4.2.2对数的运算性质（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数的运算性质与换底公式，从对数简化运算的历史需求切入，通过2的幂次表格和问题链引导学生回顾指数运算，搭建从指数到对数的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以问题驱动探究，通过公式证明过程培养逻辑推理（数学思维），结合地震能量计算等实例体现数学建模（数学语言表达现实世界），例题变式层次分明强化运算能力。学生能理解知识本质提升素养，教师可依托完整链条高效教学。

第四章 指数与对数 4.2.2 对数的运算性质 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：对数的运算性质与应用，换底公式的探究和应用 教学难点：对数运算性质和换底公式的证明过程探索 了解理解对数的运算性质，会用对数的运算性质进行化简求值； 理解对数的换底公式，能将一般对数转化为自然/常用对数的形式并以此进行化简； 掌握对数运算性质及换底公式的证明过程，加深与指数相关知识的联结. 教学目标 学科素养 逻辑推理：掌握公式的证明过程； 数学运算：运用对数运算性质及换底公式进行化简求值； 数学建模：运用对数性质解决实际问题，进行简化运算，提升建模素养. 新知引入 真数 幂 指数 对数 底数 上一课时中我们提到对数的产生是由于当时人们对于简便运算的需要。同时我们也提到当时天文学家通过对数发明的目的是用来简化大数之间的乘除运算。但同学们知道对数是如何简化计算的吗？ 在上节课我们只是提出了对数的概念，这节课我们仍然从大数运算说起，看看对数如何简化了运算！ 新知引入 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 问题1：回想上节课是如何计算1024×16384的，并以此计算128×1024. 128×1024 = 27×210 = 217 =131072 7 + 10=17 问题2：总结一下它的解题步骤，想想它是如何简化运算的呢？ 查表→找到指数→指数相加→查表 新知引入 问题3：利用简便运算的思想计算299×3153. 3153× 299= 2a×2b = 2a+b = 942747 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 细化表格，英国数学家布里格斯在纳皮尔对数的基础上进行改进，并于1617年出版了常用对数表． 查表 查表 在表格上找不到对应数值怎么办？ b = log2299 299 对应 942747 对应 a + b a + b = log23153 + log2299 a + b = log2942747 5 新知引入 128×1024 = 27×210 = 217 =131072 7 + 10=17 问题4：你能将7，10，17用对数的形式表示吗？ log2128 log21024 log2(128×1024) + = M×N = ap×aq = ap+q ap = M p = logaM aq = N q= logaN p + q = (p+q) ap+q = M×N p + q = loga(M×N) 问题5：现在将简化计算的关键步骤用对数形式表现出来了，你能证明它的正确性吗？ 新知探究 M×N = ap×aq = ap+q p + q = (p+q) 设 ， 于是 由对数的定义得， 于是。 因此，  问题6：在这里，a , M , N 的值是任意的吗？ 根据对数的定义，这里a > 0，a ≠ 1，M > 0，N > 0. 例：(1) ； (2) ； (3) . 同底对数相加，底数不变，真数相乘. 新知探究 一般地，我们可以得到如下的对数运算性质： ， ① ， ② ， ③ 其中. 问题7：尝试证明性质②和③. Tip：可以尝试使用指数的运算性质转换为对数来证明. ap ÷ aq = ap-q , (ap)q = apq 新知探究 证明：设于是, 由对数的定义得到 同底对数相减，底数不变，真数相除. 新知探究 证明：设 根据对数与指数间的关系可得： 典例精讲 解： 例1：求下列各式的值： 典例精讲 变式训练 解： 变式1：求下列各式的值： 典例精讲 例2：已知求下列各式的值（结果保留4位小数）； 解 （1） （2） Tip：对数运在底数相同的情况下，将真数分解为已知真数的乘积或乘方. 典例精讲 变式训练 变式1：设，试用表示下列各对数：   解 （1） （2） 典例精讲 变式训练 变式2：用lg x，lg y，lg z表示下列各式： 解 （1） （2） （3） 新知呈现 解 设，则 问题8：尝试使用常用对数和表示 设问：可以表示数与被表示数的底数不同，还可以直接通过对数运算性质求解吗？ Tip：对数运算性质两边底数不发生改变. 两边取常用对数, 得 ， 即 ， 所以 故 问题8：你能发现一般性的结论吗？ 将一个对数的底数和真数转移到另外两个对数的真数上！ 典例精讲 问题9：证明：，其中. 证明 设，则 Tip：对变量限定范围保证满足对数的定义. 两边取以为底的对数，得 ， 即 ， 所以 故 典例精讲 Tip：换底公式的作用在于将底数不同的对数之间的运算转换为底数相同的对数(一般为常用对数或自然对数)从而使用对数的运算性质. 例3： 求的值. 解: 典例精讲 变式训练 变式1：计算： 解: 变式2：设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（） A. B. C. D. 解： ，故A错； ，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算性质，容易知其显然不成立。故选B。 新知呈现 在生物领域，由碳14含量求生物死亡年数（课本例10）； 化学领域，对数用于计算PH值pH=-lg[H+] 在地理领域，对数用于计算地震强度； 在物理领域，对数用于测量声音的分贝10·lg(P/Pref) 里氏地震规模：M= lg (I/S) 对数在不同领域都有重要的应用 典例精讲 依题意得 ∴两式相减得 ∴利用计算器可得 问题10： 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 lg E = 4.8 + 1.5M. 2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2。 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差一级, 但前者释放的能量却约为后者的32倍. 反思总结 问题12： 关于对数，我们至今已经学习了哪些公式？ 问题11： 这节课我们主要解决了什么问题？解决问题的目的是什么？ 在简化运算的驱动下，我们找到了描述简化运算中加法的对数表示形式，并从中提取了对数的运算性质，并证明了其正确性． 1个概念,2个对数恒等式,3个对数运算性质,1个换底公式. ab = N ⇔ logₐN = b 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $$