第13章 勾股定理 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第13章 勾股定理 一、单选题 1．下列给出的四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，， 2．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边延长线上的点E处，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一扇高为，宽为的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①长3，宽；②长，宽；③长，宽．可以通过的木板是（   ） A．② B．③ C．②③ D．都不能通过 5．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 8．如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（   ） A．8 B． C．7 D．6 二、填空题 9．如图，四边形、、、、都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为，，，则正方形的边长为 ． 10．如图，在等腰直角三角形中，，，将边绕点A逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长度为 ． 11．如图，在四边形中，，点在线段上，连接，，若，则的长为 ． 12．如图，在中，，，的平分线交于点，，点、分别是边和上的动点，连接、，则的最小值为 ． 13．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E．若，，则的长为 ． 三、解答题 14．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙，则顶端距离地面，求小巷的宽度． 15．如图，在中，，点D、E分别为、上的点，连接、． (1)若，平分，求的长度； (2)若，垂直平分，连接，求证：是等边三角形． 16．如图，在中，边的垂直平分线交，于点E，M，边的垂直平分线交，于点F，N，的周长是14． (1)求的长度； (2)若，，求的面积． 17．如图，在和中，，，，连接、交于点O，与交于点M，与交于点N． (1)试判断、之间的关系，并说明理由； (2)连接、，若，求的值． 18．如图，和均为等腰直角三角形，，，． (1)求证：； (2)若，的周长为12，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键． 根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）． 【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意； C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意； D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，理解勾股定理的定义是解题的关键． 根据勾股定理的定义进行判断． 【详解】解：在中，， 由勾股定理知：． 故选：A ． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解． 【详解】解：在中，，，， ，则， ． 由折叠的性质得， ． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可． 【详解】解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴， 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为， ∵，即， ∴， ∴，即， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，运用等面积法求出DE的长是解题的关键． 根据题意利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：，， 是的垂直平分线，是的角平分线， ， 是的角平分线，， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了勾股定理，算术平方根，由题意可知：，，代入计算正方形的面积，然后利用算术平方根即可求解，熟练勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：，， ∵正方形、、的面积依次为，，， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于H，由“”可证可得，可求，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作于H， ∵将边绕点A逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，根据得出，进而根据证明得出，进而证明，得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查轴对称-最短问题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称和垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 在上取一点，使得，由，推出，推出，推出当，且、、共线时，的值最小，利用面积法求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得， ， ， ， ， ∴当，且、、共线时，的值最小， ∵平分， ， ， ， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 13．10 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得的长． 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，平分交于点E． ∴． 故答案为：10． 14．2.7 【分析】本题考查了勾股定理及其应用，关键在于理解梯子长度在不同情况下保持不变，通过两次应用勾股定理分别计算梯子的长度和梯子底端到右墙角的距离，最终将梯子底端到左墙角和右墙角的距离相加，得出小巷的宽度．先利用勾股定理求出梯子的长度，再通过勾股定理求出梯子底端到右墙角的距离，最后将梯子底端到左墙角的距离与到右墙角的距离相加，得到小巷的宽度． 【详解】解：设梯子底端与右墙之间的距离为． 由勾股定理可知，， ， （负值舍去）， 小巷的宽度为． 15．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定． （1）先由勾股理求出，再根据角平分线的性质得，再由的面积的面积的面积，可求出的长度； （2）先由含30度角的直角三角形的性质得，再由垂直平分得，进而得，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 的面积的面积的面积， 即， ， 解得； （2）证明：在中，， ， 垂直平分， ， ， 又∵， 是等边三角形． 16．(1)14 (2)7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、勾股定理、三角形的内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据角之间的数量关系，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ； 的周长是14， ∴， ； （2）， ， ，， ，， ， ， 又， 的面积为． 17．(1)且 (2)2024 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）利用证明，得，，根据，得，即，即可得； （2）连接，，在中，，则，在中，，则，在中，，则在中，则，即可得，根据即可得． 【详解】（1）解：且，理由如下： ∵， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 且； （2）解：如图所示，连接，， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， 在中，，根据勾股定理得， ， 即， ， ． 18．(1)见解析 (2)面积为 【分析】本题考查了全等三角形和勾股定理，要熟练掌握全等三角形的判定条件（“”、“、”“”、 “”和“”），以及勾股定理（斜边长的平方等于两条直角边平方的和）， （1）通过旋转全等模型，结合判定条件“”得到，因此，对应边相等，即可得证． （2）利用勾股定理求解，由第（1）问，可知，得到为直角三角形，然后，结合题目给出周长和一条直角边的长，即可在中，利用勾股定理构建方程，求得另一条直角边长度，进而得到面积． 【详解】（1）解：证明：依据题意可知，， ， ， ． 在和中， ， ． ． （2）由（）可知，， ，， 为直角三角形， 周长为，且， 由勾股定理可知，， 代入周长和边长得：， 解得：． ． 【点睛】本题的关键是利用全等三角形判定条件“”得到，其次，是在中利用勾股定理构建等式，求解直角边的长． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$