精品解析：甘肃省张掖市第一中学2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2025年春学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义，分母中含有字母，逐一判断即可. 【详解】∵分母中不含有字母， ∴A，C，D都不是分式， 故选B. 【点睛】本题考查了分式的定义，熟记分母中含有字母，且字母是指常见的英文字母是解题的关键. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握表示方法是解题关键． 【详解】解：数轴上表示不等式的解集如下： 故选：C． 3. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 4. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可判断． 【详解】A、等式的右边不是多项式的乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； B、，不是因式分解，此项不符题意； C、等式的右边不是乘积的形式，不是因式分解，此项不符题意； D、等式的右边是乘积的形式，且左右两边相等，是因式分解，此项符合题意； 故选：D． 5. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理解答． 根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、D的正误． 【详解】解：A、由，可得，能判定是直角三角形，不符合题意； B、由，得出，不能判定是直角三角形，符合题意； C、由，得出，能判定是直角三角形，不符合题意； D、由，可得是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 7. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，理解题意，熟知分式的基本性质并进行化简是解题关键． 根据分式的基本性质进行化简，即可解答． 【详解】解：， ∴扩大后分式的值扩大3倍． 故选：A 8. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， ①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； ②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握平方的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键． 9. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根问题，解分式方程得出，再由分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：解分式方程得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：D． 10. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取的中点M，连接、、，作于N．首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当点G在点N时，的最小，即的最小值为的长，此时也最小， ∴最小值为，的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 12. 若点和关于x轴对称，则的值是__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标的特征，可得a，b的值，再代入，即可求解． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：2025 13. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，首先证明，根据点坐标即可推出点坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵点坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故答案为：． 14. 已知，，则多项式的值为________． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查因式分解和代数式求值，将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， 上式， 故答案为：88． 15. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 16. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC，则∠A＝________________ °． 【答案】36 【解析】 【详解】∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵AB的垂直平分线MN交AC于D点． ∴∠A＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠C＝2∠A＝∠ABC， 设∠A为x， 可得：x+x+x+2x＝180°， 解得：x＝36°， 故答案为36． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案． 三、解答题：（共96分） 17. 分解因式 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）先提出公因式4，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）先提出公因式y，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 解下列分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）去分母将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可； （2）去分母将分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 19. 先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，分式有意义的条件，运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先通分计算括号里的，然后进行除法运算可得化简结果，根据分式有意义的条件可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 由题意知，，， 解得，， 将代入得，原式． 20. 解不等式组，并求出其最小整数解． 【答案】，其最小整数解为3 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组解集的求法．先求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即不等式组的解集，最后找到不等式组解集中的最小整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其最小整数解为3． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为：． （1）将经过平移得到，若点C的对应点的坐标为，则点A，B的对应点，的坐标分别为__________，_________； （2）在如图的坐标系中画出与关于原点O成中心对称的； （3）在坐标系中，若将绕点O逆时针旋转90度后得到，则的坐标为___________． 【答案】（1） （2）见解析 （3）图形见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用点C和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点，的坐标，再描点即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到点A，B，C的对应点，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出点A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向左平移2个单位长度，再向上平移6个单位得到， ∵， ∴点，的坐标分别为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求， 的坐标为． 故答案为： 22. 如图，点E在的边的延长线上，且，连接，交于点F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键．由平行四边形的性质可得，进而得到，再结合可证，然后利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个．求第一次每个笔记本的进价是多少？ 【答案】第一次每个笔记本的进价是4元． 【解析】 【分析】设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元，利用数量=总价÷单价，结合第二次购进数量比第一次少了20个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设第一次每个笔记本的进价是x元，则第二次每个笔记本的进价是1.25x元， 依题意得：， 解得：x=4， 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意． 答：第一次每个笔记本的进价是4元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，四边形为平行四边形，为的中点，连接并延长交 的延长线于点． （1）求证：△≌△； （2）过点作于点，为的中点．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）CH⊥DG，见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AB‖DC，则可求出∠BAE=∠CFE，结合题目条件可证得结论； （2）由（1）可证得CF=CD，可得CH为三角形DFG的中位线，则可得CH‖AF，可证CH⊥DG． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB‖DC， ∴∠BAE=∠CFE， ∵E为BC的中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△FCE中： , ∴△ABE△FCE（AAS）； （2）解：CH⊥DG， 理由如下：由（1）得△ABE△FCE， ∴AB=CF， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD， ∴CF=CD， ∴C为FD的中点， ∵为的中点， ∴CH为△DFG的中位线， ∴CH‖AF， ∵DG⊥AE， ∴∠DHC=∠DGF=90°， ∴DG⊥AE． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，三角形全等和中位线，其中第二问证明中位线是关键． 26. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 27. 我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 【答案】（1）；1；（2）；（3）4042；（4）7或8或13 【解析】 【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可； （2）由，结合“最佳分解”的定义即可得出答案； （3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可； （4）根据题意可设，且t为正整数，可得，再由t，x均为正整数，，然后分类建立方程组求解即可． 【详解】解：（1）20可以分解成，或，因为， 所以是20的最佳分解， 所以； 36可以分解成，，，或，因为， 所以是的最佳分解， 所以； 故答案为：；1； （2）∵，且， ∴； 故答案为：； （3）∵ ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴x的值为4042； （4）∵， ∴可设，且t为正整数， ∴， ∴， ∵t，x均为正整数，， ∴或或或或 ∴（舍去）或或（舍去）或或， ∴所有x的值为7或8或13． 故答案为：7或8或13 【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出，建立方程是求解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期末考试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 保持不变 D. 无法确定 8. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 9. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 10. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接，点为的中点，点为的中点，连接．则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 若点和关于x轴对称，则的值是__________． 13. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，则顶点B的坐标是______． 14. 已知，，则多项式的值为________． 15. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 16. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC，则∠A＝________________ °． 三、解答题：（共96分） 17. 分解因式 （1） （2）． 18. 解下列分式方程 （1） （2） 19. 先化简，再从，0，1中选取一个适合的数作为a的值代入求值． 20. 解不等式组，并求出其最小整数解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为：． （1）将经过平移得到，若点C的对应点的坐标为，则点A，B的对应点，的坐标分别为__________，_________； （2）在如图的坐标系中画出与关于原点O成中心对称的； （3）在坐标系中，若将绕点O逆时针旋转90度后得到，则的坐标为___________． 22. 如图，点E在的边的延长线上，且，连接，交于点F，求证：． 23. 某文具店第一次用400元购进胶皮笔记本若干个，第二次又用400元购进该种型号的笔记本，但这次每个的进价是第一次进价的1.25倍，购进数量比第一次少了20个．求第一次每个笔记本的进价是多少？ 24. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 25. 如图，四边形为平行四边形，为的中点，连接并延长交 的延长线于点． （1）求证：△≌△； （2）过点作于点，为的中点．判断与的位置关系，并说明理由． 26. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 27. 我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． 【探索规律】 （1）__________；__________； （2）若x是正整数，猜想__________． 【应用规律】 （3）若，其中x是正整数，求x的值； （4）若，其中x是正整数，尝试直接写出所有x的值__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $