第一章 勾股定理培优测试卷-2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

勾股定理培优测试卷-2025年北师大版八年级上册 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）(共8题；共24分) 1．（3分）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A．， B．，， C．， D．， 2．（3分）阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（　　） A．5 B．12 C．17 D．13 3．（3分） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（3分）下列各组数，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．7，24，25 5．（3分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，BC于点N，F，的周长为9.若，，则的面积为（　　） A． B． C．5 D． 7．（3分）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（　　）． A．288 B．400 C．432 D．440 8．（3分）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（　　） A． B． C． D．不能确定 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)(共5题；共15分) 9．（3分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为　 　. 10．（3分）如图，在△ABC中，CB=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是　 　. 11．（3分）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为　 　． 12．（3分）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　． 13．（3分）如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是　 　． 三、解答题(本题共7小题，共61分)(共7题；共61分) 14．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，. （1）（4分）请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）（4分）在轴上有一点，则的最小值是　 　. 15．（5分） 如图， 一个长方体形盒子的长为15cm， 宽为10cm， 高为20cm， 点B到点C的距离是5cm.一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么它爬行的最短路程是多少? 16．（5分）下图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km)，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接 M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5000万元/ km， 该沿江高速公路的建设成本预计是多少? 17．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发，沿边AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，连结CD．设点D运动的时间为t秒（t＞0）． （1）（2分）求边AB的长． （2）（3分）当线段CD的长取最小值时，求t的值． （3）（4分）当△ACD是轴对称图形时，求所有满足条件的t的值． 18．（12分）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，动点P从点C出发沿C﹣A﹣B以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）（2分）AC＝　 　． （2）（3分）时，AP的长为 　 　．点P在AB边上时，线段AP的长为 　 　（用含t的代数式表示）． （3）（3分）当点P在AB的中垂线上时，求t的值． （4）（4分）如图②，当点P在AB上运动时，连结CP，作点A关于CP的对称点A'，连结A'C，A'P．当存在△A'PC的边与△ABC的边平行时，直接写出t的值． 19．（12分）阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离． 如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝． 根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）（4分）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离； （2）（4分）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由； （3）（4分）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值． 20．（10分）勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究. 【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？ 【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究： 方案 方案一 方案二 图形 备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD BC=a，AC=b，AB=c 【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础. 方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形 方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED 方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲ 综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理. 【方法应用】 根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程. 提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积. 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； B、，，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意． D、，， 不能得出是直角三角形，本选项符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质逐项判断即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解： 在中， ∵， ∴ 故选：D． 【分析】 在中，根据勾股定理可得：，代入数值计算即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米）， ∴地毯至少需要3+4=7（米）， 故答案为：D. 【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意； B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意； C、∵，和不是整数，∴C不符合题意； D、∵72+242=252，∴D符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：设，，则， ，，即，求得， 在中有，，求得，，，. 故答案为：D. 【分析】设，，等量关系求得，在利用勾股定理，可得，再结合得到，进而判断选项. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线为直线ME， 边AC的垂直平分线为直线NF， ∴BE=AE，CF=AF， ∴∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF， ∵∠B+∠C=45°， ∴∠BAE+∠CAF=45°， ∴∠EAF=180°-∠B-∠C-∠BAE-∠CAF=90°， ∴AE2+AF2=EF2=16， ∵△AEF的周长为9， ∴AE+EF+AF=9， ∵EF=4， ∴AE+AF=5， ∴AE·AF=[(AE+AF)2-(AE2+AF2)]=， ∴S△AEF=AE·AF=. 故答案为：A. 【分析】根据垂直平分线的性质得BE=AE，CF=AF， 再根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAE， ∠C=∠CAF，再根据三角形内角和定理推出∠EAF=90°，利用勾股定理得AE2+AF2=16， 由周长可得AE+AF=5，从而推出S△AEF. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q， 则△ABC≌△PFB≌△QCG， ∴PB=AC=8，CQ=AB=6， ∵图2是由图1放入矩形内得到， ∴IP=8+6+8=22， DQ=6+8+6=20， ∴矩形KLMJ的面积=22×20=440． 故答案为：D． 【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图， 在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u， ∵XV⊥YZ， ∴ ，∠XVY=90°， ∴在Rt△XYV中，有 ， ∴正△XYZ的面积为： ， 如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形， 设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有： ， 则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为： 、 、 ， 则根据上图有： ， ， ， 即有 ， ∵ ， ∴ ， 即 . 故答案为：C. 【分析】设正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，则利用勾股定理可得XV，然后根据三角形的面积公式表示出S△XYZ，由题意可得△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有a2+b2=c2，表示出△AGC、△AFB、△BCH的面积，结合面积间的和差关系进行计算即可. 9．【答案】1.75 【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD， ∴BC的垂直平分线为DE， ∴CD=BD， 在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， 由勾股定理得： 设CD =x， 则BD =x， AD =8﹣x， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理： 解得x=6.25， ∴AD=8-6.25=1.75. 故答案为：1.75. 【分析】连接BD， 由勾股定理求得AC =8，推导出CD=BD， 设CD=x， 则BD=CD=x，AD=8--x， 由勾股定理得 进一步解答即可得解. 10．【答案】 【解析】【解答】解：延长CB到F，使得 过F作 于点E，如下图： ∴AB垂直平分CF， ∴CD+DE的最小值是 故答案为： 【分析】先找到C关系AB的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，再根据勾股定理求解. 11．【答案】 【解析】【解答】解：在中， ， 设秋千的绳索长为， 则， 故， 解得：， 答：绳索AD的长度是． 故答案为：． 【分析】 设秋千的绳索长为，则由题意可得，再利用勾股定理列方程并求解即可． 12．【答案】13，84，85 【解析】【解答】解：∵第1组：3＝2×1+1，4＝1×（3+1），5＝4+1； 第2组：5＝2×2+1，12＝2×（5+1），13＝12+1； 第3组：7＝2×3+1，24＝3×（7+1），25＝24+1； ∴第n组：2n+1，n(2n+1+1)，n(2n+1+1)+1， ∴第6组：2×6+1＝13，6×（13+1）＝84，84+1＝5． 故答案为：13，84，85． 【分析】由勾股数组： ， ， 中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），可得第5组的勾股数组为60＝5×（11+1），第6组的勾股数组为6×（13+1）＝84，进而得出13，84，85 13．【答案】或或 【解析】【解答】解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， 当时， ，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（舍去负值），即； 当时，如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即； 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵点、都在线段的垂直平分线上， ∴点、重合， 此时，； 综上，的长是或或， 故答案为：或或． 【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别画出图形并利用垂直平分线的性质和勾股定理列出方程求解即可. 14．【答案】（1）解：如图，即为所求. 点的坐标为. （2） 【解析】【解答】解：（2）如图，连结A1B，那么点P即为所求， ∵， A1与A关于y周对称， ∴A1的坐标为（3，2）， ∴， ∴PA+PB的最小值是， 故答案为：. 【分析】（1）关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变，据此描出各点，连结即可； （2）根据轴对称和三角形两边之和大于第三边，可知A1B是PA+PB的最小值，再根据勾股定理求出A1B即可. 15．【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， D+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在 的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴蚂蚁爬行的最短距离是25. 【解析】【分析】画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出AB的长即可. 16．【答案】解：根据题意：km， km， MO+OQ=50+130=180km， ∵沿江高速公路的建设成本是5000万元/km， ∴沿江高速公路的造价预计是：180×5000=900000万元=90亿元. 【解析】【分析】根据勾股定理求出MO，OQ的长度，然后根据沿江高速公路的建设成本是5000万元/km，计算即可. 17．【答案】（1）解：∵在中，， ∴. （2）解：由垂线段最短可知，当时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：当是轴对称图形时，则是等腰三角形． ①当时，则； ②当时， 过点C作于点E， 由（2）可知， ∴， ∴； ③当， 过点D作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ 综上所述，当是轴对称图形时t的值为或9或． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据垂线段最短可得，当时，最短，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出即可得到答案； （3）当是轴对称图形时，则是等腰三角形．再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论求解即可． 18．【答案】（1）4 （2）3；2t﹣4 （3）解：如图，设的垂直平分线与交于点 ， ∵， ∴， 当点在上时，， ∴， ∴， ∴； 当点与点重合时，， ∴； 综上所述，的值为或； （4）解：的值为或． 【解析】【解答】（1）解：在中，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴， ∴， 故答案为：， （4）解：如图，当 时，延长交于点， ∵点关于的对称点为， ∴， 又∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得或， 当时，， ∴不合，舍去； 如图，当 时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴时，，； 综上所述，的值为或． 【分析】本题考查了勾股定理，三角函保存进入下一题数，线段的和差，平行线的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论和数形结合思想进行解答是解题的关键． （）利用勾股定理直接求AC得长即可； （）根据，2t=AC+AP=4+AP，即可求解； （）设的垂直平分线与交于点 ，分点在上和点与点重合两种情况解答；当点在上时，， 求出，则；当点与点重合时，. （）分和两种情况画出图形解答.当 时，延长交于点， ，， 在中，，由勾股定理可求或（舍）；当 时，可推导出AC=PA，则4=2t-4，此时，. 19．【答案】（1）解：∵点A(－3，4)，B(5，10)， ∴AB= =10； （2）解：△ABC是直角三角形；理由如下： ∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)， ∴= =65， = =52， = =13， ∴+=， 故△ABC是直角三角形； （3）解：过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOB=90°， ∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°， ∴∠MAO=∠NOB， ∴△MAO≌△NOB， ∴AM=ON，MO=BN， ∵A(-4，3)， ∴OM=4，AM=3， ∴ON=3，BN=4， ∴B（3，4）， ∵点A关于直线OC的对称点是B， ∴EA+ED的最小值为BD， ∵D(－1，)， ∴BD= =， 故DE＋EA的最小值为. 【解析】【分析】（1）利用两点之间的距离公式可得AB的长； （2）先利用两点之间的距离公式可得AB、BC和AC的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （3）过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，先证明△MAO≌△NOB，可得AM=ON，MO=BN，求出点B的坐标，再根据“点A关于直线OC的对称点是B”可得EA+ED的最小值为BD，再利用勾股定理求出BD的长即可。 20．【答案】解： 【方法应用】 方式① S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD 方式② S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB 【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ， ∴AE=BC=a，AD=AC=b， ∴， ， 方式②：由①可知，ED=AB=c， ∴， 故答案为：，，. 【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论； 【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$