精品解析：2025年重庆八中宏帆中学校小升初自主招生数学试题

2025年重庆八中宏帆中学校小升初自主招生数学试题 一、计算（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 计算：； 2. 计算：； 3. 计算：． 4. 计算：； 5. 计算：； 6. 计算：； 7. 计算：． 8. 计算： 二、填空（本大题共15个小题，每小题3分，共45分） 9. 把和的糖水混在一起，想配成的糖水，可是不小心把比例弄反了，请问配错了的糖水的浓度是_____． 10. 将一个正方体的表面染上红色后切成若干个同样的小正方体，且存在两面涂色的小正方体，若一面涂上红色的与两面涂上红色的小正方体的个数一样多，则表面全部没有染上红色的小正方体有______个． 11. 已知是三个最简真分数（a、b、c可以相同），如果每个分数的分子加上，分母不变，得到三个新分数的和是，那么______． 12. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过________分钟． 13. 52根香蕉喂12只猴子，每只猴子至少都会分得一根香蕉，但是猴王分得的香蕉是最多的，则猴王最少分得______根香蕉． 14. 1980与正整数a的乘积是某个自然数的平方，则a的最小值是______． 15. 已知a、b、c均为非零自然数互不相等），且，则_____． 16. 小王有10万元积蓄，他在同一天分别存入两家银行．在A银行存入了5万元，“整存整取”，定期1年（年利率）；在B银行存入5万元，“大额存款”定期也是一年（年利率为）．银行规定：整存整取到期不取，按最初本金计算，超期时间按活期利率（年利率）计算，大额存款到期不取超期时间不计利息．小王因故没有按时取款，结果同一天去取两笔存款时，所得利息相同，那么小王超过了______天才去取款（一年按照360天计算）． 17. 年卡塔尔世界杯在今年冬天举行，吸引了全世界的目光．某学校初三年级有个班也组织了一次足球联赛，比赛规则如下：每个班都与其他班级比赛一场，每场比赛中获胜的班级获得个积分，平局两个班各获得个积分，输掉比赛获得积分．已知其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数，则参加此次比赛一共有______个班级． 18. 一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”，例如：1331、7、202、66都是“回文数”，而220则不是“回文数”，请问，从一位到六位的“回文数”一共有______个．其中第1997个“回文数”是______． 19. A地在河的上游，B在下游，若船从A地开往B地速度为，从B地返回A地速度为，则A、B两地往返一次的平均速度为______．（用含和的代数式表示） 20. 如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为______． 21. 直角三角形的三边分别为，垂直于，且，正方形的边长是（ ） 22. 如下所示，在直角三角形里面裁剪一个正方形，剩下两个三角形，已知，，则图中阴影部分的面积为______． 23. 如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中、都是两位数，A、B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程称为“合分解”．例如：和29的十位数字相同，个位数字之和为是“合和数”．又如：和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于不是“合和数”．根据题意，则168______“合和数”，621______“合和数”（填“是”或“不是”）；把一个四位“合和数”进行“合分解”，即的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为，的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被4整除时，所有满足条件的的值有______． 三、应用（本大题共5个小题，1－4题每小题6分，5小题7分，共31分） 24. 甲、乙、丙三根铁棒竖直地插在水池中，三根铁棒的长度之和是，并且甲铁棒有露在水面外，乙铁棒有露在水面外，丙铁棒有露在水面外．那么，水池中的水有多深？ 25. 某汽车专卖店销售两款新能源汽车，上周出售1辆A款和3辆B款，销售额为96万元；本周出售2辆A款和1辆B款，销售额为62万元．问． （1）A、B两款分别价值多少钱？ （2）若A款价格上涨，B款上涨，则同时购买一辆A款和一辆B款的费用比涨价前多了，求的值． 26. 将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015的个位数字之后，得到个新数20153；将新数的十位，百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字之后，得到201536；再操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数位上的数字之和等于几？ 27. （行程问题）已知甲从A到B，乙从B到A，甲、乙两人行走速度之比是，如图所示M是AB的中点，离M点26千米处有一点C，离M点4千米处有一点D，谁经过C点都要减速，经过D点都要加速，现在甲、乙两人同时出发，同时到达，求A与B之间的距离是多少千米？ 28. 某运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用时间是多少分钟？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆八中宏帆中学校小升初自主招生数学试题 一、计算（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四则运算、分数的通分与约分，熟练掌握四则运算的法则是解题的关键． 根据运算顺序与相关运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数的混合运算，将和转化为和，利用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解：原式 ． 3. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了整数的加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 原式除去第一项，后面各项两两结合进行计算，利用化为相反数两数之和为0计算，即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 4. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数的混合运算，根据前面括号内每一项都是后面括号内对应位置的3倍求解即可． 【详解】解： ． 5. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分数的简便运算，根据分子比分母大2先化简，再利用裂项相消法求解即可． 【详解】解： ． 6. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先观察发现，，，，则式子可以变形为，则可得，然后将括号内的每一项拆分成两项的差，由此即可得． 【详解】解：观察发现，，，， 则原式 ． 7. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索．先将原式化成，然后将括号内的每一项拆分成两项的差，由此即可得． 【详解】解： ． 8. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据平方差公式进行巧算． 【详解】 二、填空（本大题共15个小题，每小题3分，共45分） 9. 把和的糖水混在一起，想配成的糖水，可是不小心把比例弄反了，请问配错了的糖水的浓度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比的知识，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出浓度为20%和30%的两种糖水溶液的质量比，再根据糖水的质量比求得配出的糖水浓度． 【详解】解：糖水质量比：， 配出糖水的浓度是: ， ， ， ． 故答案为： ． 10. 将一个正方体的表面染上红色后切成若干个同样的小正方体，且存在两面涂色的小正方体，若一面涂上红色的与两面涂上红色的小正方体的个数一样多，则表面全部没有染上红色的小正方体有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查正方体的性质，解一元二次方程，正方体每边分为n段，分别表示出一面和两面有红色的个数，列出方程求解即可． 【详解】解：设正方体每边分为n段， 一面有红色的个数是， 两面有红色的个数是， 则， 解得或（舍去）， 所以表面全部没有染上红色的小正方体有， 故答案为：8． 11. 已知是三个最简真分数（a、b、c可以相同），如果每个分数的分子加上，分母不变，得到三个新分数的和是，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分数的巧算，根据题目的特点先求出的值是解题的关键． 根据题意可求出、的值，据此分析解答即可． 【详解】解：由题意知：是最简分数，则， 同理可得：或，或， ∴有， ， ， ， 化简得：， 当时，； 当时，（舍去）； 综上所述，． 故答案为：1 ． 12. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过________分钟． 【答案】120 【解析】 【分析】 【详解】【分析】根据细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，则n小时后，分裂到22n个，从而列方程求解． 设经过n小时， 根据题意，得22n＝16， 2n＝4， n＝2． 2小时＝120分钟， 故答案为：120． 13. 52根香蕉喂12只猴子，每只猴子至少都会分得一根香蕉，但是猴王分得的香蕉是最多的，则猴王最少分得______根香蕉． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了鸽巢问题（抽屉问题），正确理解相关知识是解题的关键． 【详解】解：（根）……4根， 则至少有一只猴子可以拿到：（根）， 但是猴王分得的香蕉是最多的， 则猴王至少分得：（根）． 故答案为：6． 14. 1980与正整数a的乘积是某个自然数的平方，则a的最小值是______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了分解素因数，将1980正确分解素因数是解题的关键． 将1980分解素因数得到即可求解． 【详解】解：， ∵1980与正整数a的乘积是某个自然数的平方， ∴自然数的最小值为55， 故答案为：55． 15. 已知a、b、c均为非零自然数互不相等），且，则_____． 【答案】10或24或138 【解析】 【分析】本题考查分解质因数．本题先将540分解质因数，再根据a、b、c均为非零自然数且互不相等，结合来确定a、b、c的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，a、b、c均为互不相等非零自然数， 而或或或， ∴，，或，，或，，或，，， ∴或或或， 故答案为：10或24或138． 16. 小王有10万元积蓄，他在同一天分别存入两家银行．在A银行存入了5万元，“整存整取”，定期1年（年利率）；在B银行存入5万元，“大额存款”定期也是一年（年利率为）．银行规定：整存整取到期不取，按最初本金计算，超期时间按活期利率（年利率）计算，大额存款到期不取超期时间不计利息．小王因故没有按时取款，结果同一天去取两笔存款时，所得利息相同，那么小王超过了______天才去取款（一年按照360天计算）． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了百分数的应用，设小王超过了天才去取款，根据同一天去取两笔存款时，所得利息相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小王超过了天才去取款，由题意得： ， 解得：； 故答案为：120． 17. 年卡塔尔世界杯在今年冬天举行，吸引了全世界的目光．某学校初三年级有个班也组织了一次足球联赛，比赛规则如下：每个班都与其他班级比赛一场，每场比赛中获胜的班级获得个积分，平局两个班各获得个积分，输掉比赛获得积分．已知其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数，则参加此次比赛一共有______个班级． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知本次比赛一共进行了场比赛，并且可知每一场比赛都有个积分，所以共有个积分，再根据其他所有班级积分的平均数为整数，判断班级的数目即可． 【详解】解：由题意可知：一共进行了场比赛， ∴共有个积分， ∵其中有个班一共得了个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数， ∴为整数， ∵ ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴当时，为整数， ∴参加此次比赛一共有个班级， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式及求平均数，根据题目意思用代数式表示出剩余其他班级积分的平均数是解答本题的关键． 18. 一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”，例如：1331、7、202、66都是“回文数”，而220则不是“回文数”，请问，从一位到六位的“回文数”一共有______个．其中第1997个“回文数”是______． 【答案】 ①. 1998 ②. 998899 【解析】 【分析】本题考查数位及新定义，本题根据“回文数”数的特点及数位知数和数位知识进行分析即可． 【详解】解：一位数，有9个（）， 两位数，有9个（11，22，3399） 三位数，个，（101，202，，909，111，，999） 四位数，个（1001，，9999） 五位数，个（10001，90009，11011，99099，99999） 六位数，个（100001，，999999） 共有：个， 第1997个“回文数”是：998899． 故答案为：1998；998899． 19. A地在河的上游，B在下游，若船从A地开往B地速度为，从B地返回A地速度为，则A、B两地往返一次的平均速度为______．（用含和的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，根据平均速度总路程总时间来解答． 【详解】解：设，两地的距离为S，则往返一次行驶的总路程为， 总时间为：， 因此往返一次的平均速度为：， 故答案为：． 20. 如下图所示，一个直角三角形里面有一个正方形，且，，则正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理与相似三角形的判定与性质，灵活的运用相关知识是解题的关键． 在直角三角形中根据勾股定理可得，设正方形的边长为x，则，，，利用正方形的性质可知，，则可证得，利用相似比可得，由此求解出正方形的边长，再计算其面积即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 设正方形的边长为x， 则，，， 在正方形中， ，， ，， ， ， 即， 解得：， 正方形的面积为：． 故答案为：． 21. 直角三角形的三边分别为，垂直于，且，正方形的边长是（ ） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，三角形面积的计算，连接，设正方形的边长为x，根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，设正方形的边长为x， 因为， 所以， 解得， 所以正方形的边长为， 故答案为：． 22. 如下所示，在直角三角形里面裁剪一个正方形，剩下两个三角形，已知，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】##6平方厘米 【解析】 【分析】本题主要考查三角形面积公式，旋转变换，根据题意得到三角形绕点E逆时针旋转，与三角形组成一个直角三角形， 两直角边分别是是，，结合三角形面积公式由此即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 将三角形绕点E逆时针旋转， ∵，，，， ∴与重合，点与点重合， ∴共线， ∴， 两直角边分别是，， 其面积是： 答：图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 23. 如果一个自然数的个位数字不为0，且能分解成，其中、都是两位数，A、B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程称为“合分解”．例如：和29的十位数字相同，个位数字之和为是“合和数”．又如：和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于不是“合和数”．根据题意，则168______“合和数”，621______“合和数”（填“是”或“不是”）；把一个四位“合和数”进行“合分解”，即的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为，的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被4整除时，所有满足条件的的值有______． 【答案】 ①. 不是 ②. 是 ③. ，，， 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，整式的加减运算，解一元一次方程等，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力． 首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”；首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的． 【详解】解： ，， 不是“合和数”， ，十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”； 故答案为：不是；是； 设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，）， 则． ∴． ∴（是整数）． ， ， 是整数， 或， ①当时， 或， ∴当时，或；或当时，或； 或． ②当时， 或， 当时，或；或当时，或； 或． 综上，满足条件的有，，，， 故答案为：，，，． 三、应用（本大题共5个小题，1－4题每小题6分，5小题7分，共31分） 24. 甲、乙、丙三根铁棒竖直地插在水池中，三根铁棒的长度之和是，并且甲铁棒有露在水面外，乙铁棒有露在水面外，丙铁棒有露在水面外．那么，水池中的水有多深？ 【答案】水池的水深为 【解析】 【分析】本题考查分数的实际应用，设水池的水深为，根据甲铁棒有露在水面外，乙铁棒有露在水面外，丙铁棒有露在水面外，求出三根铁棒的长度，再根据根铁棒的长度之和是，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设水池的水深为，则甲铁棒长，乙铁棒长，丙铁棒长， 由题意，得：， 解得：； 答：水池的水深为． 25. 某汽车专卖店销售两款新能源汽车，上周出售1辆A款和3辆B款，销售额为96万元；本周出售2辆A款和1辆B款，销售额为62万元．问． （1）A、B两款分别价值多少钱？ （2）若A款价格上涨，B款上涨，则同时购买一辆A款和一辆B款的费用比涨价前多了，求的值． 【答案】（1）A款价值18万元，B款价值26万元 （2）5.5 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． （1）设款价值万元，款价值万元，根据题意可列方程组，解出即可； （2）根据涨价前后的费用变化可建立方程，解出即可． 【小问1详解】 解：设款价值万元，款价值万元， 由题意得：， 解得：，， 答：A款价值18万元，B款价值26万元； 【小问2详解】 由题意得： 解得：， 答：m的值为5.5． 26. 将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015的个位数字之后，得到个新数20153；将新数的十位，百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字之后，得到201536；再操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数位上的数字之和等于几？ 【答案】8479． 【解析】 【分析】按题设条件，操作16次后，如图，发现数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数字重复出现． 根据整个规律，推出操作了2015次，得到的数，再求和即可．按题设条件，操作一定的次数，找到数字规律即可． 【详解】解：按题设条件，操作16次后，如下：　 数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数字重复出现， 则操作2015次：， 2015次操作的对应的数字是5； 则所有自然数和为： 前4位：， 后6位：， 重复的数字和为：，重复401次后，和为， 余数4，对应数字的和为：， 以上数字相加即为所有自然数和． 27. （行程问题）已知甲从A到B，乙从B到A，甲、乙两人行走速度之比是，如图所示M是AB的中点，离M点26千米处有一点C，离M点4千米处有一点D，谁经过C点都要减速，经过D点都要加速，现在甲、乙两人同时出发，同时到达，求A与B之间的距离是多少千米？ 【答案】92千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找清等量关系式，列出方程，方程比较复杂，解答时要认真． 根据题意可知，开始甲、乙二人行走速度之比是，可以把开始时甲的速度看成千米/小时，乙的速度看成千米/小时，根据甲、乙二人用的时间一样，由此找出等量关系式，列出方程求解即可． 【详解】解：甲、乙两人行走速度之比是． 设甲的速度是千米/小时，则乙的速度就是千米/小时． 由题意得，的距离：（千米）， 甲行的速度：（千米/小时），甲行的速度：（千米/小时）， 乙行的速度：（千米/小时），乙行的速度：（千米/小时）， 设的距离是x千米，则长为千米，长为千米，根据题意 ，得 ， 解得：， 答：A与B之间的距离是92千米． 28. 某运动会在400米环形跑道上进行一万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，而在23分50秒时，甲到达终点，那么乙跑完全程所用时间是多少分钟？ 【答案】乙跑完全程所用的时间是25分钟 【解析】 【分析】本题考查行程问题，在整个过程中，乙为匀速运动；在前15分钟甲慢，在第15分钟时甲加快速度直到终点．在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．可知甲加快速度后在分钟内，比乙多行一圈，即400米，所以甲每分钟比乙多行米．在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有（23分50秒分）米，所以乙速度为米（23分50秒）米/分，所以乙跑完全程所用的时间是分钟． 【详解】解：①甲每分钟比乙多行（米）， ②在第23分50秒时，甲到达终点，而此刻乙距终点应还有 （米）， ③乙速度为： （米/ 分钟）， ④乙跑完全程所用的时间是： （分钟 ）． 答：乙跑完全程所用的时间是25分钟． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $