精品解析： 广东省中山市广东博文学校2024-2025学年八年级下学期数学月考（3月）试题

2025年广东省中山市广东博文学校八年级下学期数学月考（3月） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 6. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ） A. 34 B. 25 C. 20 D. 16 9. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 10. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 当时，二次根式的值为_________． 13. 若与最简二次根式可以合并，则______． 14. 一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则这个三角形第三边的长为________． 15. 的倒数是____． 16. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是___________． 三、解答题（共3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．求证：是直角三角形． 四、、解答题（共2小题，每小题8分，共16分） 20. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． （1）动点运动秒后，求的周长； （2）当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 五、解答题（共1小题，共12分） 22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中山市广东博文学校八年级下学期数学月考（3月） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选B． 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 据此逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：A．原式，故A不是最简二次根式； B．是最简二次根式，故B正确； C．原式，故C不是最简二次根式； D．原式，故D不是最简二次根式； 故选B． 3. 下列选项中的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故答案为：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．据此逐项判断进而即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，点在数轴上表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，即可求出点A所表示的数． 【详解】解：如图所示， ， 由图可知， 所以点A到原点的距离为， 故点A所表示的数是． 故选：A 【点睛】本题考查勾股定理以及在数轴上表示无理数的方法，掌握解答的方法是关键． 7. 如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，，则正方形的面积为（ ） A. 34 B. 25 C. 20 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于，如图，证明得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积． 【详解】解：作轴于，如图， ，， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 正方形的面积为25． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 9. 若，则表示实数的点会落在数轴的（　　） A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：，即， ， ， ，即， 故实数的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 10. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 当时，二次根式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 13. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， 与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 14. 一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则这个三角形第三边的长为________． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意5可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当3，5是两条直角边时， 第三边； 当3是直角边，5是斜边时， 第三边． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用分类讨论的数学思想求解． 15. 的倒数是____． 【答案】． 【解析】 【分析】由倒数的定义可得的倒数是，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案． 【详解】∵． ∴的倒数是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分母有理化的知识与倒数的定义．此题比较简单，注意二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． 16. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式与绝对值的化简，解题关键在于利用数轴判断式子的正负．先判断，，然后根据二次根式与绝对值的化简规则对原式进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．原式提公因式，再利用，，求代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 如图，连接四边形的对角线，已知，，，，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明∶， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】根据勾股定理得出，再进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】略 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出，进而利用勾股定理的逆定理解答． 四、、解答题（共2小题，每小题8分，共16分） 20. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 21. 如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． （1）动点运动秒后，求的周长； （2）当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，进而当动点运动秒后可得，，再利用勾股定理求出即可求解； （）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 五、解答题（共1小题，共12分） 22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】（1）B （2） （3）x=-1 【解析】 【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可． 【小问1详解】 解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； 【小问2详解】 由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴； 【小问3详解】 令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $