精品解析：陕西省安康市高新区第一初级中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

试卷类型A 安康市八年级期中检测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 与最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①② D. ②③ 6. 如图，在中，，，平分交边于点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 10. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________． 11. 如图，在菱形中，O是对角线，的交点，E是边的中点，若，，则______． 12. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为______． 13. 如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 在中，，，，求的长． 17. 如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图，在四边形中，，，，，．求点C到边的距离． 19. 如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 20. 已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，，连接，，．请判断的形状并说明理由． 22. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，请分别求菱形的面积和周长． 23. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． （1）写出它们的共同点．（写出两条即可） （2）当时，求的值． 24. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接． （1）求证：． （2）当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 25. 如图，在中，，为中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）给再添加一个条件，使得四边形为正方形．请写出添加的条件并说明理由． 26. （1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处． ①求证：． ②若，，求折痕的长． （2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型A 安康市八年级期中检测卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 与最接近的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是2； 故选：B． 2. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，综合后即可求出的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴且， 故选：． 3. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等可得出的度数． 【详解】解：由平行四边形的性质得：． 故选：C． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘除和加减运算法则计算即可求解． 【详解】解：A．，本选项符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C．，本选项不符合题意； D．，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的性质．根据菱形，正方形，矩形，平行四边形的性质对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：①正方形对角线一定相等，正确； ②矩形对角线一定相等，正确； ③菱形对角线不一定相等，不正确； ④平行四边形对角线不一定相等，不正确； 综上所述，对角线一定相等有①②． 故选：C． 6. 如图，在中，，，平分交边于点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，再证明为等腰三角形，易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，图形的折叠问题．由折叠的性质得：，再结合矩形的性质可得，从而得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 8. 我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的三线合一性质求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键． 11. 如图，在菱形中，O是对角线，的交点，E是边的中点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和中位线的性质，根据菱形的性质可知，，因此可求出菱形的边长，又因为E是边的中点，所以是的中位线，，即可求出的长． 【详解】由菱形可知，，， 在中，， 又E是边的中点， 是的中位线， , 故答案为：． 12. 如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 13. 如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，涉及平行四边形判定与性质，最短路径等问题，解题的关键是作辅助线，把的长转化为的长． 过E作交于G，连接，可知四边形是平行四边形，故，，根据勾股定理求出，而，知最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，即可得的最小值为5． 【详解】解：过E作交于G，连接，如图： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小时，最小，此时E在线段上，最小值为的长，如图： ∴的最小值为5； 故答案为：5． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和零指数幂．根据平方差公式展开括号，利用二次根式的性质和零指数幂的法则计算，再求和即可． 【详解】解： 16. 在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理求解三角形，二次根式的混合运算，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 17. 如下图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ． 又，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据角相等得到平行关系，再根据三角形内角和定理得到角相等，进而得证． 【详解】略 18. 如图，在四边形中，，，，，．求点C到边的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接，过点C作，垂足为E，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，最后根据等积法求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，过点C作，垂足为E． 在中， ，即， ， 在中， ，，， ， ∴是直角三角形﹐， ， ． 19. 如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线，在上取点，以点为圆心，长为半径交于另一点，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交于点，则点即为所求． 【详解】略 20. 已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 解：如下图，连接， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 21. 如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，，连接，，．请判断的形状并说明理由． 【答案】解：为直角三角形，理由： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，理解并掌握勾股定理及其逆定理的知识是解题关键．根据勾股定理解得，，，易得，即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，请分别求菱形的面积和周长． 【答案】菱形的面积为1，周长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识，先利用菱形的性质求出，，然后利用勾股定理求出，最后利用菱形的性质求出周长和面积． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴菱形的面积． ，，， ∴， ∴菱形的周长为． 23. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数．观察下面表格中左栏给出的三个正整数． 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 ．．． ．．． 15，， ．．． ．．． （1）写出它们的共同点．（写出两条即可） （2）当时，求的值． 【答案】（1） 解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和数字规律的探寻，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则． 有，解得， ，． 24. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接． （1）求证：． （2）当，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴． （2）当，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，矩形的判定： （1）由平行四边形的性质得到，进而得到，据此利用即可证明． （2）根据（1）所求可得，则四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当，四边形是矩形，理由如下： 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 25. 如图，在中，，为中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）给再添加一个条件，使得四边形为正方形．请写出添加的条件并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 当时（也可填或或），四边形是正方形，理由如下： ∵，为中线， ∴，即， ∵由（1）可知四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可知，可证明四边形为平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”证明结论即可； （2）当时，四边形是正方形．因为当时，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即，然后根据“有一个角为直角的菱形是正方形”即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了菱形得判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 26. （1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处． ①求证：． ②若，，求折痕的长． （2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】 （1）①证明：将矩形沿直线翻折﹐点恰好落在点处， ， ， ， ， ； ②； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的性质． （1）①根据折叠的性质可得，根据矩形的性质可得，推出，得到，即可求证； ②过点作，垂足为，由折叠的性质可得，，根据勾股定理求出，进而求出，证明四边形ABFH是矩形，得到，，可求出，最后根据勾股定理即可求解； （2）分为两种情况讨论：当时，当时，根据矩形的性质和折叠的性质求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②如图1，过点作，垂足为， 将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处， ，， ， ， 解得：， ， ， 由①可得， ， 四边形ABFH是矩形， ，， ， ， （2）的值为或． 理由：①如图2，当时， ， ，， 过点作于点， 四边形为矩形， ，， ， ． ∵将矩形沿折叠， ，，， ， ； ②如图3，当时， ，， 过点作于点，同理可得，， ， 同理可得，，， ， ； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $