第23章 图形的相似 同步训练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

第23章 图形的相似 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在和中，，，，若与相似，则（   ） A．3 B． C．3或 D． 3．如图，在中，延长至点，使，过点作，且．连接交于点．若，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，是斜边上的高线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 6．如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A．8 B．12 C．16 D．18 7．已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 9．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，则的长为 ． 10．如图，已知矩形，，，点R、P分别是，上的点，点E、F分别是，的中点，当点P在上从B向C移动，而点R不动时，若，线段的长是 ． 11．如图，平行四边形中，E是上的一点，且，对角线，交于点O，交于F，交于G，如果平行四边形的面积为30，那么的面积为 ． 12．如图，在梯形中，F为的中点，，若，则 ．    13．如图，D，E分别是等边边上两点，线段将的面积分成相等的两部分．将沿翻折得到，、分别交于点F、G，若，，则长度为 ． 三、解答题 14．下图所示的是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是，广场的坐标是． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系． (2)分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标． 15．如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， (1)若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是直线 下方反比例函数图象上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标． 17．如图，为反比例函数(其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，， 连接 且． (1)求的值； (2)过点作， 交反比例函数 (其中)的图象于点，连接交于点，求的值． 18．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵， ∴当时，， 又，， ∴， ∴； 当时， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 综上， 或， 故选∶C． 3．A 【分析】由外角性质得到，进而由，且，得到，进而由两个三角形全等的判定定理得到，则；再证明，由相似比代值求出，进而由，数形结合即可得到． 【详解】解：是的一个外角， ， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即，解得， ， 则， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查相似求线段长，涉及外角性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理的实际应用、完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 根据两个对应角相等可证，，，再由相似三角形的性质可推得，，，可判断选项、选项、选项的正误；结合勾股定理、完全平方公式即可判断选项． 【详解】解：依题得：， ，， ，， ，，， ，，，则选项、选项错误； ， 即，则选项正确； 中，， 又， ， 即，则选项错误． 故选：． 5．C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 6．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 先证明是的中位线得，再根据菱形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：C． 7．A 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．连接并延长交于点H，由，得，而，，即可根据证明，得，，因为，，所以，由三角形中位线定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，取的中点H，连接，过点N作于K，由菱形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，可得，可求，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接，过点N作于K， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵M、N分别为线段的中点，点H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 9．4 【分析】本题考查的是平行四边形性质及三角形中位线定理，先证明是的中位线，根据三角形中位线定理求出结论即可． 【详解】解：在中，， ， ∵点是的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：4． 10． 【分析】此题考查矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，连接，由矩形的性质得，得到，根据勾股定理求得，而点E、F分别是，的中点，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵点是上的点，且， ∴， ∴， ∵点E、F分别是，的中点， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，过A作于M，求出，证明，可得，同理证明，可得，然后进一步计算即可． 【详解】解：过A作于M，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，   ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半的性质是解题关键． 延长，交延长线于点，根据等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余，得出，得出，通过证明，得出，即可得出为的中位线，根据中位线的性质即可得答案． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点，    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵四边形为梯形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∵， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质等知识，正确找出相似三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再证出，，根据相似三角形的性质可得，，则可得，然后证出，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵线段将的面积分成相等的两部分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 14．(1)见解析 (2)体育场的坐标为，火车站的坐标为，文化宫的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系知识，包括坐标系的建立、点的坐标表示以及如何根据给定的坐标在坐标系中标记点的位置．解题的关键在于准确理解已知点的坐标意义，通过这些点确定坐标系的原点和轴的方向，进而利用坐标系读取或确定其他点的坐标，整个过程需要精确对应横、纵坐标与网格位置，确保每个点的坐标值正确无误． （1）需利用已知超市和广场的坐标确定平面直角坐标系的原点、x轴和y轴的位置，通过坐标的横、纵坐标对应网格位置来构建坐标系； （2）在建立好的平面直角坐标系中，依据各点所在位置对应的横、纵坐标值确定体育场、火车站、文化宫的坐标． 【详解】（1）解：如图所示； ； （2）解：体育场的坐标为，火车站的坐标为，文化宫的坐标为． 15．(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）证明是的中位线，得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）延长，交的延长线于点，证明，推出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵为边上的中点， ∴是的中位线， ， ∵为边上的中点， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， 证明如下： 如图，延长，交的延长线于点， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16．(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，平行线的性质，相似三角形判定与性质，利用面积比求点C坐标是解题关键． （1）利用待定系数法把点代入求一次函数与反比例函数解析式； （2）由轴，可证，可得，利用比例求出点的坐标，利用、两点求解析式，求轴交点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴， ∴一次函数的解析式为：， 将点代入中得， 反比例函数的解析式为：； （2）过点作轴，交直线于点， ∵平行于轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点的纵坐标为2． 即，代入中， ∴点坐标为． 设直线表达式：，把A、坐标代入得 ， 解得， ∴解析式的为：， 当时， ∴点的坐标为． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作交轴于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出可得点坐标，进而即可求解； （）由反比例函数解析式可得，即得，进而由得到，再根据即可求解； 【详解】（1）解：过点作交轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为反比例函数图象上的一点， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$