精品解析：宁夏银川市湖畔中学2024-2025学年下学期九年级数学第三次模拟试卷

银川市湖畔中学2024-2025学年第三次模拟考试 九年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图，点A所表示的数的绝对值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】|-3|=3， 故选：A． 【点睛】此题考查绝对值问题，关键是根据负数的绝对值是其相反数解答． 2. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键， 根据科学记数法的表示方法，可表示为，从而得到答案． 【详解】解：， 故选：A. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式．根据积的乘方，同底数幂的乘除，完全平方公式计算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意； C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意； D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 5. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，得出共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种，根据概率公式可得结论． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图得总共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种， ∴ 他们选取到相邻座位的概率． 6. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作切线交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，连接，由切线的性质可得，又由圆内接四边形的性质得，即得，得到，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差，转化为求矩形面积和扇形面积的差，通过对图形进行合理的组合与拆分来找到面积关系即可得解．本题主要考查矩形面积公式、扇形面积公式以及图形面积的转化思想．解题的关键在于通过设空白部分面积为辅助量，将阴影部分面积差转化为矩形面积与两个扇形面积的差，灵活运用面积公式进行计算． 【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为． ∵，， ∴． ∵以、为圆心，长为半径画弧，，且， ∴一个扇形面积，两个扇形面积 ． 阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为，即． ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 10. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图， 连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 11. 填写二次方程________的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式的知识．设这个常数项为a，则这个一元二次方程为，根据方程有两个不相等的根，求出a的取值范围即可． 【详解】解：设这个常数项为a，则这个一元二次方程为， ∵此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴这个常数项为小于的任意一个数即可，可为0， 故答案为：0（答案不唯一） 12. 如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正六边形、正八边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为F， ∵是正六边形的外角， ∴， ∵是正八边形的外角， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴正六边形的边长为． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，点为的中点，连接、，若的面积为4，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，设，根据题意得，，，进而得，，再根据的面积为4，列式计算可得答案． 【详解】解：设， 根据题意得，，， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，作垂线，先证明，，可得，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， 由作图可得：， ∴， 故答案为： 15. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为9时，阴影部分的周长等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、图形的平移、平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形和平移的性质是解题关键．先证出两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，再证出，设，则，利用平行四边形的面积公式建立方程，解方程求得，，再证明都是等腰直角三角形，求出，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设交点为， ∵四边形是边长为6的正方形， ∴，， 由平移的性质得：， ∴两个三角形重叠部分（阴影部分），即四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为9， ∴， 解得，符合题意， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的周长等于， 故答案为：． 16. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出，，的符号，即可得到的符号；②求出二次函数的最值，进行判断即可；③根据抛物线的对称性，进行判断即可；④综合对称轴和c的值，以及当时，，结合，，进行判断即可．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【详解】解：①抛物线的开口向下，，对称轴为直线：，，图象过，，所以；故①错误； ②由图象可知，当时，函数取得最大值为， ， 为常数），故②正确； ③抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， ，故③正确； ④由图可知：当时，， ，， ， ； ，， ， ， ，故④正确． 综上，正确的是②③④． 故答案为②③④． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示不等式组的解集为： 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数，零次幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简，正确进行计算是关键；先计算零次幂，绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ； 19. 如图矩形中，点在上，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线． 【答案】（1）如图，射线为所求作： （2）如图，射线为所求作： 【解析】 【分析】（1）作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得 ，即可求解； （2）连接、交于，作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得平分，即可求解； 【小问1详解】 解：作射线， 在矩形中， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：连接、交于，作射线， ， ， 平分． 20. 如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； （2）图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，所有结果精确到） 【答案】（1） （2）能安全通过，理由见详解 【解析】 【分析】（1）连接，得出点是点绕点旋转得到，根据弧长公式解答即可； （2）在上取，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，再根据，解答即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意可得四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点是点绕点旋转得到， ∴点经过的路径长为； 【小问2详解】 解：在上取，作于点，交于点，交于点， 当汽车与保持安全距离 时， ∵汽车宽度为 ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ，汽车高度为 ， ∴汽车能安全通过． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21. 每年的6月5日为“世界环境保护日”，今年中国环境日的主题为“美丽中国我先行”，主场活动将在重庆举办．为提升同学们的环保意识，某校开展了主题为“人人参与·创建绿色家园”的主题教育活动．组织七、八年级学生进行相关知识的竞赛，竞赛分为初赛、复赛、决赛三个环节．为了解七、八年级学生的初赛成绩，将随机抽取40名学生的成绩进行统计分析． 【数据收集】（1）小明设计了以下四种抽样调查方案： 方案1：在七、八年级的学生中各抽取学习较好的20名学生的成绩； 方案2：在七年级一班、八年级一班的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 方案3：在七、八年级男生中随机抽取40名学生的成绩； 方案4：在七、八年级的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 其中最合理的方案是__________． 【数据整理】小明按最合理的方案进行抽样，经过对成绩的整理，得到如下统计图． 【数据分析】 年级 平均分 中位数 方差 七年级 八年级 （2）填空：__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； （3）请你对七、八年级的初赛成绩作出评价（从“平均数”，“中位数”或“方差”中的两个方面评价即可）． 【问题解决】（4）小明和小亮分别是七、八年级学生，其初赛成绩都是7分．若规定各年级前的选手可进入复赛，请判断小明和小亮是否能进入复赛，并说明理由． 【答案】（1）方案4； （2），，； （3）从平均分的角度看，七年级的平均分小于八年级的平均分，所以八年级的成绩好；从中位数的角度看，七年级的中位数小于八年级的中位数，所以八年级的成绩好；从方差的角度看，七年级的方差大于八年级的方差，所以八年级的成绩稳定． （4）小明能进入复赛，小亮不能进入复赛． 理由： 七年级的成绩的中位数为分，小明的成绩为7分，则小明的成绩高于七年级成绩的中位数， 所以小明能进入复赛； 八年级的成绩的中位数为分，小亮的成绩为7分，则小亮的成绩低于八年级成绩的中位数， 所以小亮不能进入复赛． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，中位数，平均数等以及调查方式的合理性，熟知相关知识是解题的关键． （1）抽样调查要具有代表性和随机性，据此可得答案； （2）根据平均数和中位数的定义可得a、b的值，再分别计算出两个年级的方差即可得到答案； （3）根据（2）所求结合表格中的数据求解即可； （4）比较出两人的乘积是否大于其对应年级的中位数即可得到结论． 【详解】解：（1）∵抽取方法要具有随机性和代表性， ∴最合理的方案是方案4； （2）由题意得，， 把八年级20名学生的初赛成绩按照从低到高排列，中位数为第10名和第11名的成绩的平均数， ∵， ∴八年级的中位数为分，即； ， ， ∵， ∴； （3）略 （4）略 22. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ 【答案】（1）每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 （2）张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键． （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． 【小问2详解】 解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 24. 如图，内接于，是直径，为中点，连接，，过点作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，再由，得到，据此可得结论； （2）证明，得到，由是直径，得到，则，证明，进而证明，则可求出，，则． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下； 如图所示，连接， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点的坐标为，若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断此纯电货车______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 【答案】（1）； （2）不能，理由见解析； （3）抬起的高度至少需要大于米． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解； （3）设提高n米，则新抛物线的表达式为：，由题意得，车最左上端对应中的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 则抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故纯电货车不能完全停到车棚内， 故答案为：不能； 【小问3详解】 设提高n米， 则新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端对应中的横坐标为， 当时，，则符合要求， 当时，， 则， 故抬起的高度至少需要大于米． 26. 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点恰好共线．点，在点异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点．如图2，判断，的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，当时，连接，．如图3，判断四边形的形状并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点，，分别与点，，重合，保持不动，将绕点按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________． 【答案】（1），理由见解析；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）2或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，得出由，得到，即可求解； （2）先得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （3）分两种情况：当经过点时，当所在直线经过点时，分别求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是矩形，理由如下： 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当所在直线经过点时，如图： ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市湖畔中学2024-2025学年第三次模拟考试 九年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图，点A所表示的数的绝对值是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，是的直径，过点作切线交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_________． 10. 在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为____． 11. 填写二次方程________的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根． 12. 如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，点为的中点，连接、，若的面积为4，则的值为__________． 14. 如图，在菱形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，连接．若，则的度数为__________． 15. 如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到．当两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为9时，阴影部分的周长等于__________． 16. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②（m为常数）；③若点，，在该函数图象上，则；④．其中正确的是________（填序号）． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18. 计算： 19. 如图矩形中，点在上，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线） （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线． 20. 如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． （1）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； （2）图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由． （参考数据：，所有结果精确到） 21. 每年的6月5日为“世界环境保护日”，今年中国环境日的主题为“美丽中国我先行”，主场活动将在重庆举办．为提升同学们的环保意识，某校开展了主题为“人人参与·创建绿色家园”的主题教育活动．组织七、八年级学生进行相关知识的竞赛，竞赛分为初赛、复赛、决赛三个环节．为了解七、八年级学生的初赛成绩，将随机抽取40名学生的成绩进行统计分析． 【数据收集】（1）小明设计了以下四种抽样调查方案： 方案1：在七、八年级的学生中各抽取学习较好的20名学生的成绩； 方案2：在七年级一班、八年级一班的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 方案3：在七、八年级男生中随机抽取40名学生的成绩； 方案4：在七、八年级的学生中各自随机抽取20名学生的成绩； 其中最合理的方案是__________． 【数据整理】小明按最合理的方案进行抽样，经过对成绩的整理，得到如下统计图． 【数据分析】 年级 平均分 中位数 方差 七年级 八年级 （2）填空：__________，__________，__________（填“>”“=”或“<”）； （3）请你对七、八年级的初赛成绩作出评价（从“平均数”，“中位数”或“方差”中的两个方面评价即可）． 【问题解决】（4）小明和小亮分别是七、八年级学生，其初赛成绩都是7分．若规定各年级前的选手可进入复赛，请判断小明和小亮是否能进入复赛，并说明理由． 22. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ 23. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 24. 如图，内接于，是直径，为中点，连接，，过点作，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 25. 我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足二次函数的图象，支柱，最外端点的坐标为，若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长，高的矩形． （1）求该二次函数的表达式． （2）判断此纯电货车______（填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由． （3）为确保在车棚内能容纳长、高的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？ 26. 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点恰好共线．点，在点异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点．如图2，判断，的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，当时，连接，．如图3，判断四边形的形状并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点，，分别与点，，重合，保持不动，将绕点按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $