精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

保密★启用前 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学开学摸底考试卷 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是积的乘方运算，合并同类项，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，根据运算运算的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 2. 如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，夹逼法求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点； 故选B． 3. 在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短，以及三角形的面积公式．根据三角形的面积公式，得出，即可解答． 【详解】解：如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M， 由垂线段最短知，， ∴ ， ∴， ∴的面积不可能为． 故选：D． 4. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 5. 式子的结果不可能是（ ） A. 奇数 B. 正数 C. 偶数 D. 整数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对从所给的数字中找到存在的规律，把两个数看成一组，从而可求解． 【详解】解： ． 则1012不可能是奇数． 故选：A． 6. 设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ） A. 从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B. 从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C. 第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D. 第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费． 【详解】由题意得， 前n年支出总费用为万元， 前年支出总费用为：万元； 前年支出总费用为：万元； 易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元， 故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误； 第一到第五年总支出费用为万元， 故平均每年检修费用为万元， 故C错误． 年总支出为万元， 年总支出为万元， 所以年平均每年检测费用为万元，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系． 7. 一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（　　） 组员 A B C D E F 平均成绩 众数 中位数 得分 77 81 ■ 80 82 79 80 ■ ■ A. 81，81 B. 80，81 C. 81，80.5 D. 80，81.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的意义求出C的得分，再根据中位数、众数的意义求解即可． 【详解】解：C的得分为：， 这组数据中出现次数最多的是81，共出现2次，因此众数是81， 将这组数据从小到大排列，中位数的第3、第4个数的平均数， 则中位数是； 故选：C． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、众数、中位数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键． 8. 如图，四边形是正方形，以为边长向正方形外作等边，与相交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故选：B 9. 如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据函数图像得到信息，矩形的判定和性质，勾股定理，根据函数图像可得必须与垂直，时，点到的距离不变，即， 画出图形即可解答，正确从函数图象中得到信息是关键． 【详解】解：根据函数图象可得当时，，， 则点到的距离为， ，， 当时，， ， 必须与垂直， 根据函数图象可得当时，的面积S与成一次函数， 时，点到的距离不变， 点的位置如图所示，， ， 当时，的面积为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 故选：A． 10. 如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 过分别作、、的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3 12. 已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义求出各数的值，然后相加解题即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故答案为：2． 13. 两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是______（填“A”或“B”）． 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线最短的含义进行分析即可得到答案：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短． 【详解】解：A：跳远测量需要测量出脚印到起跳线的最短距离，故符合题意； B：道路改到是应用的两点直线，线段最短，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短的定义，简体的关键是熟知垂线段最短的含义． 14. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由x同时满足分式及二次根式有意义列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为： 【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解不等式组，能根据函数有意义的条件列出不等式组是解题的关键． 15. 某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为___________； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值___________； （3）代数应用：求代数式的最小值___________． 【答案】 ①. ②. ③. 5 【解析】 【分析】（1）作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接，根据轴对称的性质可得AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，最后根据=+PE=即可求解； （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，根据BM=可知=+MN=，根据轴对称的性质和含30°角的直角三角想30°角所对的边等于斜边的一半，分别求出和BN的长度即可； （3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于和，用勾股定理进行即可进行证明． 【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接 ∵点B和点关于AC对称， ∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°， ∴在△中，∠=90°， ∵点E为AB中点， ∴AE=， ∴， ∵PB=， ∴=+PE=， 故答案为：． （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O， 根据轴对称的性质可知，⊥AC， ∵，，∠AOB=90°， ∴BO=，∠=60°， ∴=2 BO=2， 在Rt△中，∠=60°， ∴∠=30°， ∴NB=， ∴， ∵BM=， ∴=+MN=， 故答案为：． （3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， 作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O， 根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=， ∵AB=4，=1， ∴=4，BO==1， ∴DO=3， 在Rt△中，， ∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， ∴，， ∵CP+DP =+DP==5， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用轴对称的性质构造直角三角形是解题的关键． 16. 等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为_____________________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠性质可知：，分两种情况：当在外部，当在内部时，由、，求出的度数，进而利用含度、度直角三角形的性质求出即可. 【详解】解：折叠性质可知：， 当在外部时，如图1， ∵在等边中，， ∴， ∴， 过点作，垂足为H， ∴，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴. 当在内部时，如图2， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∴ 过点作，垂足为，同理可求， 故， 故答案为：或. 【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想的原则做到不遗漏、不重复． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】只需要利用证明即可． 【详解】证明：， ．即． ，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 18. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】（1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 （2）甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的实际应用． （1）设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，先求出m的取值范围，然后列出y关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． 【小问2详解】 设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方、负整数次幂、零次幂进行化简，然后再进行计算即可； （2）先用平方差公式、单项式乘多项式进行计算，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 【点睛】本题主要查了乘方、负整数指数幂、零次幂、整式的混合运算等知识点，掌握非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数、非零数的零次幂等于1是解答本题的关键． 20. 阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题 如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称． 方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： （1）小悦周记中得到，的依据是______； （2）小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 （3）请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 【答案】（1）轴对称的性质 （2）B （3） 解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D， ∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c， 设点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴在直线上， ∴直线和直线关于直线对称； 方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于， ∴点的横坐标为， 把代入中得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴直线和直线关于直线对称． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称的性质等等： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据题意可知用了数形结合思想； （3）方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，则点的横坐标为c，设点的纵坐标为，则，据此求出，在中，当时，，据此可证明结论；方法二：在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，则点的横坐标为，求出，再证明，即可得到直线和直线关于直线对称． 【小问1详解】 解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质， 故答案为：轴对称的性质； 【小问2详解】 解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 【小问3详解】 略 21. 某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： ．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； ．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 ．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 　　人； （2）表中的值为 　　； （3）在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名 　　更靠前； （4）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级学生成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）23 （2）77.5 （3）甲 （4）276 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级绩不低于80分的人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人； 故答案为：23； 【小问2详解】 解：七年级学生成绩的中位数（分； 故答案为：77.5； 【小问3详解】 解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数； 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：（人， 答：估计七年级学生成绩不低于80分的人数为276人． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 22. 如图，在正方形中，与相交于点O，点E为上一点，连接交于点Q，过点A作交于点F，点G，H分别是的中点，连接并延长，交于点M． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，再证，然后由证即可； （2）连接、，由三角形中位线定理得，，，，则，再证，然后证，即可得出结论； （3）连接，证四边形是平行四边形，得，再证，然后证，得，，进而证是等腰直角三角形，得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ； 【小问2详解】 证明：如图①，连接、， 四边形是正方形， ∴，，，，，， 、分别是和的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ∴， 为的中点， 为的中点， ； 【小问3详解】 解：如图②，连接， 由（2）可知，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 23. 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析 【解析】 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 九年级数学开学摸底考试卷 考试分数：100分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 3. 在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（　　） A. B. C. D. 4. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 式子的结果不可能是（ ） A. 奇数 B. 正数 C. 偶数 D. 整数 6. 设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ） A. 从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元 B. 从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元 C. 第1年至第5年平均每年的检修费用为万元 D. 第6年至第10年平均每年的检修费用为万元 7. 一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（　　） 组员 A B C D E F 平均成绩 众数 中位数 得分 77 81 ■ 80 82 79 80 ■ ■ A. 81，81 B. 80，81 C. 81，80.5 D. 80，81.5 8. 如图，四边形是正方形，以为边长向正方形外作等边，与相交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算的结果是______． 12. 已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为________． 13. 两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是______（填“A”或“B”）． 14. 函数的自变量的取值范围是______． 15. 某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为___________； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值___________； （3）代数应用：求代数式的最小值___________． 16. 等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为_____________________ 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：． 18. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． （1）甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ （2）由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 19. 计算： （1） （2） 20. 阅读与思考 下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 应用所学知识证明直线对称问题 如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称． 方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称． 任务： （1）小悦周记中得到，的依据是______； （2）小悦所用方法主要运用的数学思想是______； A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 （3）请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称． 21. 某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： ．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）； ．七年级成绩在这一组的数据如下： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 ．七、八年级成绩平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 八年级 79.2 79.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 　　人； （2）表中的值为 　　； （3）在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名 　　更靠前； （4）该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级学生成绩不低于80分的人数． 22. 如图，在正方形中，与相交于点O，点E为上一点，连接交于点Q，过点A作交于点F，点G，H分别是的中点，连接并延长，交于点M． （1）求证：； （2）求证：； （3）当时，求的值． 23. 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $