精品解析：2025年广东省广州市天河区清华附中湾区学校中考数学四模试卷

数学学科第20周练习 本问卷共120分 时间120分钟 一、选择题（本题有10个小题，每题3分，满分30分．） 1. 在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 6 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 任意多边形的外角和都是 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 平移不改变图形的形状和大小 5. 若代数式和的值相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4 8. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每题3分，满分18分．） 11. 若代数式有意义时，x应满足的条件是_____． 12. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 13. 已知为有理数，定义新运算：，则_____． 14. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 16. 如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本题有8个小题，满分72分．） 17. 计算： 18. 如图，，，求证：． 19. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 运动时间t/min 频数 频率 4 0.1 7 0.175 a 0.35 9 0.225 6 b 合计 n 1 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的=________，=________，=________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数． 20. 已知抛物线与轴有两个不同的交点， （1）求的取值范围． （2）若为正整数，化简并求值：． 21. 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． （1）单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ （2）结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 22. 人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． （1）如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） （2）如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上取点，以为圆心画圆，使得与边、相切（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 25. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． （1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科第20周练习 本问卷共120分 时间120分钟 一、选择题（本题有10个小题，每题3分，满分30分．） 1. 在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，掌握实数的大小比较方法成为解题的关键． 先求出每个数的绝对值的大小，然后根据实数大小比较的法则比较即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴在，0，，6这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故B选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，同类项的概念，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同类项的概念判断A，根据幂的乘方运算法则判断B；根据同底数幂的除法运算法则判断C；同底数幂的乘法运算法则判断D． 【详解】解：A、、不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故答案为：C． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 任意多边形的外角和都是 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 平移不改变图形的形状和大小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平行四边形和菱形的判定定理及任意多边形的外角和，平移的概念． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故该选项符合题意； B. 任意多边形的外角和都是，原命题是真命题，故该选项不符合题意； C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，故该选项不符合题意； D. 平移不改变图形的形状和大小，原命题是真命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 若代数式和的值相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 6. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示．先求出不等式的解集，然后在数轴上表示其解集进行判断即可． 【详解】解： 解①式得： 解②式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： 故选：B． 7. 如图，是的弦，半径，垂足为D．若，则的直径为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， 半径， ， 设的半径为，则，， 在中， 根据勾股定理， 即， 解得，， 的直径为． 故选：A． 8. 粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得． 故选：B． 9. 已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与轴的交点问题，熟练二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的解析式，可得当时函数值相等，均为0，那么时，点在轴上方抛物线上，点在轴下方抛物线上，即可求解． 【详解】解：由题意得，将代入， 则， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线对称轴为：， 当， 当， ∴当时函数值相等，均为0， ∵，抛物线开口向上， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正弦的定义及勾股定理，分别过点作轴于点，轴于点，，结合反比例函数k的几何意义，求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每题3分，满分18分．） 11. 若代数式有意义时，x应满足的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键．直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得 ， 解得． 故答案为：． 12. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 13. 已知为有理数，定义新运算：，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 14. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式进行计算即可得解． 【详解】解：设这个正多边形是n边形． ∴正多边形的内角和为， ∵一个正多边形的内角都是， ∴，解得， 即这个多边形是八边形． 15. 如图，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的高是_________． 【答案】##40厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解． 首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴圆锥的底面周长为，半径为， ∴扇形的弧长为， 设扇形的半径为r， 则， 解得：， ∴高为： 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，点F为中点，点G为上一点，满足，连接，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，圆周角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造动点的轨迹来解决问题． 连接，根据中点的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得推得，则，根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上运动，取的中点，当，，三点共线时，的值最小，由此可解答． 【详解】解：如图，连接，   是的中点， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， 点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，如图：   当，，三点共线时，的值最小， 四边形是菱形，，， ，， ∴， ∵，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题有8个小题，满分72分．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂、零指数幂，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明结论． 【详解】略 19. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 运动时间t/min 频数 频率 4 0.1 7 0.175 a 0.35 9 0.225 6 b 合计 n 1 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的=________，=________，=________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数． 【答案】（1）14，0.15，40； （2） 补全频数分布直方图如下： （3）约有180人 【解析】 【分析】从频数分布表中得知，频数4占比例为0.1，由此可推出样本容量是40，在求出后，和可随之求出，继而（2）可解决；接下来，从样本去估计总体，就是（3）的结果． 【小问1详解】 n==40 a=40-（4+7+6+9）=14， b= 故= 14 ，= 0.15 ，= 40 【小问2详解】 略 【小问3详解】 被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有9+6=15人，占频率0.225+0.15=0.375， 以此估计全年级480人中，大概有480×0.375=180（名）． 【点睛】本题主要考查了统计和概率，总体和样本；能够准确的根据频数分布表和直方图计算样本和总体的各项数据是解题的关键． 20. 已知抛物线与轴有两个不同的交点， （1）求的取值范围． （2）若为正整数，化简并求值：． 【答案】（1） （2）；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点问题，分式的化简求值． （1）根据二次函数与x轴有两个不相同的交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可； （2）先将化简，结合（1）中的取值范围取到m的值， 代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意：， 解得：； 【小问2详解】 解： ； 由（1）知：， ∵为正整数，且， ∴， ∴， 当时，原式． 21. 陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． （1）单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ （2）结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】（1）单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 （2）9个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； 【小问2详解】 解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 22. 人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． （1）如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） （2）如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， ∵， ∴． 在中，，， ， ． 23. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上取点，以为圆心画圆，使得与边、相切（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，尺规作图---角平分线，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确作出圆的切线是解题的关键． （1）作的角平分线，射线与交点为点，再以点为圆心为半径作圆，即为所求； （2）设与相切于点，连接，则，根据角平分线性质定理可得，由可得，设，则，由勾股定理求出，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与相切于点，连接，则， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； （3）若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）G点坐标为或 （3）Q点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【小问1详解】 解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 25. 如图所示，为等腰三角形，，点是上一点，连接． （1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，，点为中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的外接圆半径的最小值． 【答案】（1）6 （2） 证明：延长至F，使，连接、，如图所示： ∵， ∴为的中垂线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 又∵为斜边的中线为斜边的中线， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可解决本小题； （2）延长至F，使，连接、，证明．从而，．再根据斜边中线定理可证得； （3）过点作直线于点F，由题意可知．由旋转可知，，，证明．得，即F为中点，从而证得点在的中垂线上运动．作的中垂线l，则的外心必在直线l上，设外心为点G，连接、，，当时，最小，即外接圆半径r最小，此时，，，，设，则，，故，在中，由勾股定理得，解得，（不合题意，舍去）． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴是等边三角形， ∴，即的长为6． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作直线于点，如图所示： ∵，，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴． 由旋转可知，． ∴ ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即F为中点， 故在的中垂线上运动． 作的中垂线l，则的外心必在直线l上， 设外心为点G，连接、，， 当时，最小，即外接圆半径r最小， 此时，，，， 设， 则，， 故， 在中，由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）， 故的外接圆的半径r的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中垂线的判定与性质，外心的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $