专题05 一元一次方程的实际应用6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题05 一元一次方程的实际应用 目录 典例详解 类型一、销售盈亏问题 类型二、几何问题 类型三、方案选择问题 类型四、水电费问题 类型五、行程问题 类型六、动点问题 压轴专练 类型一、销售盈亏问题 【例1】公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（   ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 【例2】为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【变式1-1】某商店以每件60元的价格出售两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，则这个商店在这次交易中 （填“赚”或“亏”）了 元． 【变式1-2】我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【变式1-3】七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元； 信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元； 信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元． (1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价； (2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？ 类型二、几何问题 【例3】一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 【例4】如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 【变式2-1】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则每一个小长方形的面积为 ． 【变式2-2】（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【变式2-3】数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点为“中点关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时点B是点A，C的中点． (1)若点A表示数，点B表示数1，若点B是点A与点C的中点，求点C所表示的数； (2)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点，若点A、B、P是“中点关联点”，求此时点P表示的数． 类型三、方案选择问题 【例5】年月日，某市为表彰“最美乡村教师”，组织中小学代表队参加文艺汇演，甲、乙两校共名学生（其中甲校人数大于人且低于人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 元 元 元 已知两所学校单独购买服装，一共应付元． (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ (3)如果甲校有名同学被抽调去参加书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【例6】某水果店经销甲、乙两种水果，基本信息如表所示： 水果种类 成本（元/千克） 数量（千克） 售价（元/千克） 甲水果 60 乙水果 80 (1)商家决定将甲种水果按成本价提高后出售；乙种水果在成本价的基础上提高10元后再打八折出售，则___________（用含的代数式表示），___________（用含的代数式表示）； (2)若商家将甲、乙水果全部售出可获得760元的总利润，求的值；（请列方程解答） (3)春节来临之际，市场对水果的需求上升．为吸引顾客，店长根据市场调查推出两种促销方案如下： 方案一：每位顾客均可享受所有商品八折优惠，折后还可以使用优惠券（每次只能使用一张）： 优惠券1 满50元减10元 优惠券2 满40元减5元 例如：某人购买原价为200元的水果，按方案一优惠，他应付款为：（元）． 方案二：每位顾客均可享受所有商品七五折优惠： 一次购物只能享受其中一种优惠方案． 小优和妈妈一起在该水果店购买了如下标价的水果：一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，一个进口车厘子礼盒380元，妈妈准备选择优惠方案—一次性付款，小优说她有更省钱的方法．从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省___________元． 【变式3-1】我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【变式3-2】本学期，我校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需购乒乓球拍5副及乒乓球若干盒（不少于5盒）．班长小明了解到本市有甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，且定价也相同，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现在两家商店都搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的付款． (1)当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两商店所需费用相同？ (2)当购买15盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买？为什么？ 【变式3-3】某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 类型四、水电费问题 【例7】我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【例8】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如表： 档次 月用电量 电价（元／度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． (1)表中的值为_______；若用电400度，则应缴电费_______元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元／度，求老李家8月份的用电量． 【变式4-1】某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费 元； (2)若小张家一个月用电度（），那么这个月应缴电费多少元？（用含的式子表示） (3)若小张家十月份缴电费135元，请求出他十月份用电多少度？ 【变式4-2】为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【变式4-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 类型五、行程问题 【例9】甲乙两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车．同时出发．小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地．小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米．两人骑车的速度都是每小时20千米．那么两人从甲地到乙地共用了多少小时？ 【例10】某市出租车收费标准如下：不超过3千米的部分收费10元，超过3千米但不超过10千米的部分每千米收费2元，超过10千米的部分每千米收费3元．（不足1千米以1千米计算） (1)设乘车里程为x千米，则应付车费多少元？（用含x的代数式表示，x为整数） (2)若小明乘坐出租车的里程为千米，问应付车费多少元？ (3)小军家距离学校千米，周末小军身上带了元钱，如果小军从学校坐出租车回家，那么他的钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米才可以坐出租车到家？ 【变式5-1】甲、乙两队相约沿相同的路线徙步，徒步步的路程为，先到达目的地原地休息等待另一队．甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发，设甲队出发t小时，两队间隔的路程为．满足条件的所有t值的和为 ． 【变式5-2】一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时10分钟时也经过C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是______千米/小时，B、C两地的距离是______千米；A、C两地的距离是______千米 (2)求甲车的速度； (3)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【变式5-3】从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． (1)若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； (2)选择（1）中的一种设元方式解答问题． 类型六、动点问题 【例11】在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【例12】如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【变式6-1】如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为 ，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在 ． 【变式6-2】已知点A在数轴上表示的数是，点B从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着数轴向左运动，点C与点、的距离相等，当运动时间 时，点C与点B的距离为2，此时点表示的数是 ． 【变式6-3】如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A与点B之间的距离，且满足：． (1)直接写出　　　． (2)若在数轴上存在一点C，且，求点C表示的数； (3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动时间为t秒．请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 1．如图，在长方形中，cm，cm，点是上的一点，且．点从点出发，以2cm/s的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为18cm2，则的值为（    ） A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 2．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了99元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 3．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 4．某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 5．（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 6．（经济问题）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 7．秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 8．根据国家实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若今年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元／千瓦时） 不超过150千瓦时 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 0.65 超过300千瓦时的部分 0.9 (1)上表中，　　　　，若居民乙用电200千瓦时，应交电费　　　　元． (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费． (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市某户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价为元／千瓦时？ 9．在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 10．数轴上点对应的数是点对应的数是1，一只小虫甲从点出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行秒至点，到达点后再立即返回到点． (1)求点对应的数； (2)若小虫甲返回到后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点出发沿着数轴的负方向以每秒8个单位的速度爬行，当甲乙两只小虫距离3个单位长度时，求小虫乙的运动时间； (3)在（2）的条件下，设甲小虫对应的点为点，乙小虫对应的点为点，线段的中点为M，试判断的值是否改变，若不变，请求出其值；若改变，请说明理由． 11．已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 12．小宜跟同学在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为此餐厅的部分菜单．小宜记录了大家点套餐的情况；他们所点的套餐中共有11份盖饭，x杯饮料，5份小菜． 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……以此类推 B套餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 数学思考： （1）他们一定共点了______份C套餐；他们共点了______份B套餐；他们共点了______份A套餐（用含x的代数式表示B套餐数和A套餐数） 问题解决： （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额． （3）若他们点餐优惠后共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的？ 13．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)数轴上的点P、Q所表示的数分别是______和______；（用含t的代数式分别表示） (2)当时，求P、Q两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间t使？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程的实际应用 目录 典例详解 类型一、销售盈亏问题 类型二、几何问题 类型三、方案选择问题 类型四、水电费问题 类型五、行程问题 类型六、动点问题 压轴专练 类型一、销售盈亏问题 【例1】公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（   ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 【答案】C 【详解】解：设每千克柑橘的售价为元．由题意得， 化简得 移项得 解得 故选： ． 【例2】为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元 (2)①到甲商场购买装备所花的费用为：元，到乙商场购买装备所花的费用为：元；②在甲商场购买的足球更多 【详解】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元； （2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为： 元， 到乙商场购买装备所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买足球的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲商场购买的足球更多． 【变式1-1】某商店以每件60元的价格出售两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，则这个商店在这次交易中 （填“赚”或“亏”）了 元． 【答案】 亏 8 【详解】解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据进价与利润的和等于售价列得方程：， 解得：， 设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是元， 列方程， 解得：． 那么这两件衣服的进价是元，而两件衣服的售价为元． 元， 则这个商店在这次交易中亏了8元， 故答案为：亏；8． 【变式1-2】我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折． 小熊 钥匙扣 套装 进价 13 3 售价 16 4 购买意向占比 (1)出售一份套装可获得的利润是______元； (2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？ 【答案】(1)2 (2)至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【详解】（1）解： ． ∴出售一份套装可获得的利润是2元． 故答案为：2． （2）解：设设销售总份数为x件， 由题意得：， 解得：， ∴单独买小熊：（个）， 单独买钥匙扣：（个）， 买套装：（套）， ∴至少定制小熊：（个），定制钥匙扣：（个）． 答：至少定制小熊195个，定制钥匙扣165个． 【变式1-3】七（1）班准备开展元旦晚会，生活委员小文负责为班级购买各项物品，小文去“好运来超市”准备购买饮料，根据以下信息，探索完成任务： 信息①：购买5瓶A品牌饮料与8瓶品牌饮料共76元； 信息②：品牌饮料的单价比A品牌饮料单价的2倍少1元； 信息③：购买1瓶A品牌饮料与1瓶品牌饮料需11元． (1)在信息①②③中任选两个作为条件，求A品牌饮料和品牌饮料的单价； (2)小文说：“我买了两种饮料，共50瓶，花了286元．”学习委员说：“你肯定弄错了”．请你用方程的知识计算一下，为什么说小文弄错了？ 【答案】(1)A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元 (2)见解析 【详解】（1）解：选①②，设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选①③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴． 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． 选②③， 设A品牌饮料的单价为元，则品牌饮料的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：A品牌饮料和品牌饮料的单价分别为4元和7元． （2）解：设A品牌饮料买瓶，则购买品牌饮料瓶， 由题意可得：， 解得． 因为饮料的数量不可能是分数，所以小文弄错了． 类型二、几何问题 【例3】一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：设点所表示的数为，， ，点所表示的数为9， 表示的数为或， 或22， 根据折叠得，， 或， 解得：或， 故选：D． 【例4】如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）解：若，则表示的数为， ∴三点对应数的和为； （2）解：由于点在点的左侧，则； 当点在点右侧时，则 ∵ ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则, ∵ ∴, 解得； ∴的值为或． 【变式2-1】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则每一个小长方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设小长方形的长为，则宽为， 由题意得：， 解得：， 即小长方形的长为，宽为， 每一个小长方形的面积为：， 故答案为：． 【变式2-2】（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【答案】（1）143 （2）①该商品的成本价为500元；②按七五折（即）出售则可获得利润25元 【详解】解：（1）设右下方两个相等的正方形的边长为x， ， ， ， 则这个长方形色块图的面积为， 故答案为：143； （2）①设商品的成本价为x， ， ， 答：该商品的成本价为500元； ②． 答：按七五折（即）出售则可获得利润25元． 【变式2-3】数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三点为“中点关联点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，5，此时点B是点A，C的中点． (1)若点A表示数，点B表示数1，若点B是点A与点C的中点，求点C所表示的数； (2)点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点，若点A、B、P是“中点关联点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)4 (2)或或40 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1， ∴点A，B间的距离为， ∵点B是点A与点C的中点， ∴点C，B间的距离为， ∴点C所表示的数为； （2）解：设点P表示的数为x， 当点P是点A与点B的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点A是点P与点B的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点B是点P与点A的中点时， ， 解得：， 此时点P表示的数为40； 综上所述，点P表示的数为或或40． 类型三、方案选择问题 【例5】年月日，某市为表彰“最美乡村教师”，组织中小学代表队参加文艺汇演，甲、乙两校共名学生（其中甲校人数大于人且低于人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 每套服装的价格 元 元 元 已知两所学校单独购买服装，一共应付元． (1)若甲、乙两校联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？ (2)甲、乙两所学校各有多少名学生准备参加演出？ (3)如果甲校有名同学被抽调去参加书法绘画比赛，不能参加演出，请你为这两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)元； (2)甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； (3)最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 故两所学校联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省元； （2）解：设甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生参加． 由题意，，故甲校单价为元， 若乙校单价也为元，则总费用为元，与题设元不符， 由题意得：， 解得：，则， 答：甲学校有名学生准备参加演出，乙学校有名学生准备参加演出； （3）解：∵甲校有人不能参加演出， ∴甲校有（人）参加演出， 若两校联合购买服装，则需要（元）， 若两校分别单独购买：（元）， 若两校分别单独购买，甲校需套，可选择购买套，费用为（元），乙校需套，可选择购买套，费用为（元），总费用为（元）， 若甲校为获得更低单价而单独购买套，乙校单独购买套，其花费（元）， 若两校联合购买套服装，需（元）， ∵， ∴最省钱的购买服装方案是两校联合购买套服装（即比实际人数多购套）． 【例6】某水果店经销甲、乙两种水果，基本信息如表所示： 水果种类 成本（元/千克） 数量（千克） 售价（元/千克） 甲水果 60 乙水果 80 (1)商家决定将甲种水果按成本价提高后出售；乙种水果在成本价的基础上提高10元后再打八折出售，则___________（用含的代数式表示），___________（用含的代数式表示）； (2)若商家将甲、乙水果全部售出可获得760元的总利润，求的值；（请列方程解答） (3)春节来临之际，市场对水果的需求上升．为吸引顾客，店长根据市场调查推出两种促销方案如下： 方案一：每位顾客均可享受所有商品八折优惠，折后还可以使用优惠券（每次只能使用一张）： 优惠券1 满50元减10元 优惠券2 满40元减5元 例如：某人购买原价为200元的水果，按方案一优惠，他应付款为：（元）． 方案二：每位顾客均可享受所有商品七五折优惠： 一次购物只能享受其中一种优惠方案． 小优和妈妈一起在该水果店购买了如下标价的水果：一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，一个进口车厘子礼盒380元，妈妈准备选择优惠方案—一次性付款，小优说她有更省钱的方法．从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省___________元． 【答案】(1)； (2)12 (3)19 【详解】（1）解：（元）， 元， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 整理得， 解得； （3）解：妈妈选择优惠方案一一次性付款，应付款（元）， 如果选择优惠方案二一次性付款，应付款（元）， 如果选择两次购物，可选择如下： 方法一：购买一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法二：购买一盒草莓60元，购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法三：购买一盒蓝莓20元，购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒草莓60元，选择优惠方案二付款，应付款（元）， 则共付款（元）； 方法四：购买一盒草莓60元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； 方法五：购买一盒蓝莓20元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一个进口车厘子礼盒380元，一盒草莓60元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； 方法六：购买一个进口车厘子礼盒380元，选择优惠方案一付款，应付款（元）， 购买一盒草莓60元，一盒蓝莓20元，选择优惠方案二付款，应付款（元）； 则共付款（元）； ∴从优惠的角度看，小优最多还能为妈妈节省（元）， 故答案为：19． 【变式3-1】我校体育组决定购买羽毛球和羽毛球拍若干．甲、乙两家体育用品商店出售同一品牌同一规格的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每个定价8元，羽毛球拍每副定价80元、现两家商店都在搞促销活动：甲店每出售一副球拍赠2个羽毛球；乙店球拍和羽毛球均按九折优惠．若体育组需购副球拍，300个羽毛球．根据题意完成下列问题． (1)购买方案一：全部到甲商店购买，需付款______元；购买方案二：全部到乙商店购买，需付款______元；（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两种方案所需费用相等？ (3)当，请根据甲、乙两商店的促销信息，判断是否有比（1）中两个方案更优惠的购买方法，如果有，写出方案并列式求出所需费用；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2)30 (3)当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元 【详解】（1）解：由题意，得：到甲商店购买，需付款（元） 到乙商店购买，需付款：（元） 故答案为：，； （2）由题意，得： 解得： 故当时，两种方案所需费用相等； （3）有；去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球 当时：方案一费用： 元 方案二费用为：元 当去甲商店买球拍，去乙商店买羽毛球时，所需费用为：元 答：当去甲商店买球拍，去乙商店购买剩余的羽毛球时更优惠，所需费用为5440元． 【变式3-2】本学期，我校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需购乒乓球拍5副及乒乓球若干盒（不少于5盒）．班长小明了解到本市有甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，且定价也相同，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现在两家商店都搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的付款． (1)当购买乒乓球多少盒时，在甲、乙两商店所需费用相同？ (2)当购买15盒乒乓球时，你打算去哪家商店购买？为什么？ 【答案】(1)当购买乒乓球20盒时，在甲、乙两商店所需费用相同； (2)购买15盒乒乓球时，去甲商店较合算． 【详解】（1）解：设购买乒乓球盒， 在甲商店购买，所需费用为： （元）， 在乙商店购买，所需费用为： （元）， 由题意可得： ， 解得：， 答：当购买乒乓球20盒时，在甲、乙两商店所需费用相同； （2）解：当购买15盒乒乓球时， 在甲商店需付款：（元）， 在乙商店需付款：（元）， ∵， ∴去甲商店较合算， 答：购买15盒乒乓球时，去甲商店较合算． 【变式3-3】某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下表所示： 运输工具 途中平均速度/（千米/时） 运费（元/千米） 装卸费用/元 火车 100 15 2000 汽车 80 20 900 (1)如果选择汽车运输的总费用比选择火车运输的总费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？（总运费=运费+装卸费用+损耗） (2)设A市与本市之间的距离为s千米，假如你是A市水果批发部门的经理，若要将这批水果运往本市销售，你会选择哪种运输方式． 【答案】(1)本市与A市之间的路程是400千米 (2)当时，选择火车运输合算；当时，选择汽车运输合算；当时，两种方式都一样 【详解】（1）解：设本市与A市之间的路程是x千米， 根据题意得：， 解得：， 答：本市与A市之间的路程是400千米． （2）选择汽车运输的费用为：， 选择火车运输费用为：， 当两者相等时，， 解得：， 即当时，选择火车运输合算； 当时，选择汽车运输合算； 当时，两种方式都一样． 类型四、水电费问题 【例7】我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【答案】(1)元； (2)30立方米 (3)当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元 【详解】（1）解：元， 即该户4月份应缴纳的水费为元； （2）解：设该用户这个月的用水量是m立方米， ∵，且， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户这个月的用水量是30立方米； （3）解：当时，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元， 设甲户这个月用水立方米，则， 当时，甲户用水量超过但不超过，乙户用水量不少于但少于， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元， 综上所述，当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元． 【例8】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如表： 档次 月用电量 电价（元／度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元． (1)表中的值为_______；若用电400度，则应缴电费_______元． (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电达到第3档，且平均电价为0.76元／度，求老李家8月份的用电量． 【答案】(1)；248 (2)老李家9月份的用电量为300度； (3)老李家8月份的用电量为800度． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 若用电400度，则应缴电费（元）． 故答案为：；248； （2）解：设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度； （3）解：设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 【变式4-1】某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费 元； (2)若小张家一个月用电度（），那么这个月应缴电费多少元？（用含的式子表示） (3)若小张家十月份缴电费135元，请求出他十月份用电多少度？ 【答案】(1)60 (2)（）；（） (3)225 【详解】（1）解：∵， ∴用电收费标准为每度电0.5元， ∴（元）． 故答案为：60． （2）解：当时，应缴电费（元）； 当时，应缴电费（元）． （3）解：设小张家十月份用电x度， ∵， ∴小张家十月份用电超过150度， ∴， 解得． 答：小张家十月份用电225度． 【变式4-2】为鼓励居民节约用电，某市试行每户每月阶梯电价加收费制，具体执行方案如表： 每户每月用电数（度）阶段 阶段电价（元/度） 小于等于200 大于200小于等于300的部分 大于300的部分 例如：一户居民五月份用电260度，则需缴电费（元）． (1)若小莹家六月份用电310度，则需缴电费多少元？ (2)已知小悦家四、五月份共用电360度，其中四月份用电量大于五月份用电量，共缴电费199元，问小悦家四、五月份各用电多少度？ 【答案】(1)需缴电费183元； (2)小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：需缴电费183元． （2）解：设小悦家四月份用电x度，则五月份用电度， 当时，，不符合题意； 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小悦家四月份用电210度，五月份用电150度． 【变式4-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份用水a吨（其中），则应交水费 元（用含a的代数式表示）； (3)若小明家3月份交水费60元．求小明家3月份的用水量是多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)25吨 【详解】（1）解：元， 即需交水费元； 故答案为： （2）解：根据题意得：元， 即需交水费元； 故答案为： （3）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元）； 如果一个月用水18吨，则需水费：（元）； ∵ ∴3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为x吨，依题意可得： ， 解得：． 答：小明家3月份用水量为25吨． 类型五、行程问题 【例9】甲乙两地相距35千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一辆自行车，小张先步行，小李先骑车．同时出发．小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地．小张步行的速度是每小时5千米，小李步行的速度是每小时4千米．两人骑车的速度都是每小时20千米．那么两人从甲地到乙地共用了多少小时？ 【答案】小时 【详解】解：设小张步行的路程为x千米，则小张骑车的路程为千米，小李骑车的路程为x千米，小李步行的路程为千米，根据题意，得 ， 解得：， 从甲地到乙地共用时间为：（小时）． 答：两人从甲地到乙地共用了小时． 【例10】某市出租车收费标准如下：不超过3千米的部分收费10元，超过3千米但不超过10千米的部分每千米收费2元，超过10千米的部分每千米收费3元．（不足1千米以1千米计算） (1)设乘车里程为x千米，则应付车费多少元？（用含x的代数式表示，x为整数） (2)若小明乘坐出租车的里程为千米，问应付车费多少元？ (3)小军家距离学校千米，周末小军身上带了元钱，如果小军从学校坐出租车回家，那么他的钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米才可以坐出租车到家？ 【答案】(1)当时，应付车费10元；当时，应付车费元；当时，应付车费元 (2)22元 (3)不够，小军至少要先走千米才可以坐出租车到家 【详解】（1）解：当时，应付车费10元； 当时，应付车费元； 当时，应付车费元． （2）解：因为不足1千米以1千米计算，所以， 因为，所以应付车费（元）． （3）解：根据题意，乘坐 13.1 千米按 14 千米计费，车费为 元，因 ，故钱不够， 根据题意，令，解得． 因为不足1千米以1千米计算，所以可乘坐的最大计费里程为12千米， 此时小军应付元，还剩余元． 所以小军至少要先走千米才可以坐出租车到家． 【变式5-1】甲、乙两队相约沿相同的路线徙步，徒步步的路程为，先到达目的地原地休息等待另一队．甲队步行速度为，乙队步行速度为，甲队出发后，乙队才出发，设甲队出发t小时，两队间隔的路程为．满足条件的所有t值的和为 ． 【答案】 【详解】解：当乙没有出发，两队间隔的路程为，则; 当乙没有追上甲，两队间隔的路程为，则， 解得； 当乙追上甲，且乙没有到达终点前，两队间隔的路程为，则， 解得； 当乙到达终点后，两队间隔的路程为，则； 综上所述，满足题意的t的值为或或或， ∴满足条件的所有t值的和为， 故答案为：． 【变式5-2】一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时10分钟时也经过C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是______千米/小时，B、C两地的距离是______千米；A、C两地的距离是______千米 (2)求甲车的速度； (3)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【答案】(1)120，260，120 (2)甲车的速度是 (3)乙车出发1小时或小时，两车相距200千米 【详解】（1）解：根据题意，乙车用了10分钟行驶了20千米， 故乙车的速度为：， B、C两地的距离是， A、C两地的距离是， 故答案为：120，260，120； （2）由（1）可知，A、C两地的距离是， 甲车的速度是； （3）设乙车出发x小时，两车相距200千米，根据题意得 ，或， 解得，或， 乙车到达A地用的时间为：， ， 乙车行驶小时，早已到达A地， 此时当甲车距离A地200千米时，两车正好相距200千米， ， 乙出发小时，两车相距200千米， 答：乙车出发1小时或小时，两车相距200千米． 【变式5-3】从甲地到乙地，汽车原需行驶可到达，开通高速公路后，路程缩短了，车速平均每小时增加了，结果只需即可到达．求甲乙两地之间的高速公路的路程． (1)若设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速为______，根据两地前后的路程关系可列方程为______；若设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为______，根据两地前后的速度关系可列方程为______； (2)选择（1）中的一种设元方式解答问题． 【答案】(1)，，，； (2)选择，见解析． 【详解】（1）解：设汽车原来的车速为，则在高速公路上的车速是， 根据题意可得：； 设甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 根据题意可得：； 故答案为：，，，； （2）解：设汽车原来的车速为，则高速公路后的车速是， 由题意得：， 解得：， 甲乙两地之间的高速公路的路程为：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为； 解：甲、乙两地高速公路路程是，则两地原来的路程为， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙两地之间的高速公路的路程为． 类型六、动点问题 【例11】在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． ∵木棒从右端与点重合开始以每秒个单位长度向移动，出发秒后点才出发， ∴木棒移动的总时间为秒，木棒右端表示的数为，木棒左端表示的数为． ∵点从点出发，以每秒个单位长度向移动，移动时间为秒， ∴点表示的数为． 当点在木棒左侧个单位时， ， ， ， 解得． 当点在木棒右侧，距离木棒左端个单位时： ， 解得（舍去，因为）． 综上，． 故选：B． 【例12】如图，将一条数轴在点B，点C，点D，点E处各折一下，得到“折线数轴”．图中点A 表示的数为，点B 表示的数为，点 C表示的数为，点D 表示的数为0，点E 表示的数为8，点F表示的数为12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从点F出发以每秒4个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置则保持初始速度不变． (1)动点P从点A运动到点F需要多少秒？ (2)P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ 【答案】(1)20秒 (2) 【详解】（1）解：由题意得，动点P在段的速度均为2个单位长度/秒，在段的速度为1个单位长度/秒，在段的速度为4个单位长度/秒，， 所以动点P从点A运动至点F需要的时间为（秒） （2）点Q从点F运动到点C用时为（秒）， 点P从点A运动到点B用时（秒）， 当时，点P在上，且距离点C：个单位长度， 所以P、Q的相遇点M在段， 设P、Q相遇时用时x秒， ， 解得：， 则点M所对应的数为． 【变式6-1】如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为 ，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在 ． 【答案】 原点 【详解】解：由题意可得， 经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为： ， 小猫在移动过程中与点之间的距离为：， ∴， 解得：， 此时小猫逮到老鼠的位置是：，即在原点， 故答案为：，原点． 【变式6-2】已知点A在数轴上表示的数是，点B从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着数轴向左运动，点C与点、的距离相等，当运动时间 时，点C与点B的距离为2，此时点表示的数是 ． 【答案】 或； 或 【详解】解：当运动t秒时，B对应的数为． 当时， ∵点C与点、的距离相等， ∴对应的数为：， ∵点C与点B的距离为2， ∴， 解得：， 此时为， 当时， ∵点C与点、的距离相等， ∴对应的数为：， ∵点C与点B的距离为2， ∴， 解得：， 此时为， 故答案为：或；或 【变式6-3】如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，表示点A与点B之间的距离，且满足：． (1)直接写出　　　． (2)若在数轴上存在一点C，且，求点C表示的数； (3)一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点A的运动时间为t秒．请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时t的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设点表示的数为， ①当点在线段上时，则：，解得：； ②当点在线段的延长线上时，则：，解得：； 故点表示的数为或； （3）当小球追上小球甲前：，解得：， 当小球乙追上小球甲时，由题意，得：， 解得：， 此时两个小球所在点表示的数为：， 当小球乙向右移动时，，解得：； 综上：或或 1．如图，在长方形中，cm，cm，点是上的一点，且．点从点出发，以2cm/s的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为18cm2，则的值为（    ） A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 【答案】C 【详解】解：如图1，当点在上，即时，   四边形是长方形， ，． ， ， ； 如图2，当点在上，即时，   ， ． ，． ， 解得：； 如图3，当点在上，即时，   ． ， 解得：（舍去）． 综上所述，当或6时的面积会等于18． 故选：C． 2．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．小敏在该超市两次购物分别付了99元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏需付款 元． 【答案】或344或或376 【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元， 当时，， 当时，， 解得：， 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：消费超过100元但不足350元，这时候小敏是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为y元，那么依题意有， 解得：． 第二种情况：消费不低于350元，这时候小敏是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为元，那么依题意有， 解得：． 即在第二次消费288元的情况下，小敏的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，小敏两次购物的实质价值为或或，或，均超过了350元． 因此均可以按照8折付款： （元）或（元），或（元），或（元）． ∴小敏需付款元或元或、344元或376元． 故答案为：或344或或376． 3．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 【答案】或 【详解】解：设运动时间为t， 当C和F都在线段上时， 由题意得：， 解得； 当C在线段上，F在的延长线上时， 由题意得， 解得 故答案为：或． 4．某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 【答案】加价出售，预计可盈利4500元；这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 【详解】解：每件衬衫进价为30元，加价出售， 则每件衬衫的售价为：（元） 设加价出售，预计可盈利x元， 依题意得：， 解得：， 答：加价出售，预计可盈利4500元． 当这批衬衫售出后，还余下（件）， 设这批衬衫全部售出实际盈利y元， 依题意得：， 解得：， 答：这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 5．（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 【答案】(1)方案一：304000元，方案二：302400元 (2)2 (3) 【详解】（1）解：方案一：厨房收费面积：， 总面积：， 收费：（元）； 方案二：总面积： 收费：（元）； （2）解：卫生间宽为x时， 方案一： 面积为：， 收费：； 方案二： 面积为：， 收费： 令， 解得， 即时两种优惠方案的总金额一样多； （3）解：（元）， 时， ， ． 6．（经济问题）某电影院某日某场电影的票价是：成人票60元，学生票30元，满40人可以购团体票，即票价打九折（不足40人可按40人计算，票价打九折）．某班在4位老师的带领下去电影院看电影，学生人数为x人，学生和老师均须购票．（所有整式运算的结果请化简） (1)如果学生人数不少于36人，请用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ (2)如果学生人数为34人，该班买票至少应付多少元？ (3)用含x的代数式表示该班买票至少应付多少元？ 【答案】(1) (2)1188元 (3)见解析 【详解】（1）解：设学生x人， 该班买票至少应付（元）， 故答案为：； （2）①买34张学生票，4张成人票：（元）， ②买36张学生票，4张成人票：（元）， ，该班买票至少应付1188元； （3）由(2)可得：设学生x人， ， 则时，至少应付（元） 时，购团体票最少，至少应付（元） 时，至少应付（元）． 7．秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元. (2)①； ；②按方案二购买较为合算，见解析；最为省钱的购买方案是：先按方案二购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹，付款元． 【详解】（1）解：设至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元，则 ， 解得：， ∴， 答：至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元． （2）解：①由题意得：按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元； ②当时， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， ， 按方案二购买较为合算； 若两种优惠方案可同时使用，则可先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹， 理由： （元）， ， 最为省钱的购买方案是：先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹． 8．根据国家实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若今年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元． 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元／千瓦时） 不超过150千瓦时 超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 0.65 超过300千瓦时的部分 0.9 (1)上表中，　　　　，若居民乙用电200千瓦时，应交电费　　　　元． (2)若某用户某月用电量超过300千瓦时，设用电量为千瓦时，请你用含的代数式表示应交的电费． (3)试行“阶梯电价”收费以后，该市某户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价为元／千瓦时？ 【答案】(1)； (2)元 (3)某户居民月用电500千瓦时，其当月的平均电价为元／千瓦时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 若居民乙用电200千瓦时，， 应交电费（元）． 故答案为：；； （2）解：当时， 应交的电费（元）； （3）解：设该居民用电x千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时为元， 当该居民用电处于第二档时， ， 解得：（舍去）； 当该居民用电处于第三档时， ， 解得：（舍去）． 综上所述，某户居民月用电500千瓦时，其当月的平均电价为元／千瓦时． 9．在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 10．数轴上点对应的数是点对应的数是1，一只小虫甲从点出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行秒至点，到达点后再立即返回到点． (1)求点对应的数； (2)若小虫甲返回到后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从点出发沿着数轴的负方向以每秒8个单位的速度爬行，当甲乙两只小虫距离3个单位长度时，求小虫乙的运动时间； (3)在（2）的条件下，设甲小虫对应的点为点，乙小虫对应的点为点，线段的中点为M，试判断的值是否改变，若不变，请求出其值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)1.5秒或3秒 (3)不改变，定值为 【详解】（1）解：， 即点对应的数为8； （2）解：设运动时间为， ； ； 综上所述，时间t的值为1.5秒或3秒； （3）解：设运动时间为，则乙行进的路程为个单位长度，甲行进的路程为个单位长度， 则点表示的数点表示得数为， ∴， ①点在点的右侧， ， ； ②点在点的左侧， ， ； 综上所述，的值不改变． 11．已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【答案】(1)，9 (2)玩具小火车的长度为4 (3)点C所表示的数是3或9 【详解】（1）解： ∴， ∴， 故答案为：，9 （2）解：由（1）可知 表示的数是表示的数是9 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为 玩具小火车的长度为4． （3）解：设点所表示的数为，则点表示的数为 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧 只能向右运动，即 当时，有 或 解得：或 点C所表示的数是3或9． 12．小宜跟同学在周末相约去一家餐厅吃饭，下表为此餐厅的部分菜单．小宜记录了大家点套餐的情况；他们所点的套餐中共有11份盖饭，x杯饮料，5份小菜． 种类 配餐 价格/元 优惠活动 A套餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元；消费满300元，减48元……以此类推 B套餐 1份盖饭+1杯饮料 28 C套餐 1份盖饭+1杯饮料+1份小菜 32 数学思考： （1）他们一定共点了______份C套餐；他们共点了______份B套餐；他们共点了______份A套餐（用含x的代数式表示B套餐数和A套餐数） 问题解决： （2）若他们所点的套餐中共有6杯饮料，求他们实际消费的金额． （3）若他们点餐优惠后共花费256元，请求出他们的套餐是如何搭配的？ 【答案】（1），，（2）；（3）他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐，或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐 【详解】解：（1）由题知， 因为饮料只有B，C套餐里面有，小菜只有C套餐里面有， 又因为他们点餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜， 所以他们共点了份B套餐，点了份B套餐． 故答案为：，，． （2）当时，，， 所以他们点了5份A套餐，1份B套餐，5份C套餐， 则套餐的总价为：（元）， 所以他们实际消费的金额为：（元）． （3）由题知，他们点了份A套餐，份B套餐，5份C套餐， 所以套餐的总价为：元． 当消费满150元但不满300元时，， 解得， 则，， 故他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐， 当消费满300元时但不满450元时，， 解得， 所以，， 故他们点了3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 当消费满450元时但不满600元时，， 解得（舍去）． 综上所述：他们点了6份A套餐，0份B套餐，5份C套餐，或3份A套餐，3份B套餐，5份C套餐． 13．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为和12，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)数轴上的点P、Q所表示的数分别是______和______；（用含t的代数式分别表示） (2)当时，求P、Q两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间t使？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)15 (3)或 【详解】（1）解：由题意可得：， 故答案为：，； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：； ∴当时， ∵，，， ∴， ∴ 解得：； 当时， ∴， ∴ 解得：； 综上所述：或． 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$