精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年度初一年级第二学期期末测试数学试卷 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列句子中，属于命题的是（ ） A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角板画出的角 D. 直角都相等吗？ 4. 下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （ ） A. B. C. D. 6. 运用完全平方公式计算的最佳选择是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为0.0039毫米的小洞，数据0.0039用科学记数法表示为________． 10. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 11. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，，分别与点，，对应）．若，则________． 12. 已知，则的值为______． 13. 要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是_____． 14. 已知，，则的值为______． 15. 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得，与交于D．则__________． 16. 如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为__________． 17. 已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 18. 将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 用适当方法解下列方程组 （1） （2） 21. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 22. 如图，在的正方形网格中有三角形，点A，B，C均在格点上． （1）作出点B到直线的最短路径； （2）在条件（1）下，过C点作出的平行线，交于点E； （3）经过平移，三角形的顶点A平移到了点B，作出平移后的三角形（其中F，G分别是三角形的顶点B，C的对应点）． 23. （1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 24. 已知关于的方程组． （1）若方程组的解满足，求的值． （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 25. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 26. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 27. 一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． （1）【举例说明】请写出两个能被9整除的三位数_________． （2）【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为．显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． （3）【迁移运用】设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整数． （4）【拓展提升】当五位数能被9整除时，求出的值． 28. 如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则________°； （2）如图2，形中，若，，则________°； （3）如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （4）在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年度初一年级第二学期期末测试数学试卷 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 2. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：A、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； B、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； C、若，则，一定成立，故本选项不符合题意； D、当时，，则，不一定成立，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列句子中，属于命题的是（ ） A. 画一条线段等于已知线段 B. 垂线段最短 C. 利用三角板画出的角 D. 直角都相等吗？ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 4. 下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把各项中x与y的值代入方程检验即可． 【详解】解：A．当时，，故不符合题意； B．当时，，故不符合题意； C．当时，，故符合题意； D．当时，，故不符合题意； 故选C． 5. 若长方形的两条边长分别为和，则此长方形的面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，整式乘法，解答的关键是熟记长方形的面积公式．根据长方形的面积等于长乘以宽，列式计算即可． 【详解】解：长方形的面积为：， 故选：A． 6. 运用完全平方公式计算的最佳选择是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式简便运算，按简便运算的原则得，即可求解；能熟练利用完全平方公式进行简便运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 7. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方可得，，即可求解． 【详解】解∶∵，，，且， ∴． 故选：A． 8. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为0.0039毫米的小洞，数据0.0039用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．根据科学记数法的表示方法对数值进行表示即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 10. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】把与的值代入已知方程计算即可求出的值．本题考查已知二元一次方程的解求参数的值，理解方程的解的意义是解题的关键． 【详解】是关于的二元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：1． 11. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，，分别与点，，对应）．若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，弄清楚线段之间的关系是解题的关键． 由平移性质求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：12． 12. 已知，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 把变形为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 13. 要说明命题“若，则”是假命题，写一个c的值，它可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，不等式的性质等知识点，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， 故答案为：． 14. 已知，，则的值为______． 【答案】26 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式展开然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：26． 15. 如图，中，．将绕点A顺时针旋转得，与交于D．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，再由三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如果代数式的展开式不含x的一次项，那么m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，熟练运用整式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则和合并同类项法则，即可解答． 【详解】解： ， ∵关于x的代数式的展开式中不含x的一次项， ∴ ， 解得： ， 故答案为：． 17. 已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的解为，其两个整数解为：和， ∴， 故答案为：． 18. 将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________． 【答案】秒或秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形． 根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 情况1，如图，当时，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 情况3，如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间（秒）； 综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒， 故答案为秒或秒或秒． 三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 用适当方法解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； 【小问2详解】 解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 21. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 把解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 22. 如图，在的正方形网格中有三角形，点A，B，C均在格点上． （1）作出点B到直线的最短路径； （2）在条件（1）下，过C点作出的平行线，交于点E； （3）经过平移，三角形的顶点A平移到了点B，作出平移后的三角形（其中F，G分别是三角形的顶点B，C的对应点）． 【答案】（1）如图，为所作； （2）如图，为所作； （3） 三角形为所作： 【解析】 【分析】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点，过点作的垂线，垂足为点； （2）把向下平移2个单位得到，则与的交点为点； （3）利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. （1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 24. 已知关于的方程组． （1）若方程组的解满足，求的值． （2）若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； 【小问2详解】 解： 由得， 方程组的解满足， ∴， 解得． 25. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元 （2）共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，根据“购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合投入资金不少于万元又不超过12万元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元， 根据题意得：， 解得． 答：购进1件甲种农机具需要万元，1件乙种农机具需要万元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为5，6，7， 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件． 26. 如图，一个小长方形的长为，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长______，宽______．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，若，求m与n的数量关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． （1）利用图形和整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）表示出大长方形的面积和阴影不符的面积，然后结合求解即可． 【小问1详解】 解：大长方形的长，宽； 【小问2详解】 解： ∴阴影部分的面积为； 【小问3详解】 解：，阴影部分的面积为 ∵ ∴ ∴ ∴． 27. 一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为，通常记这个数为，则．下面探究能被9整除的三位数的特征． （1）【举例说明】请写出两个能被9整除的三位数_________． （2）【猜想证明】由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 因为．显然能被9整除，因此如果能被9整除，那么就能被9整除，所以猜想成立． （3）【迁移运用】设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整数． （4）【拓展提升】当五位数能被9整除时，求出的值． 【答案】（1），（不唯一） （2） 证明：． ∵能被9整除， ∴如果能被9整除，则就能被9整除， 所以猜想成立． （3） 证明：， ∵，，是整数， ∴能被整除， 又∵能被整除， ∴能被整除； （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据题意写出符合要求的数即可； （2）根据题意可得， 再由能被整除，能被整除，即可. （3）根据题意可得， 再由能被整除， 能被整除，即可. （4）由， 且五位数能被整除，可进行求解． 【小问1详解】 解：能被整除的三位数为，， 故答案为：，（不唯一）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵， 且五位数能被整除， ∴能被整除， ∵是的整数， ∴或． 28. 如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则________°； （2）如图2，形中，若，，则________°； （3）如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （4）在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1）60 （2）60； （3） ，理由如下： 过点作交于点， ∴， 则，， ∴ ∴， 由（）可得， ∵， ∴， ∴； （4）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，利用平行线的性质计算即可求解； （）设与交于点，利用平行线的性质和外角性质即可求解； （）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（）的结论可求解； （）可分两种情况：当当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解； 【小问1详解】 解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：60； 【小问2详解】 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：60； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 如图，当，位于两侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即； 当，，三点共线时，， ∴； 当，位于同侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $