】如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型九 三线合一 【例9】如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【变式9-1】如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【变式9-2】如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【变式9-3】如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 题型十 根据等角对等边证明 【例10】如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【变式10-1】如图，在和中，与交于点E，．求证：是等腰三角形． 【变式10-2】把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【变式10-3】如图，．试判断的形状，并说明理由． 题型十一 等腰三角形的性质与判定 【例11】如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-1】如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【变式11-2】如图，是边长为5的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点F，交于点E，连结，求的周长． 【变式11-3】如图，是等边三角形，，点在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 题型十二 斜边的中线等于斜边的一半 【例12】如图，在中，是斜边上的中线，，则(    ) A． B． C． D． 【变式12-1】在中，，，为中点，连接，则 ． 【变式12-2】如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（    ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 【变式12-3】如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 基础巩固通关测 一、单选题 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，点，的对应点分别是点、，若，则的度数为 ． 7．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 8．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 9．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为 ． 10．如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 12．房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． (1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)当时，求立柱的长． 13．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是何种三角形？证明你的结论． 14．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 2．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 5．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 7．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ． 8．如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ． 9．如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 10．如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 12．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 13．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 14．如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． (1)求证：平分； (2)若的面积为，，求的长． 15．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 图形的轴对称（复习讲义） 1．了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 ①了解轴对称图形的概念与性质；②了解两个图形成轴对称的概念及特征；③体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2．掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明线段垂直平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出线段的垂直平分线；③能运用这些定理解决相关的几何问题。 3．掌握角平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明角平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出角平分线；③能够在实际问题中灵活应用这些定理进行推理和计算。 4．认识等腰三角形，理解并利用等腰三角形的性质及判定定理解决问题。 ①认识等腰三角形并且能够描述等腰三角形的特征；②掌握等腰三角形的性质和判定方法；③能够运用这些知识解决与等腰三角形相关的实际问题和证明题。 知识点01：图形的轴对称 1） 轴对称：把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与它全等的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作对称轴。 2） 两个图形成轴对称：一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作对应点，如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的对称点。 3）轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 4）轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形。 5）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 联系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点02：线段垂直平分线 1）定义：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段的两端距离相等。 3）判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 知识点03：角平分线 1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3）判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 知识点04：等腰三角形 1）等腰三角形是轴对称图形。 2）等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”） 3）等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”） 4）顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形。 5）等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写为“等角对等边”）。 知识点05：等边三角形 1）等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 2）等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 3）等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4）在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 题型一 轴对称图形的识别 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A．     B． C．   D．   【答案】A 【解析】解：B、C、D项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形； A选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合， 所以不是轴对称图形； 故选：A． 【变式1-1】汉字是中华文明的标志，它经历了甲骨文、金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的演变过程，每种书体都有着鲜明的艺术特征．下面文字属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】【新考向 数学文化】我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多重大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【变式1-3】以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例2】如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【解析】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【解析】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 【变式2-2】如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是 ． 【答案】D，F，E 【解析】解：如图所示： 图经过一次轴对称变换后得到图，则点A，B，C的对应点分别是D，F， 故答案为：D，F， 【变式2-3】如图，为的边上一点，点关于直线对称的点恰好在线段上，连接，若，则的周长是 ． 【答案】9 【解析】解：点关于直线的对称点恰好在线段上，， ，， ， 的周长， 故答案为：9． 题型三 折叠问题 【例3】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，则图b中的的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，将纸带沿折叠成图b， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3-1】如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由折叠的性质可得出，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式3-2】如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由翻折的性质得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将长方形沿翻折， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-3】如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 【答案】 【解析】解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四 线段垂直平分线的性质 【例4】如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（   ） A．19 B．20 C．16 D．21 【答案】A 【解析】解：是的垂直平分线，， ， 的周长为13， ， 的周长， 故选：A． 【变式4-1】如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D、E，连接，交于点P，连接．则与的长度一定相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵垂直平分， ∴， 故选：D． 【变式4-2】到三角形三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 选项A三条角平分线的交点是内心，到三边的距离相等，A项错误； 选项B三边中线的交点是重心，与到顶点距离无关，B项错误； 选项C三边上高所在直线的交点是垂心，C项错误； 到三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点，D项正确； 故选：D． 【变式4-3】如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型五 线段垂直平分线的判定 【例5】如图，．直线是线段的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】是，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【解析】∵， ∴直线是线段的垂直平分线，（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 【变式5-1】下面是“过直线l外一点作直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任取一点，使得点和点在直线的两旁； （2）以点P为圆心，长为半径作弧，交直线l于点A和点B； （3）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C； （4）作直线． 直线就是所求作的垂线． 上述方法通过构造直线l上线段的垂直平分线，得到直线l的垂线．其中判定点C在线段的垂直平分线上的依据可以是（   ） A．点P与点C关于直线l对称 B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【解析】解：根据作图可得，依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点C在线段的垂直平分线上． 故选：D ． 【变式5-2】如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【解析】解：连接， ∵的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴点一定在的垂直平分线上． 【变式5-3】如图，在△ABC 中，∠C=90° ，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，AC= BE，试说明 DE 是线段 AB 的垂直平分线． 【答案】见解析 【解析】证明：∵AD平分 ∴ ∵于点E，∠C=90° ∴ 在和中， ∴ ∵ ∴DE平分AB 又∵DE⊥AB ∴DE 是线段 AB 的垂直平分线 题型六 作角平分线（尺规作图） 【例6】在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点，使（保留作图痕迹），则符合要求的作图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴是的平分线， 符合要求的作图是D选项， 故选：D． 【变式6-1】如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹可知， ． 【答案】/55度 【解析】解： 由作图方法可知，平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】解：连接，作线段的垂直平分线，再作两条高速公路夹角的平分线相交于点，则，到两条高速公路的距离也必须相等，点即为所求． 【变式6-3】如图，点M在的一边OA上，作直角，使，且点N到的两边距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【解析】解：作图如下： 题型七 角平分线的性质定理 【例7】如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 【答案】5 【解析】解：∵点P在的平分线上，于点于点， ∴． 故答案为5． 【变式7-1】如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】10 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 【变式7-2】如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】解：如图，过D作于E， 则长即为 长的最小值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 【变式7-3】如图，O是到的三条边距离相等的点，连接．若的面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】解：过点O作，垂足分别为E、F、D，如图所示， ∵O是到的三条边距离相等的点， ∴， ∵的面积分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八 角平分线的判定定理 【例8】如图，，E是的中点，平分．求证：平分．（提示：过点E作，垂足为F．） 【答案】见解析 【解析】证明；如图所示，过点E作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． 【变式8-1】如图，已知于点，于点，且，，，则 ． 【答案】/45度 【解析】解：由题意得：，，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 【变式8-3】如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示，过点D作于H， ∵中边上的高为3， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 题型九 三线合一 【例9】如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵是边上的中线， ∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵ ∴ 是等腰三角形，． 在中，， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-1】如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【答案】7 【解析】解：，是的角平分线， ， 故答案为：7． 【变式9-2】如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 【变式9-3】如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 题型十 根据等角对等边证明 【例10】如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【解析】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式10-1】如图，在和中，与交于点E，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】证明：在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式10-2】把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【解析】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【变式10-3】如图，．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】解：是等腰三角形，理由如下： ，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型十一 等腰三角形的性质与判定 【例11】如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上所述：图中共有3个等腰三角形． 故选：C． 【变式11-1】如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【解析】解：延长到点M，使，连接，如图． 已知，， 所以． 因为是的中线， 所以． 在和中： ， 所以≌． 所以，． 又因为， 可得． 因为，且， 可得． 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 【变式11-2】如图，是边长为5的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点F，交于点E，连结，求的周长． 【答案】10 【解析】解：∵是边长为5的等边三角形， ∴，， ∵是等腰三角形，且， ∴， ∴， 如图，延长至G，使， 则， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长 ． 【变式11-3】如图，是等边三角形，，点在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】证明：是等边三角形，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形． 题型十二 斜边的中线等于斜边的一半 【例12】如图，在中，是斜边上的中线，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 故选：D． 【变式12-1】在中，，，为中点，连接，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵在中，，，为中点， ∴． 故答案为． 【变式12-2】如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（    ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 【答案】A 【解析】解：∵中，，D为的中点，， ∴． 故选：A． 【变式12-3】如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 【答案】 【解析】解：由题意可知，， 又∵，且为边的中点， ∴， ∴的长为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【解析】解：∵基站到三个村庄A，B，C的距离相等， ∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点上； 故选C． 3．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解析】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 4．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 二、填空题 6．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，点，的对应点分别是点、，若，则的度数为 ． 【答案】/64度 【解析】解：∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，则 ． 【答案】8 【解析】解：∵垂直平分，垂直平分，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 8．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或． 9．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/52度 【解析】解：∵为的高，且， ∴垂直平分线段， ， ∵为的高，即， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，直线是多边形的对称轴，若，则的度数为 ． 【答案】/115度 【解析】解：根据轴对称图形的性质得， ∴故答案为：． 三、解答题 11．如图，的角平分线，相交于点．求证： (1)点到三边，，的距离相等； (2)的三条角平分线交于一点． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【解析】（1）证明：作于点，于点，于点， ∵的角平分线，相交于点， ∴，， ∴， ∴点到三边，，的距离相等． （2）证明：由（1）可知， 又∵，， ∴点在的角平分线上， 又∵的角平分线，相交于点， ∴的三条角平分线交于一点． 12．房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． (1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)当时，求立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：如图，线段即为所求； （2），平分， ， ， （米）． 13．如图，在和中，，，与相交于点O． (1)求证：； (2)是何种三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析． 【解析】（1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 14．已知，如图，为等边三角形，点在边上，点在边上，并且，和相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则________，________． 【答案】(1)见解析 (2)6，7 【解析】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6，7． 15．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：， （两直线平行，内错角相等）， 为的中点， ， 又（对顶角相等）， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知：，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 2．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【解析】解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 3．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 4．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 5．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，，故⑥正确； ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴为等边三角形，故⑤正确； 如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，，, ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②③⑤⑥，共个， 故选：C． 二、填空题 6．如图，在中，，，，平分交于点，则点到的距离是 ． 【答案】2 【解析】解：如图，过点作于，则， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ∴点到的距离是 2 ， 故答案为：2． 7．如图，D是的三个内角的平分线的交点，已知，则 ． 【答案】 【解析】解：如图：过作于H，于E，于F， ∵点D是三个内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，是的角平分线，、分别是和的高，连接交于点．给出下列结论：①垂直平分；②垂直平分；③平分；④当时，是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】解：∵是的角平分线，、分别是和的高， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ∵，， ∴垂直平分，故结论①正确，结论②错误； ∵，， ∴是等边三角形，故结论④正确． 故答案为：①③④． 10．如图，在中，，，面积是20，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【解析】解：连接，， ∵在中，，D为边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短时，． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【解析】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 13．如图，在中，，点在边上，且，，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：，，， ， ． （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为G，H． 由（1）知，， ，． ， ． ． 平分． 14．如图，在中，点是BC的中点，，，垂足分别是点，，． (1)求证：平分； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7cm 【解析】（1）解：证明：∵点是的中点， ∴． ∵于点，于点． ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分． （2）∵，则, ∴为等腰三角形，且． ∵，， ∴． 由（1）得， ∴， 解得， ∴的长为． 15．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点    (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【解析】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：8． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$