精品解析：湖北省十堰市郧阳区柳陂镇柳陂中学2024--2025 学年九年级第一学期期中综合测试卷提高卷

湖北省十堰市郧阳区柳陂镇柳陂中学2024−−2025学年九年级第一学期期中综合测试卷提高卷 【数学】 一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( ) A. 1:2 B. 1:4 C. 1: D. 2:1 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出． 【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的面积比是1：4． 故选B． 【点睛】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单． 2. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查学生对锐角三角函数的定义的理解，利用“设未知数法”表示出三角形的三边求解更加简便．作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解． 【详解】解：， ∴设，， ∴由勾股定理得： ， ∴． 故选：C． 3. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，直角三角形的性质， 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理知，，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选∶D． 4. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 5. 在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵cosA=，tanB=， ∴∠A=45°，∠B=60°． ∴∠C=180°-45°-60°=75°． ∴△ABC为锐角三角形． 故选A． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 如图，是的直径，P是延长线上一点，切于点A，如果，，那么线段的长等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题是解答此题的关键．连接．根据切线的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理来求该圆的半径，则易求直径的长度． 【详解】解：设该圆的半径为，如图，连接， ∵切于点A， ∴，即， 又∵，， ∴在直角中，利用勾股定理得到：，即， 则， ∴的直径， 故选：D． 8. 如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点A是劣弧的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB•cos30°=6×=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°=， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点A是劣弧的中点， ∴AC=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形ABOC是菱形， 故④正确． 故选B． 考点：1.垂径定理；2.菱形的判定；3.圆周角定理；4.解直角三角形． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 9. 等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为___.　　　　　. 【答案】. 【解析】 【分析】先求腰长．作底边上的高，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，AB=AC，BC=10，AD为底边上的高，周长为36， 则AB=AC=（36-10）÷2=13． ∵BD=5， ∴由勾股定理得，AD=12． tan∠ABC=AD：BD=． 10. 弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 11. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD． ∴△ABE∽△DCE． ∴． ∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC． ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴． ∴． 故答案为 12. 如图，在平行四边ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若，，则________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由题意易得AD=BC=5，AD∥BC，然后可得△BFE∽△DFA，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且，， ∴AD=BC=BE+EC=5，AD∥BC， ∴△BFE∽△DFA， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13. 如图，、是的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知，那么___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和的性质等知识，连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和的性质求出，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解∶连接， ∵是的两条切线， ， ∴， ∴． 故答案为∶50． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P的坐标为_______． 【答案】（2，4-2） 【解析】 【详解】∵四边形OABC是边长为2的正方形， ∴根据勾股定理，得对角线 ∵OQ＝OC， ∴，∠OCQ＝∠OQC ∵∠OCQ＝∠BPQ（由平行可得），∠OQC＝∠BQP（对顶角相等）， ∴∠BPQ＝∠BQP ∴ ∴ 又 ∵OA＝2， ∴点P的坐标为（2，4-2） 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用、、、、这些特殊角的三角函数值，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行计算． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握特殊角（、、）的三角函数值以及实数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 如图，中，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出的长． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 17. 如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，由是直径，可得，由，可得，则，，求，然后由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， 由勾股定理得，， ∴的长为． 18. 如图，的三顶点分别为，，．请画出一个以原点O为位似中心，且与相似比为的位似图形，并写出各顶点的坐标．（只需画出一种情况，） 【答案】 如图，就是所求的三角形， 【解析】 【分析】本题考查作位似图形，平面直角坐标系中点的坐标，先以原点O为位似中心，作的位似图形，使相似比为，再根据所作三角形三点的位置写出三点的坐标． 【详解】略 19. 如图表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点，且当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分．如图，若此钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分，则钟面显示点分时，点距桌面的高度为多少公分？ 【答案】公分 【解析】 【分析】设钟面显示点分时点的对应点为，过点作于点，交于点，根据当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分得出，进而得出，从而得出，得出答案即可． 【详解】解：设钟面显示点分时点的对应点为，过点作于点，交于点， ∵当钟面显示点分时，分针垂直与桌面，点距桌面的高度为公分， ∴，， ∵钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分， ∴， ∴， ∵此时点距离桌面的高度为公分， ∴， ∴ ， 当钟面显示点分时，则 ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴（公分）， ∴钟面显示点分时，点距桌面的高度为公分． 【点睛】本题考查钟面角，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的判定及性质等知识点，确定是解题的关键． 20. 如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米） （参考数据：sin43° =0.6820， cos43° =0.7314， tan43° =0.9325 【答案】10.8米 【解析】 【分析】本题是一个直角梯形的问题，可以过点D作DE⊥AB于点E，把求AB的问题转化求AE的长，从而可以在△ADE中利用三角函数求解． 【详解】解：如图，可知四边形DCBE是矩形， 则EB = DC =1.5米，DE=CB=10米 在Rt△AED中，∠ADE=α=43º 那么tanα，所以，AE=DEtan43º =10×0.9325=9.325 所以，AB="AE+EB" =9.325+1.5=10.825≈10.8（米） 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题． 21. 如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； 【答案】（1） （2） 证明：∵在中，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵是直径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）利用同圆中圆心角与圆周角的关系（同弧所对圆周角是圆心角的一半 ），结合已知来求． （2）要证是切线，需证，即证，通过三角形内角和，结合已知求出，再结合的度数来推导． 本题主要考查了圆的基本性质（圆心角与圆周角关系、切线的判定 ）、解直角三角形（三角函数的应用 ），熟练掌握圆的性质及三角函数在直角三角形中的运用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是圆心角，是圆周角，且它们所对的弧都是弧， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 22. 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【答案】海里 【解析】 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D． 由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°， ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD（海里）， 在Rt△BCD中，（海里）． 答：此时船C与船B的距离是海里． 23. 在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度． 【答案】 （1）证明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC． （2）；2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得∠DEC=∠FDC，利用两角法即可进行相似的判定． （2）根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用（1）的结论求出x，在Rt△CFD中求出FD，继而得出BC． 考点：矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理． 【详解】解：（1）略 （2）∵F为AD的中点，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC． ∴FE：FC=1：3，∴． 设EF=x，则FC=3x， ∵△DEC∽△FDC，∴，即：6x2=12，解得：x=． ∴CF=3． 在Rt△CFD中，． ∴BC=2DF=2． 24. 如图，在中，斜边，D为的中点，的外接圆与交于F点，过A作的切线交的延长线于E点． （1）求证：； （2）计算：的值． 【答案】（1） 证明： 在中， ， D为的中点， ∴． ∴为等边三角形． ∴O点为的中心（内心，外心，垂心三心合一）． 连接， 则 ， ∴ ． 又∵为 的切线， ∴， ∴， ∴ ． ∴． 又∵四边形内接于圆O， ． ∴ ， 即 ． （2）36 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定；利用圆内接四边形的对角和为是解题关键． （1）连接，证明为等边三角形后根据三心合一的定理求出，则，，四边形内接于，，利用平行的性质求出； （2）由（1）可得为等边三角形，易证，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，为等边三角形， ∴， ∴ 又∵． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省十堰市郧阳区柳陂镇柳陂中学2024−−2025学年九年级第一学期期中综合测试卷提高卷 【数学】 一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( ) A. 1:2 B. 1:4 C. 1: D. 2:1 2. 在中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，P是延长线上一点，切于点A，如果，，那么线段的长等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 9. 等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为___.　　　　　. 10. 弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是______． 11. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 12. 如图，在平行四边ABCD中，E是边BC上的一点，AE交BD于F，若，，则________． 13. 如图，、是的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知，那么___________度． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且OQ＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P，则点P的坐标为_______． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤 15. 计算：． 16. 如图，中，，，，，求的长． 17. 如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 18. 如图，的三顶点分别为，，．请画出一个以原点O为位似中心，且与相似比为的位似图形，并写出各顶点的坐标．（只需画出一种情况，） 19. 如图表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点，且当钟面显示点分时，分针垂直桌面，点距桌面的高度为公分．如图，若此钟面显示点分时，点距离桌面的高度为公分，则钟面显示点分时，点距桌面的高度为多少公分？ 20. 如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米） （参考数据：sin43° =0.6820， cos43° =0.7314， tan43° =0.9325 21. 如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； 22. 钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 23. 在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF． （1）求证：△DEC∽△FDC； （2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度． 24. 如图，在中，斜边，D为的中点，的外接圆与交于F点，过A作的切线交的延长线于E点． （1）求证：； （2）计算：的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $