专题05 相似三角形的经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题05 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，已知，，，若的面积是27，则的面积是（   ） A．9 B．36 C．48 D．52 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，垂足分别为D、E，联结，如果，那么 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，与相交于点E，若，，，则值是（      ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是 ． 3．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）【模型呈现】 （1）如图1，的边与的边在一条直线上，，，，连接、，交于点F． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】 （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．    【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．    【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，相交于点，于，且，，则矩形的面积为 ． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点，分别在边，上，在边上若，，且，则矩形的周长为（     ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点，若与四边形的面积比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，作射线交延长线于点H，连结．若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知四边形为矩形，的长为4，的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，的长为半径作弧，与边交于点E，连接； 第二步：分别以点E、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交于点G、F、H，若点P在上，且满足，则的面积为 ． 3．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：． 【模型迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在边， 上，且，求的值． 【模型应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，求的值． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，将线段绕点顺时针方向旋转，使点落在上的点，为边的中点，连接，交于点．若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果.那么的长等于 ． 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·九年级上统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D．    1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 1．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 2．（2024·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    3．（2024·河南周口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 1．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 2．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 3．（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24·江苏苏州·九年级上校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 2（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024·陕西西安·九年级上校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点是平行四边形边上一点，、延长线交于点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H． 结论：；结论：． 对于结论和，下列判断正确的是（    ） A．正确，不正确 B．不正确，正确 C．和都正确 D．和都不正确 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点．作直线分别交，于点E，K，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，．正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 5．（2024·浙江金华·三模）如图，用两对全等的三角形（，）纸片和正方形纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连接并延长，分别交，于点，，和的面积分别为，，若为的中点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为 ． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点在边上，，点和分别在边和的延长线上，且，如果，那么 ． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 9．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点，若，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在边延长线上，且，连结交于点，与边分别交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有6个； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是 ． 11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，点D，E分别在的边上，且，，求的长． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 14．（2024·云南昆明·二模）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，李老师出示了一个问题：已知正方形，E为对角线上一点．如图1，连接，．求证：． 数学兴趣小组的小明同学作出了回答，解题过程如下： 证明：∵是正方形的对角线， ∴，． 在和中，， ∴（SAS）， ∴． 【建立模型】 该数学小组小菲同学受此问题启发，并提出了如下问题： （1）如图2，若点F也是对角线上的一点，且有（），连接，．求证：四边形是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组在上述探索模型的结论下，发现并提出新的探究点： （2）如图3，若正方形的边长为6，的延长线恰好经过的中点M，请你求出四边形BEDF的面积． 15．（2024·吉林长春·一模）【阅读材料】 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得“三垂直模型”．如图①，在中，，，分别过A、B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为D、E，易证：．（无需证明） (1)【问题探究】如果，其他条件不变，如图②，求证：． (2)【学以致用】如图③，在平面直角坐标系中，，点，点B在第二象限，，求AB所在直线的函数表达式． (3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，，，点E为边BC上一个动点，连结AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连结PC、PD．当为直角三角形时，直接写出BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，已知，，，若的面积是27，则的面积是（   ） A．9 B．36 C．48 D．52 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，先根据证明，则，其中，，，通过适当变形求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ∴的面积是48， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，垂足分别为D、E，联结，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据含角的直角三角形的性质得出，证明，得出，然后证明，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，与相交于点E，若，，，则值是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关键． 先利用得到，求得，然后利用，可证，根据相似三角形的性质可即求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质和中点定义得出，证明，根据相似三角形的面积等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，当时，测得，，点到的距离是，则到的距离是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了点到直线的距离，平行线间的距离，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点O作于M，延长交于N，先证明，再证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”求出，然后由计算即可求解． 【详解】解：过点O作于M，延长交于N，如图， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：64． 3．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）【模型呈现】 （1）如图1，的边与的边在一条直线上，，，，连接、，交于点F． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】 （2）如图2，在矩形和矩形中，，，，连接，，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证；②由①中的结论可进行求解； （2）连接、，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵，，， ， ， ，     ， ， ，， ； ②由①知，，， ； （2）如图，连接、， 在矩形和矩形中，，，， ，     又， ，     ，， ，， ， ， ， ，， ， ． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，点在边上，且，过点作交的延长线于点，那么图中相似三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定及性质；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；由平行条件及已知得；由，得；由，可得；由，，得 ，再由相似的传递性质得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， 由相似三角形的传递性，得； 故有4对相似三角形． 故选：C． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可以假设，则，，利用平行四边形和角平分线的性质可得，即得，，进而得，再利用即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）【模型建立】（1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．①求证：；②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．    【模型应用】（2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）①证明见详解；② （2） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键. （1）①根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证； ②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段，，的数量关系； （2）过点作于，根据等腰直角三角形的性质推出判定，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段，，的数量关系； 【详解】（1）①解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ②； 是等边三角形， ， 点和点关于的对称， ， ， ， （2），理由如下： 如图，过点作于，   点和点关于的对称， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 又是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，相交于点，于，且，，则矩形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．设，则，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得矩形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴，， ∴矩形的面积为， 故答案为：40． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，是高，矩形的顶点，分别在边，上，在边上若，，且，则矩形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，矩形的性质，能够灵活运用比例线段解决本题的关键．由四边形是矩形，是边上的高，，易证，，可得出，，结合，，，可得出，的值，故可得出矩形的周长． 【详解】解：四边形是矩形，是边上的高， ，，， ， ，， ，， ， 又，，， ， ，则， 矩形的周长为， 故选：A． 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， 解得：， 正方形的周长为 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，利用相似比求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：54． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】 （1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点，若与四边形的面积比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得：， ， ， 与四边形的面积比为， ， ， ， 故选：B． 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，作射线交延长线于点H，连结．若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，由勾股定理得出，，由正方形的性质得出，，，，从而得出，，证明，由相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵以为边分别向外作正方形和正方形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知四边形为矩形，的长为4，的长为3，尺规作图过程如下： 第一步：以点C为圆心，的长为半径作弧，与边交于点E，连接； 第二步：分别以点E、C为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧交点的直线分别交于点G、F、H，若点P在上，且满足，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】可证明，在中由勾股定理得，由，可求，而，故，或 ，代入面积公式即可求解． 【详解】解：如图： 由作图得，是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，或 ∴, 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图垂直平分线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确求出是解题的关键． 3．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：． 【模型迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在边， 上，且，求的值． 【模型应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）过点作于点，首先证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （3）过作于点，交的延长线于点，连接，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，进而可得，易知，结合，易得，即可证明，由相似三角形的性质可得，设，则，设，则，结合勾股定理可解得，然后证明，结合相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如下图，过点作于点， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过作于点，交的延长线于点，连接，如下图， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据，，证明，则，，可判断①的正误；如图1，记交点为，交点为，由，可得，进而可判断②的正误；如图1，连接，由勾股定理得，，，可判断③的正误；如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形，求，的长，然后求面积即可，可判断④的正误． 【详解】解：∵矩形和矩形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； 如图1，记交点为，交点为， ∵，， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 如图1，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，③错误，故不符合要求； 如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质 ，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键． 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，将线段绕点顺时针方向旋转，使点落在上的点，为边的中点，连接，交于点．若，，则线段的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】过E点作EF⊥BD于F，根据菱形的性质可知OC＝6，OB＝8，根据勾股定理可以得出BC＝10，所以BH＝10，OH＝2，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形的性质求出OP的长度，最后由OC﹣OP＝PC求得结果． 【详解】解：过E点作EF⊥BD于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴EFAC， ∵AC＝12，BD＝16， ∴OC＝OA＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴BC＝＝10， ∴BH＝AB＝BC＝10， ∴OH＝BH﹣OB＝2， ∵E是BC的中点，EFAC， ∴EF＝OC＝3，OF＝OB＝4， ∴HF＝OH+OF＝6， ∵EFAC， ∴△HOP∽△HFE， ∴ ， ∴， ∴OP＝1， ∴CP＝OC﹣OP＝5． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果.那么的长等于 ． 【答案】 【分析】如图：连接，先证可得，进而说明垂直平分线段，即、可得；然后再证，根据相似三角形的性质列式即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），证明见解析（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】 解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·九年级上统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，    ， ， ， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 1．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，由折叠性质得，，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．求得，并且证明是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 1．（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．（2024·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）发生变化，． 证明：由（1）得，，， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 3．（2024·河南周口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ． 由有，∽， ， ， ， 如图4图5图6，连接EF． 在中，，， ， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 1．（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 【答案】A 【详解】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则 因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， 得△ABC △ADE， 得 ， ， 则， . 故选A. 2．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 3．（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24·江苏苏州·九年级上校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点Q，设，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出（用k表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点Q，设，    ， ∴可以假设，， 点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 由翻折的性质可知， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 2（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 【答案】5或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为16cm2 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，可得当或时，以，，为顶点的三角形与相似，再代入值计算即可． 【详解】（1）解：运动结束的时间为：， ， 由题意知，，， ， 的面积为，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 解得：或， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024·陕西西安·九年级上校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知点是平行四边形边上一点，、延长线交于点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由四边形是平行四边形，可得，，，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ，故A正确，不符合题意； ， ， ，故B错误，符合题意； ， ， ，故C正确，不符合题意； ， ， ， ， ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H． 结论：；结论：． 对于结论和，下列判断正确的是（    ） A．正确，不正确 B．不正确，正确 C．和都正确 D．和都不正确 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，然后证明出，得到，得到，即可判断；然后证明出，进而得到，过点作于点，交的延长线上于点，得到四边形是矩形，然后证明出，得到四边形是正方形，进而可判断． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵M，N分别为，的中点 ∴， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ，故结论错误； ∵，， ，， ， ， ， ， 过点作于点，交的延长线上于点，   ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ∴ ，故正确． 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在正方形中，，点E是边上的一点，，连接，于点M，于点N，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而求出的长，再用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点．作直线分别交，于点E，K，连接．下列四个结论：①；②；③；④若，．正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的作图，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据作图可得是的平分线，垂直平分，进而得到，即可判断①；然后求出，进而得到判断②；然后证明，，即可判断③，然后根据得到，即可判断④． 【详解】解：由作图可得：是的平分线，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； 设，则， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去），故④错误； 综上所述正确的有①②③， 故选B． 5．（2024·浙江金华·三模）如图，用两对全等的三角形（，）纸片和正方形纸片拼成无缝隙无重叠的纸片，连接并延长，分别交，于点，，和的面积分别为，，若为的中点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．延长交于点，根据题意可证明，得到，设正方形的边长为，则，，，设，根据可推出， 进而根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质得到，，进而得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点， 四边形是正方形， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， 设正方形的边长为，则，，，设， ，， 又， ， 整理得：， ， ，， ， ， 即， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．延长，交于点H，首先证明出，得到，然后代数值得到，，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵在梯形中， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：9． 7．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点在边上，，点和分别在边和的延长线上，且，如果，那么 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比的性质，由，设，，，则，由，证明，然后根据性质即可求解，根据相似三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ，， ∵，， ， 解得． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形由四个全等的直角三角形拼接而成，连结交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，如图所示，延长交于点，设，则，根据正方形的性质，全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，求出，证明，求出，证明，求出，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵正方形由四个全等的直角三角形拼接而成， ∴，，，，， ∵， ∴设，则， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在边延长线上，且，连结交于点，与边分别交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有6个； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质，利用证明，判断①，全等三角形的性质，推出，判断②，相似三角形的判定，判断③，等积法求出的长，平行线分线段成比例求出的长，线段的和差关系求出的长，判断④即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴；故①正确； ∴， ∴，即：， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有9个，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，点D，E分别在的边上，且，，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键． 由，证明，可得：，再代入数据求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，经检验：符合题意； 所以的长为8． 12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）利用根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可求解结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ； ， ． （2）证明：，， ， ， ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2）解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 14．（2024·云南昆明·二模）综合与实践 【问题情境】数学活动课上，李老师出示了一个问题：已知正方形，E为对角线上一点．如图1，连接，．求证：． 数学兴趣小组的小明同学作出了回答，解题过程如下： 证明：∵是正方形的对角线， ∴，． 在和中，， ∴（SAS）， ∴． 【建立模型】 该数学小组小菲同学受此问题启发，并提出了如下问题： （1）如图2，若点F也是对角线上的一点，且有（），连接，．求证：四边形是菱形； 【模型拓展】 该兴趣小组在上述探索模型的结论下，发现并提出新的探究点： （2）如图3，若正方形的边长为6，的延长线恰好经过的中点M，请你求出四边形BEDF的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图，连接交于点，根据正方形的性质可得，且，根据线段的和差关系可得，，即可证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得结论； （2）如图，连接，根据正方形的性质可证明，根据相似三角形的性质即可证明，，根据勾股定理求出、的长，根据菱形面积公式即可得答案． 【详解】（1）如图，连接交于点． ∵四边形是正方形， ∴，且． ∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴四边形是菱形． （2）如图，连接， ∵点是的中点， ∴． 由正方形性质可得，， ∴， ∴，即：． ∵， ∴． 在中，由勾股定理可得：， ∴； ∵四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 15．（2024·吉林长春·一模）【阅读材料】 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得“三垂直模型”．如图①，在中，，，分别过A、B向经过点C的直线作垂线，垂足分别为D、E，易证：．（无需证明） (1)【问题探究】如果，其他条件不变，如图②，求证：． (2)【学以致用】如图③，在平面直角坐标系中，，点，点B在第二象限，，求AB所在直线的函数表达式． (3)【拓展应用】如图④，在矩形ABCD中，，，点E为边BC上一个动点，连结AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连结PC、PD．当为直角三角形时，直接写出BE的长． 【答案】(1)见解析； (2)y=-x+； (3)4或2+ 【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得结论； （2）过点B作BN⊥x轴于点N，先证△NBO∽△FOA，可得，可求点B坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 又∵∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°， ∴△ADC∽△CEB； （2）如图，过点B作BN⊥x轴于点N， ∴∠NBO+∠BON=90°, ∵ ∴∠AOF+∠BON=90° ∴∠NBO=∠AOF ∵∠BNO=∠AFO=90° ∴△NBO∽△FOA， ∴， ∵点A（1，2）， ∴OF=1，AF=2， ∵， ∴， ∴NB=，ON=3， ∴点B（-3，）， ∵设直线AB表达式：y=kx+b， ∴ ∴ ∴直线AB的解析式为：y=-x+； （3）当∠CDP=90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H， ∵∠ADC+∠CDP=180°， ∴点A，点D，点P三点共线， ∵∠BAP=∠B=∠H=90°， ∴四边形ABHP是矩形， ∴AB=PH=4， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°， ∴AE=EP，∠AEP=90°， ∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠H=90°，AE=EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS）， ∴BE=PH=4， 当∠CPD=90°时，如图，过点P作PH⊥BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形， ∴CD=NH=4，DN=CH， 设BE=x，则EC=6-x， ∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°， ∴AE=EP，∠AEP=90°， ∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠EHP=90°，AE=EP， ∴△ABE≌△EHP（AAS）， ∴PH=BE=x，AB=EH=4， ∴PN=4-x，CH=4-（6-x）=x-2=DN， ∵∠DPC=90°， ∴∠DPN+∠CPH=90°，且∠CPH+∠PCH=90°， ∴∠PCH=∠DPN，且∠N=∠CHP=90°， ∴△CPH∽△PDN， ∴， ∴ ∴x=2± ∵点P在矩形ABCD外部， ∴x=2±， ∴BE=2+， 综上所述：当BE的长为4或2+时，△DPC为直角三角形． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$