第一章 三角形（知识清单）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第一章 三角形 1.由不在同一条直线上的三条线段_____________________所组成的图形叫做三角形。 2.三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“____________”，读作“_______________”；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母________________来表示，边BC用______表示，边AC、AB分别用_______________表示。 3.三角形内角和定理：____________________________________． 4.三角形按角分类分为：________________________________________，有一个内角为直角的三角形,用“_____________”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边称为直角三角形的_________，夹直角的两边称为直角三角形的___________。 5.有两条边相等的三角形叫做________________，_________________都叫做腰，另外一边叫做________，两腰的夹角叫_________，_____________________叫做底角。 6.三边都相等的三角形叫作_____________________。 7.两条直角边相等的直角三角形叫作__________________________。 8.三角形任意两边之和________________，三角形任意两边的之差________________。 9.直角三角形的两个锐角___________，______________________________是直角三角形。 10.三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作____________________。三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的___________。 11.从三角形的一个顶点向它的_____________________________，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高。三角形的___________________________交于一点。 12.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的_________________。三角形的三条角平分线交于一点。 13.__________________________叫做全等图形，全等图形的__________________________。 14.能够完全重合的两个三角形叫做________________。全等用符号“_________”，读作“________________”。记三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 15.全等三角形的性质：_____________________________。 16._________________________的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS"。 17.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“____________”或“_____________”。 18.两角分别相等且_________________________________的两个三角形全等，简写为“_________”或“AAS"。 19.两边和_______________________________的两个三角形全等，简写为“___________”或“SAS’。 20.三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做________________________。四边形的四条边长确定后，它的形状是可以改变，因此四边形______________________。 易错点1 忽略三角形三边关系 错误：在计算第三边时，忽略三边关系而导致错误。 注意：在三角形中必须同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”。 例题1 等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 易错点2 全等三角形判定条件混淆 错误：在证明三角形全等时，混淆判定条件，特别是“AAS”和“ASA”。 注意：为了防止三角形全等的判定方法使用错误，可以在图中标注。 例题2 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 易错点3 忽略隐含条件导致错误 错误：在证明三角形全等时，忽略隐含条件：如公共边、公共角。 注意：仔细审题，挖掘题目的已知条件。 例题3 如图，、相交于点E，，．求证． 1．现有两根木棒的长度分别为和，若要钉一个三角架，则第三根木棒的长度不可以为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 4．已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个等腰三角形的腰长是 ． 5．如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 6．中，，中线将周长分成和两部分．求三边． 7．如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 8．如图，经过点于点于点E．求证：． 9．如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 10．如图，已知，，，求证： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示。 3.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 4.三角形按角分类分为：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，有一个内角为直角的三角形,用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 5.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角。 6.三边都相等的三角形叫作等边三角形。 7.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 8.三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的之差小于第三边。 9.直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形。 10.三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作三角形的中线。三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心。 11.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫作三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。 12.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。 13.能完全重合的图形叫做全等图形，全等图形的形状相同，大小相等。 14.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等用符号“≌”，读作“全等于”。记三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 15.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 16.三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS"。 17.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 18.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS"。 19.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS’。 20.三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形的四条边长确定后，它的形状是可以改变，因此四边形具有不稳定性。 易错点1 忽略三角形三边关系 错误：在计算第三边时，忽略三边关系而导致错误。 注意：在三角形中必须同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”。 例题1 等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，若这个等腰三角形的一边长为，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】或或 【解析】解：根据等腰形的定义及等腰三角形的一条中线把这个等腰三角形分成两个周长相差的三角形，得这条中线不可能是底边上的中线，只能是等腰三角形的一腰上的中线， 根据题意画出图形，如图，中，，设，等腰三角形的腰长， ∵是腰上的中线， ∴， 当时，， 若，则 解得，此时的周长为； 若，则解得，此时的周长为； 当时， 若，则 解得， ∴， 此时的周长为； 若，则解得， ∴， ∵，，不符合三角形的条件， ∴此情形应舍去， 故答案为：或或． 易错点2 全等三角形判定条件混淆 错误：在证明三角形全等时，混淆判定条件，特别是“AAS”和“ASA”。 注意：为了防止三角形全等的判定方法使用错误，可以在图中标注。 例题2 如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 易错点3 忽略隐含条件导致错误 错误：在证明三角形全等时，忽略隐含条件：如公共边、公共角。 注意：仔细审题，挖掘题目的已知条件。 例题3 如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【解析】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 1．现有两根木棒的长度分别为和，若要钉一个三角架，则第三根木棒的长度不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：两根木棒的长度分别为和， 若要钉一个三角架，则第三根木棒的长度大于，小于， B、C、D选项长度可以，A选项长度不可以， 故选：A． 2．如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 3．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【解析】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 4．已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个等腰三角形的腰长是 ． 【答案】4或5 【解析】解：当腰长为5时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为5时，则腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为4或5， 故答案为：4或5． 5．如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 【答案】 【解析】解：补充条件， ∵， ∴． 故答案为． 6．中，，中线将周长分成和两部分．求三边． 【答案】三角形的三边长为8，8，5或6，6，9． 【解析】解：设，，则， 上的中线将这个三角形的周长分成12和9两部分， 有两种情况： 1、当，且， 解得，， 三边长分别为8，8，5； 2、当且时， 解得，，此时腰为6， 三边长分别为6，6，9， 综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9． 7．如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)10米 【解析】（1）解： ， ， ． （2）， ， ， ， 即池塘的宽度为． 8．如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 9．如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 【答案】 【解析】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．如图，已知，，，求证： 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$