精品解析：上海市浦东新区川沙中学2024—2025学年下学期八年级数学期末卷

2024学年度第二学期八年级数学期末质量检测 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列四个函数中属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 2. 已知一次函数，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，函数值随的增大而减小．随的增大而减小需满足，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵，随的增大而减小． ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故选：A． 3. 关于向量，下列表述正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与方向相反，则 C. D. 如果，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； B、两个向量方向相反，且模长相等时，才是相反向量，故本选项不符合题意； C、向量相减的结果是向量，而不是数0，故本选项不符合题意； D、根据相反向量的定义：如果，则，故本选项符合题意． 故选D． 4. 下列事件为确定事件的是（ ） A. 上海的太阳明天从西边升起 B. 任意两个非零实数的积为正数 C. 掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上 D. 买一张彩票中奖了 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的类型．抓住“必然事件和不可能事件统称确定事件”是解题关键． 根据确定事件的定义，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：A、上海的太阳明天从西边升起是不可能事件，符合题意； B、任意两个非零实数的积为正数是随机事件，不符合题意； C、掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上是随机事件，不符合题意； D、买一张彩票中奖是随机事件，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可． 【详解】A. ，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 四边形ABCD是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； C. 可判定平行四边形ABCD为菱形，符合题意； D. ，对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键． 6. 已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识．连接并延长交于点H，由，得，而，，即可根据证明，得，，因为，，所以，由三角形中位线定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 一次函数的截距是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握截距的定义：直线与轴相交于点，叫做在轴上的截距，简称截距． 【详解】解：一次函数的截距是． 故答案为：． 8. 一次函数的图像经过点，则m的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】将点代入函数表达式即可． 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， 故答案为：1． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求立方根，解题的关键是通过移项、系数化为1等步骤将方程转化为的形式，再根据立方根的定义求出方程的解． 先将常数项移到等号右边，再把未知数的系数化为1，得到的值，最后根据立方根的定义求出x的值． 【详解】解： 移项得： 系数化为1得： 两边开立方得： 故答案为：． 10. 方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案． 【详解】方程两边平方得： ∴， ∵ ∴ ∴不符合题意，故舍去 ∴原方程的根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 11. 用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 12. 粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图求概率，画出满足题意的列表或树状图，并灵活应用概率公式求解是解题的关键．画出树状图，然后分析得出满足题意的可能结果，由概率公式列式计算即可． 【详解】解：小明、小华和小亮的数学作业本分别用A、B、C表示，画树状图如图： 共有6种等可能的结果，其中恰好都能拿到自己那本作业本有1种， ∴恰好都能拿到自己那本作业本的概率为． 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得． 14. 在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分，将菱形的问题转化为直角三角形的问题求解． 菱形的对角线互相垂直平分，已知菱形边长和一条对角线长，先求出该对角线一半的长度，再结合菱形边长在直角三角形中利用勾股定理求出另一条对角线一半的长度，进而得到另一条对角线的全长． 【详解】解：设菱形为，对角线为另一条对角线，交点为O． ∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴，且． 在中，由勾股定理得：． 已知菱形边长，则， 即， ， 解得． ∴另一条对角线． 故答案为：． 15. 如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 16. 如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 17. 如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 18. 如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、角平分线的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等，结合角平分线的性质构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解．​ 过点 E 作垂线构造矩形和等腰直角三角形，利用角平分线性质设出相关线段长度；根据折叠性质得到，在直角三角形中用勾股定理求出的可能值；再针对不同的值，结合折叠后，在直角三角形中再次利用勾股定理列方程，求出的长度． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点M，延长交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E恰好在的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 由折叠的性质得：， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴或， 故答案为：或． 三、简答题（19-21题，每题6分，22-23题每题7分，共32分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 20. 解方程组：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是将二次方程进行因式分解，转化为两个一次方程，再与第一个一次方程组成新的方程组求解． 先对第二个方程进行因式分解，得到两个一次方程；再将这两个一次方程分别与第一个方程联立，组成两个新的二元一次方程组；最后解这两个方程组，得到原方程组的解． 【详解】解： 由②，得， ∴或． 即或． 把代入①，得，此时x； 把代入①，得，此时． ∴原方程组的解为：，． 21. 如图，平行四边形中，点E为中点，设，． （1）用，表示下列向量：______，_____； （2）求作：．（画图并写出结论，不必写作法） 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图、平面向量、平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形法则是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质以及平面向量的定义得到，，进而由线段中点定义得到，然后利用三角形法则求解即可； （2）以E为圆心，长为半径画弧，再以C为圆心，为长半径画弧，两弧相交于点F，则四边形是平行四边形，连接，则即为所求作． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∴ ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作． 作图理由： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， 故即为所求作． 22. 某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研． A小组调研获知： 工厂每月生产成本（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表． 5 10 15 1015 1030 1045 B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系． 根据以上信息回答 （1）分别求出，与x的函数关系式（不用写定义域）； （2）请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利? 【答案】（1）， （2）产量时，该厂开始盈利． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数解析式，一元一次不等式的运用，解题的关键在于求出，与x的函数关系式． （1）分别设与x的函数关系式为，与x的函数关系式，结合表格与图象中数据，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本，据此建立不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：设与x的函数关系式为， 由表格数据可知， 解得， 与x的函数关系式为； 设与x的函数关系式， 由图象可知过点， ，解得， 与x的函数关系式； 【小问2详解】 解：要使该厂开始盈利，即每月的销售收入大于每月生产成本， 当时，得， 解得， ∴产量时，该厂开始盈利． 23. 已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形性质证明，结合全等三角形性质推出四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和等腰三角形性质推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，角平分线定义，等腰三角形性质，菱形的判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 四、解答题（24、25题每题8分，26题10分，共26分） 24. 已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． （1）求证：梯形为等腰梯形； （2）当，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 25. 已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． （1）当面积为12时，求点B的坐标； （2）点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题． （1）设点B的横坐标为m，根据面积为12可得的值，根据点在反比例函数的图象上即可求解． （2）由矩形性质可知，设，则，根据勾股定理可得的值和点的坐标，设直线的解析式为 ，代入点的坐标即可求解． 【小问1详解】 解：设点B的横坐标为m，根据题意得：， 解得， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，四边形为矩形， 由矩形性质可知：， 设，则， 由勾股定理可得， 解得（已舍去负值）， ∴， 设直线的解析式为 ， 则， 解得． ∴直线的解析式为． 26. 已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． （1）证明四边形为正方形； （2）联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当为等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过F作于M，于N，证明四边形是矩形得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）根据正方形的性质和勾股定理求得，证明得到，进而可求解； （3）先根据全等三角形的性质得到，，则，当为等腰三角形时，，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推导出，利用等角对等边可得，进而求得． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 过F作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， 又， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，点E不与点B，点C重合， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 又， ∴， ∴当为等腰三角形时，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期八年级数学期末质量检测 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列四个函数中属于一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数，如果y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 关于向量，下列表述正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与方向相反，则 C. D. 如果，则 4. 下列事件为确定事件的是（ ） A. 上海的太阳明天从西边升起 B. 任意两个非零实数的积为正数 C. 掷一枚骰子，落地后数字6的一面向上 D. 买一张彩票中奖了 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，下列哪个条件不能判定平行四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共24分） 7. 一次函数的截距是_____． 8. 一次函数的图像经过点，则m的值为_____． 9. 方程的解是______． 10. 方程的根是_______． 11. 用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 12. 粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是_____． 13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 14. 在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为_____． 15. 如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 16. 如图，梯形中，，，，，则______． 17. 如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 18. 如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 三、简答题（19-21题，每题6分，22-23题每题7分，共32分） 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 如图，平行四边形中，点E为中点，设，． （1）用，表示下列向量：______，_____； （2）求作：．（画图并写出结论，不必写作法） 22. 某初中数学小组开展综合实践活动，对某食品工厂所生产、销售的某种食品进行调研． A小组调研获知： 工厂每月生产成本（元）与产量x（千克）之间是一次函数，且部分对应数据如下表． 5 10 15 1015 1030 1045 B小组通过调研获知： 该食品每月的销售收入（元）与产量x（千克）之间满足如图所示的函数关系． 根据以上信息回答 （1）分别求出，与x的函数关系式（不用写定义域）； （2）请测算一下，当产量满足什么条件时，该厂开始盈利? 23. 已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 四、解答题（24、25题每题8分，26题10分，共26分） 24. 已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． （1）求证：梯形为等腰梯形； （2）当，，求四边形的面积． 25. 已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． （1）当面积为12时，求点B的坐标； （2）点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 26. 已知：如图，正方形中，，点F为对角线上一点，联结，过点F作交线段于点E（点E不与点B，点C重合），过E作，过D作，与交于点G． （1）证明四边形为正方形； （2）联结，设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）当为等腰三角形时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $