精品解析：2025年吉林省长春市力旺实验初级中学中考最后一次模拟考试数学试题

数学试题（202506） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（ ） A. 月日 B. 月日 C. 月日 D. 月日 3. 如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（  ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm                    D. 6 cm 4. 下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定与之间的关系 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算的结果等于________． 10. 因式分解：=___． 11. 如图，是的角平分线，是的外角平分线，若，则________． 12. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为________°． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了________． 14. 如图，为的直径，点C、点D为圆上两点，且，交于点E，交于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，，则．上述结论中，正确结论的序号有________； 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头；若两人出的相同，则为平局．用画树状图（或列表）的方法，求一次游戏中小明胜的概率（其中石头、剪刀、布分别用字母A、B、C表示）． 17. 今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 19. “乱世买黄金，盛世买古董”，因黄金的稀缺性具有非常好的避险属性，近些年受全球地缘政治冲突风险加剧、美元贬值引发购进潮、全球经济通货膨胀等因素影响，推动黄金价格逐年上涨，下图为自年月至年月同期金价条形统计图，根据年到年金价数据计算得到年到年同比增幅、减幅变化率，变化率如下（单位：），，，，，，，，，（同比增幅或减幅） （1）根据图中金价信息和同比变化率，可知年同比变化率________（精确到）；并补全折线统计图； （2）年到年同比增幅、减幅变化率的中位数为____________； （3）若国际环境不能得到有效改善，国际金价将持续走高，请你按年的增幅推算年同期金价是多少元？ （4）作为一名有责任心、爱好和平的新时代少年，请你向联合国发出一条稳定金价的倡议． 20. （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 21. 【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 22. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 23. 已知在矩形中，，，以为边向右作等边三角形，点P为边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，线段的对应线段为，连结． （1）求证：； （2）当点Q落在边上时，求的长度； （3）连接，则线段的长度范围是________； （4）当时，直接写出线段的长度． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）与轴交于点，且经过点．点是抛物线上两点（点在点左侧，点不与点重合），横坐标分别为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点落在轴上时，求的值； （3）作直线相交于点． ①当与面积相等时，求的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题（202506） 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（ ） A. 月日 B. 月日 C. 月日 D. 月日 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数减法的运算法则求解即可． 【详解】解：月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为， 所以这几天中温度与最低温度的差最小的是月日， 故选：D． 3. 如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（  ） A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm                    D. 6 cm 【答案】B 【解析】 【分析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长． 【详解】解：由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm， ∵M是线段AC的中点， ∴MC=AC=3cm． 故MC的长为3cm． 故选B． 【点睛】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点． 4. 下列长方体、圆柱体和圆锥体木料，切开后截面形状与其他三个不同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据长方体、圆柱体和圆锥体的截面形状进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中截面形状都是长方形，D选项中截面形状为三角形，故D符合题意． 故选：D． 5. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平知2＜A＜3，然后观察数轴即可． 【详解】解：根据题意，知2＜A＜3． 故选C． 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴杯中水的最大深度为． 故选：B． 7. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 8. 已知点和点均在反比例函数（k是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定与之间的关系 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象的中心对称性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴在第二象限，点在第四象限， ∴，， ∵点关于原点的对称点， ∵, ∴， ∵函数在第四象限是增函数， ∴， ∴， ∵， ∴．   故选：A ． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算的结果等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，按照相关计算法则计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 11. 如图，是的角平分线，是的外角平分线，若，则________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形外角定义，邻补角互补求角度，熟练掌握邻补角的意义和角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线得到，再由邻补角互补求得，再根据是的外角平分线，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴ ∵是的外角平分线， ∴， 故答案为：． 12. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数． 先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可． 【详解】正五边形内角和为， 正五边形每个内角是， ∴． 故答案为． 13. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，当机器狗下蹲时，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗由下蹲到站立增高了________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．分别求出机器狗下蹲和机器狗站立时的高度，作差即可求出答案． 【详解】解： 当机器狗下蹲时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当机器狗站立时，如图，连接，作于点H， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴机器狗由下蹲到站立增高了 故答案为： 14. 如图，为的直径，点C、点D为圆上两点，且，交于点E，交于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，，则．上述结论中，正确结论的序号有________； 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了圆与几何综合，圆的相关性质定理，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理， 相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用圆周角定理推论可得结论①正确；利用题中条件推出，可得故结论②正确； 设与相交于点G，证明四边形是平行四边形，可得，再利用圆周角定理推论和 等腰三角形的判定可得，故结论③正确；利用垂径定理的推论可得结论④不正确；设，则， 利用勾股定理求出，，再证明，可得，从而可求出的长，结合，可得结论⑤正确； 【详解】为的直径，点C在圆上， ，故结论①正确； ， ， ， ，故结论②正确； 如图，设与相交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， 又在中，，， ， ，故结论③正确； 当时， 由，可得， 垂直平分， 经过圆心O， ，故结论④不正确； 若，，则， 设，则， ， 由勾股定理得，，， ，即， 解得， ， ，，， ，， ， ， ， ， 故结论⑤正确； 结论正确的是：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值．先利用约分化简分式，再把字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式 16. 小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头；若两人出的相同，则为平局．用画树状图（或列表）的方法，求一次游戏中小明胜的概率（其中石头、剪刀、布分别用字母A、B、C表示）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． 采用树状图法或者列表法列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：列表如下 A B C A B C 由表知，共有9种等可能结果，其中小明胜出的有3种等可能结果， 所以小明胜出的概率为． 17. 今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设该班有学生人，根据题意，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】设该班有学生人，由题得， 解得． 答：该班的学生人数为45人． 18. 已知，是的角平分线，交于点E，交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得到，根据两直线平行，内错角相等求出，等量代换可得， 根据等角对等边的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 19. “乱世买黄金，盛世买古董”，因黄金的稀缺性具有非常好的避险属性，近些年受全球地缘政治冲突风险加剧、美元贬值引发购进潮、全球经济通货膨胀等因素影响，推动黄金价格逐年上涨，下图为自年月至年月同期金价条形统计图，根据年到年金价数据计算得到年到年同比增幅、减幅变化率，变化率如下（单位：），，，，，，，，，（同比增幅或减幅） （1）根据图中金价信息和同比变化率，可知年同比变化率________（精确到）；并补全折线统计图； （2）年到年同比增幅、减幅变化率的中位数为____________； （3）若国际环境不能得到有效改善，国际金价将持续走高，请你按年的增幅推算年同期金价是多少元？ （4）作为一名有责任心、爱好和平的新时代少年，请你向联合国发出一条稳定金价的倡议． 【答案】（1）， 补全折线统计图如下： （2） （3）元 （4） 有效改善国际环境，控制通货膨胀，建立全球金价稳定对话机制，加强对全球资本流动的监测和预警． 【解析】 【分析】（）根据统计图中的数据求出的值，进而补全折线统计图即可； （）根据中位数的定义解答即可； （）用年金价乘以即可； （）提出合理倡议即可； 本题考查了折线统计图和条形统计图，中位数，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计图可得，， ∴， 故答案为：， 补全折线统计图略 【小问2详解】 解：数据由小到大排列为，，，，，，，，，， ∴中位数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 答：估计年同期金价是元； 【小问4详解】 略 20. （1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】 （1）如图，六边形即为所求； （2）①如图，即为所求； ②如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 21. 【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 【答案】 （1）描点并连线，如图所示， 一次； （2）； （3）秤杆上秤砣移动的水平距离是． 【解析】 【分析】此题是一次函数的应用题，考查了一次函数的图象、待定系数法求函数解析式、求自变量的值等知识，准确判断和求出函数解析式是关键． （1）根据在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是一次函数即可； （2）利用待定系数法求出答案即可； （3）分别求出当和时的自变量的值，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵这些点分布在同一条直线上， ∴y与x是一次函数关系， 故答案为：一次 （2）设， 把，和，代入可得： ， 解得， 即． （3）当时，，解得， 当时，，解得， 答：秤杆上秤砣移动的水平距离是． 22. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线、上一个动点，连结、、，且，求线段的最小值． 【问题分析】 小明发现、的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题． 【问题解决】如图②，过点O作，且．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求的值；（提示：可构造相似三角形求解） （2）线段的最小值为________． 【方法应用】 如图③，，，，则最小值为________． 【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用： 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． （1）①过点作于点，证明，可得出的值 ②由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； （2）过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）①过点作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②∵是的中点， ∴， 在中， ∵, ∴， 过点作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴； （2）过点作，且，连接，过作于点，图， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为． 23. 已知在矩形中，，，以为边向右作等边三角形，点P为边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，线段的对应线段为，连结． （1）求证：； （2）当点Q落在边上时，求的长度； （3）连接，则线段的长度范围是________； （4）当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 由题知，，， ，即， ， ． （2）的长度为 （3） （4）线段的长度为或 【解析】 【分析】本题考查了旋转与几何综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等， 熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用题中条件证明，可得； （2）根据题意作图，利用矩形的性质和，推出，在中，设，利用勾股定理列方程求解； （3）连接，相交于点O，先证明为等边三角形，可知点O与点F重合，延长交于点G，交延长线于点E，连接， 由推出点Q在上，再利用直角三角形的性质和垂线段最短求线段的最大值和最小值，可得线段的取值范围； （4）在图2的基础上，过Q作于点M，则，由时，推出， 当点Q在上时，利用求解，当点Q在上时，利用求解，综合可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图1，当点Q落在边上时， 四边形是矩形， ， ， ， 设，由勾股定理得，， ，解得， ． 【小问3详解】 如图2，连接，相交于点O， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， ，， 为等边三角形， 点F与点O重合， ， 延长交于点G，交延长线于点E，连接， 由（1）知，可得，故， 点Q在上， 当点P与点B重合时，点Q与点F重合，此时； ，， 垂直平分， ， 又， 为等边三角形， ，，， 当点P与点C重合时，点Q与点E重合，此时； 过点D作于点H，则， 又， ， 当点Q与点H重合时，线段的长度最小，最小值为， 综上可知，线段的长度范围是． 故答案为：． 【小问4详解】 当时，线段的长度为或．理由如下： 在图2的基础上，过Q作于点M，则， 当点Q在上时，如图3， 当时，， 解得， ，， ， 又，， ， 利用勾股定理可得，， ，解得， 同理可求得， 由得，， 解得， ； 当点Q在上时，如图4，同理可得，， 由得，， 解得， ． 综上可知，线段的长度为或． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）与轴交于点，且经过点．点是抛物线上两点（点在点左侧，点不与点重合），横坐标分别为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当点落在轴上时，求的值； （3）作直线相交于点． ①当与面积相等时，求的值； ②当的面积大于面积的时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由二次函数解析式可得，，即得，解得或，进而由点在点左侧，得到，即得到，又可得，利用待定系数法得到直线的解析式为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，联立函数解析式求出方程组的解得到，最后代入计算即可求解； （）①由题意画出函数图象，由与面积相等，可得，即得，利用待定系数法求得直线的解析式为，即得到，得到，，又可得直线的解析式为，把代入得，进而解得或，由点在第一象限即得到；②由①知当时，与面积相等，得到，由平行线等分线段定理可得，即得到，进而可得，当点重合时，，由解得，又由点不与点重合，可得，最后结合图象解答即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是抛物线上两点，横坐标分别为， ∴，， ∵点落在轴上， ∴， 解得或， ∵点在点左侧，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴ 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图， ∵与面积相等， ∴， ∴是的中点， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， 整理得，， ∴， 整理得，， 解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴； ②由①知，当时，与面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点重合时，， ∵， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴当的面积大于面积的时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的几何应用，平行线等分线段定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $