第二章 轴对称（复习讲义）数学鲁教五四制2024版七年级上册

第二章 轴对称（复习讲义） 1．了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 ①了解轴对称图形的概念与性质；②了解两个图形成轴对称的概念及特征；③体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2．掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明线段垂直平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出线段的垂直平分线；③能运用这些定理解决相关的几何问题。 3．掌握角平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明角平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出角平分线；③能够在实际问题中灵活应用这些定理进行推理和计算。 4．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的相关性质，并利用其解决问题。 ①能够描述等腰三角形的特征；②掌握等边三角形的性质；③准确运用含有30°角的直角三角形的性质；④能够运用这些知识解决相关的实际问题。 知识点01 轴对称及其性质 1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线称为它的对称轴。 2）两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3）轴对称图形的性质：在轴对称图形或两个图形成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分线，对应线段相等，对应角相等。 知识点02 垂直平分线 1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 2）垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 3）线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 4）作线段的垂直平分线： ①分别以点 A和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 点C和D ； ②作直线 CD。 直线CD 就是线段AB的垂直平分线。 知识点03 角平分线 1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的轴对称。 2）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 3）作角平分线：（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 知识点04 等腰三角形 1）等腰三角形是轴对称图形。 2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 3）等腰三角形的两个底角相等。 知识点05 等边三角形 1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 2）等边三角形的三条边都相等、三个角都相等。等边三角形的每个角都是60°。 3）等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴。 4）三个角都相等的三角形是等边三角形。 5）如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。 6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点06 直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点07 最短路径问题 问题：在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作法：作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 原理：两点之间，线段最短。 题型一 根据轴对称的特征进行求解 【例1】如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵与关于直线l对称， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【变式1-1】如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【变式1-2】如图，点关于、的对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为 厘米． 【答案】8 【解析】解：根据题意点P关于、的对称点分别为、D， 故有，； 则． 故答案为． 【变式1-3】如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    【答案】 【解析】解：∵，，分别为点关于直线，的对称点， ∴，，， ∵，， ∴点三点共线， ∴， ∴ ． 题型二 折叠问题 【例2】如图，在中，，点D在上，将沿翻折，点C恰好落在斜边上，，则点D到斜边的距离是 ． 【答案】2 【解析】解：如图，过作于点， 沿翻折，点落在斜边上， ， 又， ，， ， ， 即点到斜边的距离是2． 故答案为：2． 【变式2-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示： ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴， 即， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，将沿折叠，使点C落在上的点E处，折痕为，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解∶∵沿折叠，使点C落在上的点E处，折痕为， ∴，，， ∴， 故选项A、C、D正确，但不符合题意， 根据已知条件无法判断选项B成立， 故选：B． 【变式2-3】如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 【答案】/115度 【解析】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 线段垂直平分线的性质 【例3】如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 【变式3-1】如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【解析】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 【变式3-2】如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【答案】7 【解析】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 【变式3-3】如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 【答案】14 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： ． 故答案为：14． 题型四 作已知线段的垂直平分线 【例4】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 【变式4-1】如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：根据尺规作图—作线段垂直平分线的步骤可得：， ∵， ∴， ∴a的值可能是4， 故选：D． 【变式4-2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】/25厘米 【解析】解：由题意得到：是中垂线， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴周长． 故答案为：． 【变式4-3】尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】图见解析 【解析】解：如图所示： 直线即为所求． 题型五 角平分线的性质 【例5】如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长 ． 【答案】3 【解析】 ∵是的角平分线，， 故答案为：3． 【变式5-1】如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4． 故选：B． 【变式5-2】如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点到的距离为． 故选：C 【变式5-3】三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 题型六 作角平分线 【例6】如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【解析】解：如图所示，点即为所求． 【变式6-1】已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由作图可知，作图正确的有， 故选：． 【变式6-2】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【答案】18 【解析】解：过点D作于点E，作，交的延长线于点 由作图过程可知，为的平分线， ， ， ， 的面积是 故答案为： 【变式6-3】如图，已知，利用尺规作图法在边下方作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：即为所求作的角，如图所示： 题型七 等腰三角形的定义 【例7】如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是 ． 【答案】/22厘米 【解析】解：当腰长为，则三边为， 此时，不能组成三角形，舍去； 当腰长为，则三边为， 此时，能组成三角形，符合题意， ∴它的周长是， 故答案为：． 【变式7-1】若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【解析】解：当等腰三角形的腰长为3时，则三边长分别为：3、3、7， ∵， ∴不能构成三角形； 当等腰三角形的腰长为7时，则三边长分别为：7、7、3， ∴该等腰三角形的周长为， 故选C． 【变式7-2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【答案】或 【解析】解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 【变式7-3】已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【解析】解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 题型八 三线合一 【例8】如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【解析】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 【变式8-1】如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【解析】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 【变式8-2】如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【解析】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【变式8-3】已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 【答案】 【解析】解：平分，， ． 题型九 等腰三角形的性质与判定 【例9】如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 ． 【答案】 【解析】解：如图，由题意得：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即路灯的高为， 故答案为：． 【变式9-1】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-2】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，， ， ， 垂直平分AC， ， ， ． 故选：． 【变式9-3】如图，，是的高，且．试说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】解：∵，是的高， ． 又， ． ∵， ∴． ， 即． ． 即是等腰三角形． 题型十 含30度角的直角三角形 【例10】南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【解析】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 【变式10-1】如图，在中，，是角平分线，，，垂足分别为、．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【解析】解：是角平分线，，， ， 在中，， ． 故选：D． 【变式10-2】某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了 米． 【答案】/1.5/ 【解析】解：过点作于点，如图所示： ∵，，米， ∴（米）， 故答案为：． 【变式10-3】直角三角形的斜边为，一个锐角为，则这个锐角所对的直角边为 ． 【答案】6 【解析】解：∵直角三角形的斜边为，一个锐角为， ∴这个锐角所对的直角边为， 故答案为：6 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由轴对称性质可知：． 故选：D． 2．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【解析】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 3．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，是中边的垂直平分线，，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【解析】解：是中边的垂直平分线， ， ， 即的周长为14， 故选D． 5．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 【答案】D 【解析】解：①∵中，， ∴， ∴是等腰三角形． 故①正确； ②不能使是等腰三角形， 故②错误； ③是的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确； 综上，①③正确． 故选：D． 二、填空题 6．等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ． 【答案】/度 【解析】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为： 7．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 【答案】/度 【解析】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， 故答案为：． 8．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】/50度 【解析】∵与关于直线l对称， ∴与 是对应角， 根据轴对称的性质，对应角相等， ∵， ∴． 故答案为：． 9．如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则 ． 【答案】 【解析】如图，过点作，交于点 点在的平分线上，， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为6，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点作于点． 平分，，，点到的距离为， ． 故答案为：． 三、解答题 11．用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如图，射线即为所求． 12．如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：连接． ∵ ∴； ∵D为中点， ∴（中垂线性质） ∴； ∴ ∴． 13．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【解析】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 14．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【解析】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 15．如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 2．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．20 【答案】B 【解析】解：等腰三角形两边为3和7． 若腰为3：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 若腰为7：，能构成三角形，周长为． 故选B． 3．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长； 故选：B 4．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【解析】解：由题意可知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ， 故答案为：． 7．如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【答案】6 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【解析】解：如图，连接，． 在中，，是边的中点， ， ， 解得． 垂直平分， 的周长为． 当，，三点共线时，的值最小， 即当最小值为的长时，的周长最小，为， 故答案为：9 9．如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【答案】8 【解析】解：如图，作于点H，于点F， 平分平分， ，， ， ， 故答案为：8． 10．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 三、解答题 11．如图，点P 在四边形的内部，且点P 与点M 关于对称，交 于点G，点P 与点N 关于对称，交于点H，分别交，于点E，F，连接，．若，求的周长． 【答案】 【解析】解：∵点P与点M关于对称，点P与点N关于对称， ∴，， ∴． 12．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解：∵四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上， ∴， 设，则可得， 根据可得， 解得， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵点恰好落在边上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质，知， ∴． 14．如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）解：， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点E作于点F， ， ， ． 在和中， ， ， ∵在中，， ， ． 15．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【解析】（1）证明：， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ， ； （2）四边形的周长为， ． 由（1）知，， ， ． ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 轴对称（复习讲义） 1．了解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 ①了解轴对称图形的概念与性质；②了解两个图形成轴对称的概念及特征；③体会轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系。 2．掌握线段垂直平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明线段垂直平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出线段的垂直平分线；③能运用这些定理解决相关的几何问题。 3．掌握角平分线的性质与判定定理，并且能用这些定理解决相关问题。 ①理解并证明角平分线的性质与判定定理；②能够熟练运用尺规作图方法作出角平分线；③能够在实际问题中灵活应用这些定理进行推理和计算。 4．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的相关性质，并利用其解决问题。 ①能够描述等腰三角形的特征；②掌握等边三角形的性质；③准确运用含有30°角的直角三角形的性质；④能够运用这些知识解决相关的实际问题。 知识点01 轴对称及其性质 1） 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线称为它的对称轴。 2）两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。 3）轴对称图形的性质：在轴对称图形或两个图形成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分线，对应线段相等，对应角相等。 知识点02 垂直平分线 1）线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 2）垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 3）线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 4）作线段的垂直平分线： ①分别以点 A和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 点C和D ； ②作直线 CD。 直线CD 就是线段AB的垂直平分线。 知识点03 角平分线 1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的轴对称。 2）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 3）作角平分线：（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 知识点04 等腰三角形 1）等腰三角形是轴对称图形。 2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 3）等腰三角形的两个底角相等。 知识点05 等边三角形 1）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 2）等边三角形的三条边都相等、三个角都相等。等边三角形的每个角都是60°。 3）等边三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴。 4）三个角都相等的三角形是等边三角形。 5）如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边也相等。 6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点06 直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点07 最短路径问题 问题：在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。 作法：作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 原理：两点之间，线段最短。 题型一 根据轴对称的特征进行求解 【例1】如图，与关于直线l对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点关于、的对称点分别为、，连结，交于，交于，若的周长厘米，则为 厘米． 【变式1-3】如图，点在的内部，且，，分别为点关于直线，的对称点，若，求的度数．    题型二 折叠问题 【例2】如图，在中，，点D在上，将沿翻折，点C恰好落在斜边上，，则点D到斜边的距离是 ． 【变式2-1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若折叠后的边，翻折角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，将沿折叠，使点C落在上的点E处，折痕为，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，将长方形纸条折叠，．按如图折叠，，则 ． 题型三 线段垂直平分线的性质 【例3】如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，，垂足为，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，若，则的长是（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式3-2】如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【变式3-3】如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 题型四 作已知线段的垂直平分线 【例4】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下：①分别以点A，B为圆心，a为半径画弧交于点E，F；②过点E，F作直线，则直线就是线段的垂直平分线．则a的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为 ． 【变式4-3】尺规作图：作线段的中垂线．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 题型五 角平分线的性质 【例5】如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长 ． 【变式5-1】如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．2 D．8 【变式5-2】如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（      ） A． B． C． D． 【变式5-3】三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 题型六 作角平分线 【例6】如图，在农田中，农户计划在田埂上安装一个灌溉水泵以提高灌溉效率，现要求灌溉水泵到田埂和田埂的距离相等，请利用尺规找出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-1】已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线：作一个角等于已知角．其中作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ． 【变式6-3】如图，已知，利用尺规作图法在边下方作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 题型七 等腰三角形的定义 【例7】如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是 ． 【变式7-1】若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【变式7-2】若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 ． 【变式7-3】已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 题型八 三线合一 【例8】如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【变式8-1】如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【变式8-2】如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 【变式8-3】已知是等腰三角形，平分，若，求的长． 题型九 等腰三角形的性质与判定 【例9】如图，小军与小珠之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，．已知小军、小珠的身高分别为，，则路灯的高为 ． 【变式9-1】如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【变式9-2】如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，，是的高，且．试说明是等腰三角形． 题型十 含30度角的直角三角形 【例10】南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【变式10-1】如图，在中，，是角平分线，，，垂足分别为、．若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式10-2】某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端点升高了 米． 【变式10-3】直角三角形的斜边为，一个锐角为，则这个锐角所对的直角边为 ． 基础巩固通关测 1、 单选题 1．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 2．到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 3．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，是中边的垂直平分线，，则的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．14 5．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 二、填空题 6．等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为 ． 7．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 8．如图，与关于直线对称，则的度数为 ． 9．如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则 ． 10．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为6，则的长为 ． 三、解答题 11．用尺规作图：作出已知角的平分线． 已知：如图，，求作：射线，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，中，，D为的中点，于D．求证：． 13．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 15．如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若求，，，求的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长是（   ） A．13 B．17 C．13或17 D．20 3．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点A为圆心，小于的长为半径作弧交，于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（   ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 5．如图①，已知长方形纸带，点E、F分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段上点M的位置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，已知，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为 ． 7．如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 8．如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点，交于点F，M是上一点，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 9．如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 10．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，点P 在四边形的内部，且点P 与点M 关于对称，交 于点G，点P 与点N 关于对称，交于点H，分别交，于点E，F，连接，．若，求的周长． 12．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： (1)等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； (2)在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 13．如图，在长方形纸片中，点在边上，点在边上，四边形沿翻折得到四边形且点恰好落在边上，将沿折叠得到且点恰好落在边上． (1)若则 ； (2)若，求的度数． 14．如图，在中，，点分别在上，且，，． (1)求的度数； (2)求证：． 15．如图，在中，，，分别是，上的点，且，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为，求线段的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$