精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

2026届高三数学入学考试 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 6. 已知，若，则= （　　） A. B. C. D. 7. 已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是R 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 若的图象关于直线对称，则 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实根，，，，且，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量，若，则x=___. 13. 已知，，，则β=_______. 14. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集. 16. 已知函数. （1）若是三角形中一内角且，求的值； （2）若是锐角三角形中一内角且，求的值． 17. 已知函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 18. 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项. （1）若，判断的形状; （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学入学考试 满分：150分，时间：120分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合.若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集定义可得，解出绝对值不等式后可得，计算即可得解. 【详解】由，故， 由，则， 则有，解得，即. 故选：D. 2. 若复数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由，可得. 故选：C. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】将原式整理为，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立. 故选：A. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 6. 已知，若，则= （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直得出，求出，代入原式化简可得答案. 【详解】因为，所以，可得； 即，， 因为，所以解得， 则，故B正确. 故选：B 7. 已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可． 【详解】函数的图象如下图所示： 令，若函数有三个零点， ①方程有一根在上，一根在上， 则，即，解得， ②方程有一根在上，一根等于-1， 则，此时无解， 综上：， 故选：A. 8. 已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A. B. 且 C. D. 不等式的解集是R 【答案】AB 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定系数的关系，即可逐项判断正误. 【详解】解：若不等式的解集是，则方程的两根为，且，故A正确； 所以，则，故B正确； 所以，故C错误； 不等式为，又，所以不等式为，该不等式解集为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 若的图象关于直线对称，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误. 【详解】由，最小正周期，A错； 由，即是对称中心，B对； 由，则，显然在区间上单调递增，C对； 由题意，故，D错. 故选：BC 11. 已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实根，，，，且，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意画出图象，利用数形结合可判断A选项；由韦达定理可得，可判断B选项；结合且，利用基本不等式可判断C选项；由，得，进而利用二次函数的最小值可判断D选项． 【详解】根据题意画出图象，如图所示： 对于A：由图象可得，故A正确； 对于B：因为，是的两个实数根， 所以，即，故B错误； 对于C：因为且，即， 所以，即，，故C正确； 对于D：因为， 所以， 又，因此时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量，若，则x=___. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示可求答案. 【详解】因为，，所以，解得. 故答案为： 13. 已知，，，则β=_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的公式结合即可计算求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以 ， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，关于x的方程有四个不同的实数根转化为两函数图象有四个不同的交点，结合图象再转化为二次函数零点的分步问题进行求解. 【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根， 如图作出函数的图象，结合函数图象，则， 所以直线与曲线有两个不同的公共点， 所以在有两个不等实根， 令， 实数a满足， 解得． 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的定义域； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式，求解可得； （2）根据函数的单调性，由不等式可化为，进而可得，求解可得. 【小问1详解】 由，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 . 不等式可化为. 因为是增函数，所以 解得，故. 故不等式的解集为. 16. 已知函数. （1）若是三角形中一内角且，求的值； （2）若是锐角三角形中一内角且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，然后再进行求值； （2）通过角的变换即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 则 【小问2详解】 由题可得，因为，所以， 所以， 即 17. 已知函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的性质即可求解. （2）化简问题得出，对分三类讨论，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【小问1详解】 依题意，在实数集上恒成立． ①当时，，成立； ②当时，要使原不等式恒成立， 则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问2详解】 不等式， 等价于， 即． ①当时，解原不等式可得或； ②当时，不等式整理为，解得； ③当时，方程的两根为，， （i）当时，因为，解原不等式得； （ii）当时，因为，原不等式的解集为； （iii）当时，因为，解原不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 18. 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项. （1）若，判断的形状; （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）是以为斜边的直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得，再结合已知和余弦定理得，即可判断三角形形状； （2）先根据锐角三角形性质得，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 是与的等差中项，. . . 由余弦定理得：，即， 化简得.，即. .， 是以为斜边的直角三角形. 【小问2详解】 是锐角三角形， ，解得， . 由得，， ，即. 的取值范围为. 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，且，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，转化为恒成立，令，得到， 得出的单调性，求得，结合，即可求得的取值范围； （3）解法一：根据题意，转化为，恒成立，设，得到，令，求得，得到的单调性，得出，求得的最小值，即可求解； 方法二，当时，则，得到必要条件为，转化为证明：当时，，由（2）知在单调递增，得到，只需时，转化为，由，得 ，结合分析法，即可求解. 【小问1详解】 当时，，可得， 则曲线在点处的切线斜率为，且， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由，可得， 因为在区间上单调递增，所以恒成立． 令，则， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又因为，当且仅当，即，解得． 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 解法一：因为，所以题意等价于当时，， 即，整理得， 因为，所以，故题意等价于， 设，可得， 化简得， 令函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在时，取到最小值，即，即， 所以，即，所以当单调递减， 当单调递增，所以的最小值为， 故，即实数的取值范围为. 方法二，先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则，即得到必要条件为， 下证的充分性，即证：当时，， 证明：由（2）可知当时，在上单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 因为，据此可得更精确的范围是， 等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明，可得，等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明，此时，且， 所以，故得证， 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $