精品解析：江苏省南通中学2025届高三下学期高三最后一练数学试题

南通中学高三数学最后一练 2025.6.4 一、单项选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 3. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 4. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 5. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ） A. B. C. D. 7. 在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，四边形中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的周期 B. 函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同 C. 若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则 D. 若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，，且，则_______ 13. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 14. 已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时，______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知数列的首项为，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的的最小值； （3）已知，记数列的前项和为，求证：. 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知为椭圆上异于长轴端点的一点，过与轴平行的直线交椭圆的两条准线于点，，直线，交于点. （1）若与的面积相等，求椭圆的离心率； （2）若，. ①求椭圆的标准方程； ②试判断点，，，是否四点共圆，并说明理由. 19. 已知函数，设的图象在处的切线为l：． （1）若，证明：当时，； （2）若有三个零点，，（）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通中学高三数学最后一练 2025.6.4 一、单项选择题:本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分位数求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】由，得， 则展开式中含的项为， 所以所求的系数为. 故选：D 3. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将甲乙和一个空位捆绑放置，再考虑余下辆车的停放方法后可得不同停放方法的总数. 【详解】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 4. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 【答案】B 【解析】 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 5. 已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 6. 若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，求解可得，进而可求得，可求得数列的前4项的和的值. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以， 解得，所以， 所以，所以， 所以， 所以数列的前4项的和的值为. 故选：A. 7. 在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【详解】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 8. 如图，四边形中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则， 由余弦定理可得， 所以，解得． 故选：B． 二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知为复数，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可判断A；根据复数的几何意义即可判断B；举例说明即可判断CD. 【详解】对于A：设， 则， ，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：设， 满足，但，故C错误； 对于D：设，满足， 但，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（ ） A. 函数与有相同的周期 B. 函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同 C. 若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则 D. 若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出的解析式，再根据选项,逐项验证即可得出答案. 【详解】本题考查三角函数的图象和性质．函数的图象向右平移个单位长度得，所以函数与的周期都为，所以选项正确；函数的对称中心为，函数的对称中心为，当时，对称中心可以相同，所以选项不正确；若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则，解得，所以选项正确记，所以函数的图象与直线右边最近两个交点横坐标为和，左边最近两个交点横坐标为和，令，得，所以，所以正确． 故选：ACD. 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D. 【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为， 由，得，则， 由，则的横坐标为，纵坐标为， 且在曲线上，则， 又，即，得，则， 当时，，两式相减得，， 因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 对于A，，A正确； 对于B，由，得 ，B错误； 对于C，正面积， 则，C正确； 对于D，由，得，， 当时，， 则 ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，，且，则_______ 【答案】1 【解析】 【分析】利用服从二项分布结合已知可得，可求得，进而利用二项分布的期望与方差公式求得期望与方差，结合期望与方差的性质求解即可. 【详解】由题意得，， 由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故答案为：1． 13. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可． 【详解】联立，解得，所以. 依题可得，，，即，变形得，, 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 14. 已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且平面，，，，点M在上，当直线与平面所成的角最大时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的半径可求的长度，根据余弦定理可求的长度，故可求的最小值，根据线面角的定义可判断此时线面角为最大. 【详解】 设的外接圆的圆心为，半径为，设的中点为， 外接球的球心为，连接，则平面，， 因为平面，故，故四点共面， 而平面，故，故， 故四边形为矩形. 而，故，故. 在中，， 故，故，故， 故， 因为平面，故为直线与平面所成的角， 当长度最小时，最大值，此时，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：几何体的外接问题，往往需要连接球心与截面圆的圆心，再结合几何体中的线面垂直得到球的半径满足的关系，而线面角的最小问题，往往转化平面图形中关键线段的最值问题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. （1）求关于的线性回归方程； （2）求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】（1） （2）0.99 【解析】 【分析】（1）代入公式，计算出，得到关于的线性回归方程； （2）代入相关系数公式，求出答案. 【小问1详解】 由， 有， 故关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 与的相关系数 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，． （1）求证：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）连接，因为底面是等腰梯形，，，，， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，，，所以，则， 因为，、平面，所以平面， 因此平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得出的值，利用勾股定理推导出，，利用线面垂直的判定定理可得出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）求出的值，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理可得， 因为，，则， 因为四边形为等腰梯形，且，则，， 所以，，， 故为等腰三角形，且， 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 所以，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 所以，取，可得， 所以， 所以. 因此，二面角的正弦值为. 17. 已知数列的首项为，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求满足的的最小值； （3）已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）最小值为 （3） 依题意得，， 则， 又，所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）根据退一相减法可得，再结合累加法可得通项公式； （2）由通项公式代入不等式，可得的范围，即可得解； （3）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证. 【小问1详解】 由已知， 则， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得， 则； 【小问2详解】 由（1）得，且， 即， 化简可得， 又，即， 所以满足的的最小值为； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知为椭圆上异于长轴端点的一点，过与轴平行的直线交椭圆的两条准线于点，，直线，交于点. （1）若与的面积相等，求椭圆的离心率； （2）若，. ①求椭圆的标准方程； ②试判断点，，，是否四点共圆，并说明理由. 【答案】（1）；（2）①； ②，，，四点共圆，理由如下： 由①知：，，. 设过点，，三点的圆的方程为，即. 将代入该方程得：， 过，，三点的圆的方程为：， 将代入该方程左边， 则， 点也在过点，，三点的圆上，从而点，，，四点共圆. 【解析】 【分析】（1）设，，可表示出直线的方程，从而求得点坐标；根据三角形面积相等可构造关于的齐次方程，进而求得离心率； （2）①根据，和椭圆的关系，可求得的值，进而得到椭圆方程； ②设过点，，三点的圆的方程为，代入点坐标可求得方程为；验证可知点坐标满足方程，由此得到四点共圆. 【详解】设，，， （1）由题意得：，. 直线的方程为：，直线的方程为：， 将直线与联立可得：，即点. 与的面积相等， ， ，，即椭圆的离心率为. （2）①，，，， 解得：，，， 以椭圆的标准方程为. ②略 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆离心率和标准方程的求解、四点共圆问题的证明；证明四点共圆问题的关键是能够通过三点坐标确定三点所在圆的方程，进而代入第四个点的坐标，验证其满足方程即可. 19. 已知函数，设的图象在处的切线为l：． （1）若，证明：当时，； （2）若有三个零点，，（）． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）当时，，． 对求导得，则． 所以切线l的方程为，即， 令． 对求导得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以，即，所以当时，． （2）（i）； （ii）由（i）知，且，所以， 由（1）知，当时，，所以， 整理得， 又，所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程，构造，利用导数求解最值即可证明不等式. （2）（i）先确定有零点，然后分和两种情况讨论，利用导数研究其单调性，结合零点个数求解参数范围； （ii）由（i）得，根据（1）的结论得，结合即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），显然有，，． ①若，则恒成立，所以在上单调递增， 所以在上只有一个零点，不符合题意； ②若，令得，记其两根分别为， 则，，所以， 由得，或，由得，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，所以，， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以在上有唯一零点，为， 又，且， 所以在上只有一个零点，从而，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $