15.1.2 线段的垂直平分 第2课时 线段的垂直平分线的有关作图 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 15.1.2 线段的垂直平分 第2课时 线段的垂直平分 线的有关作图 第十五章 · 轴对称 线段的垂直平分线的有关作图 知识目标 1.理解并掌握用尺规作线段的垂直平分线的方法；明确轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的定义及性质；学会过直线外一点作已知直线的垂线的步骤。 2.知道上述作图过程所依赖的几何定理。 能力目标 1.通过动手实践，熟练完成指定条件下的尺规作图任务，提升空间想象与精准绘图技能。 2.基于已学知识分析作图可行性，解释每一步设计的数学原理，培养从条件到结论的严谨思维习惯。 素质目标 1.树立“有理有据”的探究意识，尊重数学规律，反对盲目猜测；通过验证作图结果是否符合预期，形成批判性思维。 2.欣赏轴对称在生活中的应用美，激发创造性地运用对称原理进行图案设计的兴趣。 教学难点 教学重点 尺规作图的具体方法（尤其是垂直平分线、对称轴、过定点垂线的标准化步骤） 理解作图背后的几何本质 知识讲解 03 对应练习 05 情景创设 01 课堂小结 07 例题讲解 04 链接中考 06 新知探索 02 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：线段的垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵直线 l⊥AB，垂足为 C， AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 几何语言： P A B l C 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ∵直线 l⊥AB，垂足为 C， AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 几何语言： P A B l C 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 不用一颗钉子，全靠木头咬合！古人如何做到千年不倒？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 传统木构建筑中的榫卯与梁架中心定位 中国传统木构建筑营造技艺（如北京四合院、徽派民居）是世界非物质文化遗产。其核心是榫卯结构和梁架体系，工匠们不需一钉一铆，仅凭木材间的凹凸结合便能建造出稳固抗震的建筑。在制作横梁等构件时，精准找到木材的中点是确保榫眼对称、受力均匀、结构稳定的关键第一步。 榫卯 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 传统木构建筑中的榫卯与梁架中心定位 中国传统木构建筑营造技艺（如北京四合院、徽派民居）是世界非物质文化遗产。其核心是榫卯结构和梁架体系，工匠们不需一钉一铆，仅凭木材间的凹凸结合便能建造出稳固抗震的建筑。在制作横梁等构件时，精准找到木材的中点是确保榫眼对称、受力均匀、结构稳定的关键第一步。 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 小小鲁班传人 师傅给了一根长24cm（代表古建中的一段微型横梁），需要在其正中心开一个榫眼，以便与另一根垂直的梁（柱子）完美卯合。 你能精准的找到中点吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 列举实例，复习旧知 探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。 A B 找所连线段的垂直平分线 分析: 方法一: 折叠法; 方法二: 尺规作图法。 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 列举实例，复习旧知 探究:已知两个点A、B关于某条直线成轴对称，如何作出这条直线的对称轴。——尺规作图法 A B 我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. 分析问题，寻找对应 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B M N 可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线. 理由：因为点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线． 分析问题，寻找对应 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分组尝试 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例1 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 线段的垂直平分线的有关作图 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 ►作对称轴 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了. 任意找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 1.如果两个图形成轴对称，怎样作出对称轴？　　　 A A' l 线段的垂直平分线的有关作图 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 ►作对称轴 2.对于轴对称图形，怎样作出对称轴？　　　 任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴. A A' l 你能作出这个五角星的所有对称轴吗？ 线段的垂直平分线的有关作图 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 ►作对称轴 2.对于轴对称图形，怎样作出对称轴？　　　 任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴. 你能作出这个五角星的所有对称轴吗？ 五角星有五条对称轴． 线段的垂直平分线的有关作图 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 利用线段的垂直平分线的作法画对称轴： 1 找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点； 2 连：连接这对对称点； 3 作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 作出下列图形的一条对称轴． 例2 A B A B 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 例3 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 分析：假设所求作直线已经作出， 则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. 先确定这两点 在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 解：(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E. E D 由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上. 因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 解：(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F. E D (3)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. F 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例5 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 . 已知：直线 AB 和 AB 上一点 C(如图). 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. 解：(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E； (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F； A B C D E F (3)作直线 CF. 直线 CF 就是所求作的垂线. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 （1） （2） （3） （4） 1. 如图，与图形（1）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2. 如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点 E 和点 F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧，两弧相交于 G，H 两点，作直线 GH，交 EF 于点 O，连接 AO，则下列结论正确的是（ ） A. AO 垂直平分EF B. GH 垂直平分EF　　 C. GH 平分AF D. 以上都不对 B 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线． 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图： 则正确的配对是（　　） A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ D ① ② ③ ④ 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴. 链接中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 （2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为( ) A.7 B.14 C.17 D.20 [答案]C [详解]解:由作图可得:MN是AB的垂直平分线， ∴DA=DB, ∵AD=DB=4，C△ADC=AD+AC+DC=4+AC+DC=10, ∴AC+DC=6，C△ABC=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=AB+AD+DC+AC=7+4+6=17,故答案为:17 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 明确轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的定义及性质 学会过直线外一点作已知直线的垂线的步骤 掌握用尺规作线段的垂直平分线的方法 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 线段垂直平分线的尺规作图 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 利用线段的垂直平分线的作法画对称轴： 1 找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一对对称点； 2 连：连接这对对称点； 3 作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴． 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线 . A B C E D F A B C D E F 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P69习题 15.1：10、12题. B层：P69习题 15.1：11题. 下 课 $$