4.1.1根式（教学课件）数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦n次方根及根式的概念、性质与运算，通过细胞分裂情境引入整数指数幂，从平方根、立方根逐步抽象出n次方根定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学抽象（从具体方根到n次方根）和数学运算（根式化简）核心素养，通过分类讨论n奇偶性及a取值分析方根情况，典例涵盖(√5)^2等运算。结构化总结知识与方法，助学生建立体系提升思维能力，也为教师提供清晰教学路径。

第四章 指数与对数 4.1.1 根式 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：了解指数的实际背景，认识n次方根的概念，掌握根式性质； 教学难点：理解n次方根的概念，依据根式性质进行化简运算. 了解指数的实际背景，认识学习指数幂的必要性； 从数与运算的关系出发，理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质； 能利用根式的性质进行根式的化简和运算. 教学目标 学科素养 数学抽象：从平方根、立方根抽象出n次方根定义，形成概念的形式化、抽象化理解； 数学运算：根据被开方数的结构，灵活选用根式性质，确定运算顺序和变形方式，合理转化条件，逐步推导计算. 新知引入 情境1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个······ 如果分裂一次需要10 min，那么，1个细胞1 h后分裂成多少个细胞？ 解：假设细胞分裂次数为，相应细胞个数为y，则y = 2n. 由题中条件可知， = 60÷10 = 6， 那么，当 = 6时， y = 26 = 64， 即1个细胞1 h后分裂成64个细胞. 问题1：在这个例子中， 只能为正整数，当是负整数或0的时候， 2n 还有意义吗？ 2⁻n = 2⁰ = 1 整数指数幂 新知引入 问题2：通过刚才的例子，同学们记起整数指数幂的性质了吗？它有哪些运算性质？ (1)整数指数幂的分类 整数指数幂 正整数指数幂：aⁿ = （n∈N* ） 0指数幂：a⁰ = 1（a ≠ 0） 负整数指数幂：a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a≠0）（n∈N*） (2)整数指数幂的运算性质 aⁿ（n∈N） n可以是分数吗？可以是无理数吗？ ①aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ； ②(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ； ③(ab)ⁿ = aⁿbⁿ 新知引入 情境2：某种特殊细胞分裂时，分裂一次需要10 min，如果1个细胞20min后分裂成16个细胞，那么，1个细胞一次可以分裂成多少个细胞？ 思考：如果1个细胞30min后分裂成27个细胞，那么1个细胞一次可以分裂成多少个细胞？如何列式？ 解：假设1个细胞一次可以分裂成n个细胞，分裂次数为2，分裂后细胞个数为y，则y = n2. 由题中条件可知，y = 16，那么 n = = 4. 新知引入 思考：在上个例子中， 只能为正整数，如果只是求解方程： n2 = 16，有几个根呢？ n3 = 27呢？ 解：假设1个细胞一次可以分裂成n个细胞，分裂次数为3，分裂后细胞个数为y，则y = n3. 由题中条件可知，y = 27，那么 n = = 3. n2 = 16 n3 = 27 n = = 4 n = = 3 平方根 立方根 新知探究 我们知道，如果 x² = a，那么 x 称为 a 的平方根；如果 x³ = a，那么 x 称为 a 的立方根. 问题3：如果x4 = a、 x5 = a······以至于xn = a，此时x应当如何定义？ 一般地，如果 xⁿ = a（n > 1，n∈N*），那么称 x 为 a 的 n 次方根. 问题4：一个数的n 次方根有几个？ 分类讨论 对n是奇数还是偶数来分别讨论. 新知探究 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数，用符号表示. 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，互为相反数，正数的正n次方根用表示， 负 n 次方根用表示，合并写成 一个数的立方根有一个，记为一个数的平方根有两个，记为 注意：(1) 负数没有偶次方根； (2) 0 的n次方根都是 0，记作 新知探究 xⁿ = a n为奇数 a ∈ R x = n为偶数 a > 0 x = a = 0 x = a < 0 x 不存在 式子叫作根式，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数. 3³ = 27 ⇒ 3 = ； (-2)³ = -8 ⇒ -2 =； x³ = 6 ⇒ x = x4 = 6 ⇒ x = x2 = 3 ⇒ x = 例： 典例精讲 例1：求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3)  ； (4)  解： (1) ； (2) ； (3) ； (4)  分类讨论 问题5： 新知呈现 (1)当n∈N*时， (2)当n∈N*且n是奇数时， ; 当n∈N*且n是偶数时， 追问：有什么区别？ 从运算顺序来看，先开方后乘方，而先乘方后开方；其次，a的范围要求不同，a为任意实数均有意义，而对于这个式子则要求在𝑛为偶数时. 典例精讲 例1：计算： ； 2 -3 2 3 -2 例2：计算： ； 先看n，再看a. 2 2 2 3 -3 4 1 0 典例精讲 例3：m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是 ( ) A.  B.  C.  D.  注意：负数没有偶次方根 解析 当 m < 0 时， 没有意义，其余各式均有意义。故选 C. 答案 C 典例精讲 变式训练 变式1：若有意义，则a的取值范围是（ ） 解析 当 < 0 时，没有意义，所以 0； 同时，0的0次幂也没有意义，所以 0. 答案 B 典例精讲 例4：计算的值为 ( ) A. 5 B. -1 C. 2-5 D. 5-2 解析  答案 B 典例精讲 变式训练 变式1：化简： 解析 原式， 当 x ≥ -3 时，原式 = 6；当 x < -3 时，原式 = -2x.   答案 6 或 - 2x Tip：先写成绝对值的形式，再按照绝对值进行分类讨论 典例精讲 变式训练 变式2：化简 解析 要使根式有意义，则 a - 1≥0，即 a ≥ 1， 则 = a - 1 + |1 - a| + 1 - a = a - 1 .   答案 a - 1 Tip：这里要注意到偶次方根内a的范围不小于0. 反思总结 整数指数幂 开方 立方根 平方根 n次方根 定义 表示 性质 根式 问题6：这节课我们按照顺序学习了哪些内容呢？掌握了什么数学方法？ 分类讨论 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $$