《1.2一定是直角三角形吗》导学案2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2025-2026学年北师大版八年级数学《1.2一定是直角三角形吗》导学案 ( 一． 学习 目标 1.探索并理解勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边长a、b、c满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 2.认识勾股数的概念 ，能准确判断一组数是否为勾股数。 3.熟练运用勾股定理的逆定理，根据三角形三边的长度关系判断三角形是否是直角三角形，并解决相关的实际问题。 ) ( 二 ．重点难点 1.重点：勾股定理逆定理的内容及应用，学会通过计算三角形三边的平方来判断三角形是否为直角三角形。 2.难点：勾股定理逆定理的证明思路 ，以及灵活运用勾股定理逆定理解决复杂的几何问题和实际问题。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理逆定理的探究 1.回顾勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2，其中a、b为直角边，c为斜边） 。 2.提出问题：如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那这个三角形是直角三角形吗？ 3.证明：在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2,则△ABC是不是直角三角形?为什么? 证明:△ABC是直角三角形.理由如下: 画Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,如图. 根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2 因为AB2=a2+b2,所以A'B'2=AB2，所以A'B'=AB. 根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.于是,∠C=∠C'=90°, 所以△ABC是直角三角形. （二）勾股定理的逆定理 1.定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. 2.符号语言： ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． 3.深入理解： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 （3）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 （三）勾股定理的逆定理的延伸 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边). 如果a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形; 如果a2+b2<c,2那么这个三角形是钝角三角形; 如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形. （四）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个 三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “一个三角形的三边满 足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形， 由数到形 （五）勾股数 1.概念：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 3.性质：若a、b、c是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数 。例如，6，8，10（k = 2，对应3，4，5）也是勾股数 。 例1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 【答案】D 【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．故选D． 例2.已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2＝10a+24b+26c﹣338． （1）试判断三角形的形状； （2）求三角形最长边上的高． 解：（1）∵a2+b2+c2＝10a+24b+26c﹣338∴a2﹣10a+b2﹣24b+c2﹣26c+338＝0 a2﹣10a+25+b2﹣24b+144+c2﹣26c+169＝0 （a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2＝0 ∴（a﹣5）2＝0，（b﹣12）2＝0，（c﹣13）2＝0 ∴a＝5，b＝12，c＝13 ∴a2+b2＝c2＝169∴△ABC是直角三角形； （2）△ABC最长边为c，设c上的高为h．S△ABC＝＝×5×12＝30， 又∵S△ABC＝＝30＝30， ∴h＝． 例3.如图△ABC中，AB＝AC，BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6． （1）求证：BD⊥AC； （2）求线段AB的长． ． 解：（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2， ∴∠BDC＝90°，∴BD⊥AC； （2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，∵CD＝6，∴AD＝x﹣6，∵AB2＝BD2+AD2， ∴x2＝82+（x﹣6）2，解得：x＝，∴AB＝． 例4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，]∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，∴EG＝3＋x，∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，∴BG＝2. 四、易错点分析 1.忽略勾股数是正整数这一条件：勾股数必须是满足a2+b2=c2的三个正整数 ，若出现小数或分数，即使满足等式关系也不是勾股数 。例如0.3，0.4，0.5虽然满足0.32+0.42=0.52，但它们不是勾股数 。 2.判断直角三角形时找错最大边：在应用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形时，一定要先准确找出最大边 。若找错最大边，会导致判断错误 。例如，已知三边为3，5，4，如果错误地将5当作较小边，计算32+52≠42，就会得出错误结论，而实际上5是最大边，32+42=52，该三角形是直角三角形 。 3.混淆勾股定理和勾股定理逆定理：勾股定理是已知直角三角形，得出三边的数量关系；勾股定理逆定理是已知三边的数量关系，判断三角形是否为直角三角形 。在运用时要注意区分条件和结论，不能弄混 。例如，已知直角三角形两直角边求斜边，要用勾股定理；已知三边长度判断是否是直角三角形，要用勾股定理逆定理 。 五．课堂检测 1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【答案】A 【解析】A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选A． 2.下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，7 C. 8，15，16 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】A选项：62+122≠132，故此选项错误；B选项：32+42≠72，故此选项错误；C选项：因为82+152≠162，故此选项错误；D选项：52+122=132，故此选项正确．故选D． 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 【答案】D 【解析】A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D． 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（　　） A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【解析】∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A． 14.某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m． （1）试判断△BCD的形状； （2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 解：（1）△BCD是直角三角形；理由如下：∵∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=12， 根据勾股定理得BD2=AB2+AD2=32+42=25，∴BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，根据勾股定理的逆定理，∴∠CBD=90°∴△BCD是直角三角形． （2）四边形ABCD的面积==6+30=36m2 ∴学校要投入资金为：200×36=7200元；答：学校需要投入7200元买草皮． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.如果三角形的三边长a、b、c满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。 【答案】：a2+b2=c2 2.满足a2+b2=c2的三个__________，称为勾股数。 【答案】：正整数 3.已知三角形三边分别为7，24，25，因为___________________________，所以这个三角形是________三角形。 【答案】：72+242=49 + 576 = 625 = 252；直角 4.一个三角形的三边分别为m2-1，2m，m2+1（m≥1），这个三角形是________三角形。因为____________________________________. 【答案】：直角 ，(m2-1)2+(2m)2=m4-2m2+1 + 4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2 （二）强化训练 一．选择题 1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解答】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C． 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【答案】B 【解答】如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确； 故选：B． 3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 【答案】B 【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B． 4.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【解析】A、因为32+42＞42，所以三条线段能组成锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C． 5.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.5，6， 7 B. 40，41，9 C. ，1， D.0. 2，0. 3，0. 4 【答案】B 【解析】勾股数为正整数，排除C，D，52+62≠72，402+92=412，故A不正确，B正确. 6.以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(　　) A.2,3,4　　　　B.6,8,10 C.5,8,13　　　 D.12,13,14 【答案】B　 【解析】根据勾股定理的逆定理,验证两条较短线段长的平方和是否等于最长线段的平方即可,只有B选项符合,故选B. 7.若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 【答案】A　 【解析】∵|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,∴a-3=0,4-b=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5,∵a2+b2= 32+42=25,c2=52=25,∴a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.故选A. 8.下列五组数:①4、5、6;②0.6、0.8、1;③7、24、25;④8、15、17; ⑤9、40、41. 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 【答案】B　 【解析】①中42+52≠62;②中的数不全是正整数;③中72+242=252;④中82+152=172;⑤中92+402=412.故有3组勾股数. 9.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 【答案】D　 【解析】设相邻两个结点的距离为m,则此三角形的三边长分别为3m、4m、5m, ∵(3m)2+(4m)2=(5m)2,∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)故选D. 10．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C． 二．填空题 11．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 【答案】4.8 【解析】∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8． 12．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 【答案】480 【解析】设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480． 故答案是：480． 13．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 【答案】15，112，113． 【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113． 14．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 【答案】等腰直角三角形． 【解析】∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2， ∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形． 15．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 【答案】13 【解答】∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13． 16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________． 【答案】12 【解析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=GF2+2CG•DG， S2=GF2 ， S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF•NF， S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12，故答案是：12． 三．解答题 17．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求△BPQ的面积． 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36， 解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）． 18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 解：(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF=AB=5．∴DF的长为5． 19.若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当，时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值； (3)若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）． 解：（1）当m=2，n=1时，m2+n2=5，m2-n2=3，2mn=4，∴该组勾股数是3，4，5， 故答案为：3，4，5； （2）∵（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，∴m2+n2＞m2-n2，∵m2+n2-2mn=（m-n）2＞0， ∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2， ①当m2-n2最小时，（m2+n2）+（m2-n2）=2m2=72，解得m=6或m=-6（舍去），又∵m-n=1，∴n=5； ②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn=（m+n）2=72，解得m+n=±6（舍去）， 综上所述，m=6，n=5； （3）2p2+6p+5=（p2+2p+1）+（p2+4p+4）=（p+1）2+（p+2）2，令m=p+2，n=p+1，则 m2-n2=（p+2）2-（p+1）2=2p+3，2mn=2（p+2）（p+1）=2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4． 20．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理：______________________________________________________； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2+b2+c2+d2＝　 　； ②b与c的关系为　 　，a与d的关系为　 　． 解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2． （2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3； ②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2， ∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3． （3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m． 故答案为：m2；b＝c，a+d＝m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版八年级数学《1.2一定是直角三角形吗》导学案 ( 一． 学习 目标 1.探索并理解勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边长a、b、c满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 2.认识勾股数的概念 ，能准确判断一组数是否为勾股数。 3.熟练运用勾股定理的逆定理，根据三角形三边的长度关系判断三角形是否是直角三角形，并解决相关的实际问题。 ) ( 二 ．重点难点 1.重点：勾股定理逆定理的内容及应用，学会通过计算三角形三边的平方来判断三角形是否为直角三角形。 2.难点：勾股定理逆定理的证明思路 ，以及灵活运用勾股定理逆定理解决复杂的几何问题和实际问题。 ) 三、学习内容 （一）勾股定理逆定理的探究 1.回顾勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2，其中a、b为直角边，c为斜边） 。 2.提出问题：如果一个三角形的三边满足a2+b2=c2，那这个三角形是直角三角形吗？ 3.证明：在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2,则△ABC是不是直角三角形?为什么? （二）勾股定理的逆定理 1.定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. 2.符号语言： ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． 3.深入理解： （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 （3）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 （三）勾股定理的逆定理的延伸 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边). 如果a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形; 如果a2+b2<c,2那么这个三角形是钝角三角形; 如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形. （四）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个 三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “一个三角形的三边满 足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形， 由数到形 （五）勾股数 1.概念：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 3.性质：若a、b、c是一组勾股数，那么ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数 。例如，6，8，10（k = 2，对应3，4，5）也是勾股数 。 例1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 例2.已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2＝10a+24b+26c﹣338． （1）试判断三角形的形状； （2）求三角形最长边上的高． 例3.如图△ABC中，AB＝AC，BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6． （1）求证：BD⊥AC； （2）求线段AB的长． ． 例4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长． 四、易错点分析 1.忽略勾股数是正整数这一条件：勾股数必须是满足a2+b2=c2的三个正整数 ，若出现小数或分数，即使满足等式关系也不是勾股数 。例如0.3，0.4，0.5虽然满足0.32+0.42=0.52，但它们不是勾股数 。 2.判断直角三角形时找错最大边：在应用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形时，一定要先准确找出最大边 。若找错最大边，会导致判断错误 。例如，已知三边为3，5，4，如果错误地将5当作较小边，计算32+52≠42，就会得出错误结论，而实际上5是最大边，32+42=52，该三角形是直角三角形 。 3.混淆勾股定理和勾股定理逆定理：勾股定理是已知直角三角形，得出三边的数量关系；勾股定理逆定理是已知三边的数量关系，判断三角形是否为直角三角形 。在运用时要注意区分条件和结论，不能弄混 。例如，已知直角三角形两直角边求斜边，要用勾股定理；已知三边长度判断是否是直角三角形，要用勾股定理逆定理 。 五．课堂检测 1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2.下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，7 C. 8，15，16 D. 5，12，13 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（　　） A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形 14.某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m． （1）试判断△BCD的形状； （2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.如果三角形的三边长a、b、c满足_____________，那么这个三角形是直角三角形。 2.满足a2+b2=c2的三个__________，称为勾股数。 3.已知三角形三边分别为7，24，25，因为___________________________，所以这个三角形是________三角形。 4.一个三角形的三边分别为m2-1，2m，m2+1（m≥1），这个三角形是________三角形。因为____________________________________. （二）强化训练 一．选择题 1．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 4.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 5.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.5，6， 7 B. 40，41，9 C. ，1， D.0. 2，0. 3，0. 4 6.以下列各组线段为边作三角形,能构成直角三角形的是(　　) A.2,3,4　　　　B.6,8,10 C.5,8,13　　　 D.12,13,14 7.若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 8.下列五组数:①4、5、6;②0.6、0.8、1;③7、24、25;④8、15、17; ⑤9、40、41. 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 9.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 10．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 二．填空题 11．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 12．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 13．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 14．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 15．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3 ． 若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=________． 三．解答题 17．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，求△BPQ的面积． 18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 19.若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当，时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值； (3)若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）． 20．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理：______________________________________________________； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2+b2+c2+d2＝　 　； ②b与c的关系为　 　，a与d的关系为　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$