精品解析：宁夏银川市湖畔中学2024-2025学年下学期第一次模拟-九年级数学试题

银川市湖畔中学2024-2025学年第一次模拟考试 九年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（　　） A. B. C. 0 D. 2. 下列运算正确的是（　　） A B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 4. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班部分女同学视力检查数据如下表： 视力 人数 该班这些女同学视力检查数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_______． 10. 国产大模型已经成为全球增长最快的AI工具，据报道，2025年2月，访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为__________． 11. 今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是_____ ． 14. 如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为______ ． 15. 如图所示，是半圆的直径，将直径绕点顺时针旋转得对应线段，若，则图中阴影部分的面积是______． 16. 如图，太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词，它是由太阳能电池组件、部分LED灯具、控制箱和灯杆几部分构成．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端点E离地面的高度．如图2，已知测角仪的高度为1.2米（即AB=1.2米），在测量点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2.2米的测量点D处安置等高的测角仪（即米），测得点E的仰角为（点B，D，F在一条直线上），求电池板顶端离地面的高度_______米．（结果精确到0.1米，参考数据： ） 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再代入求值：，其中． 19. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明矩形． 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大？ 22. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 四、解答题（23题、24题每题8分，25题10分，26题每题10分，共36分） 23. 如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 24. 如图1，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）． 25. 【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． （1）【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； （2）【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 26. 如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点P为直线上方抛物线上点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 银川市湖畔中学2024-2025学年第一次模拟考试 九年级数学试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在数轴上表示下列实数的点中，位于原点左侧的是（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上位于原点左侧的数都是小于0的数，据此可得答案． 【详解】解：∵数轴上位于原点左侧的数都是小于0的数， ∴在数轴上，四个实数中只有在原点左侧， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减计算．根据相关计算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图所示的几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的主视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．根据几何体的主视图即可判断． 【详解】解：由题意得，几何体的主视图是 故选：C． 4. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班部分女同学视力检查数据如下表： 视力 人数 该班这些女同学视力检查数据的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数的求法：①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．根据表格数据结合定义，即可求解． 【详解】解：该班这些女同学视力检查数据的众数是 共有人，中位数是第11个数据，为 故选：B． 5. 一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 6. 一次函数，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，反比例函数的图像经过顶点A，若，，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义． 过点A作轴于点C，根据等腰三角形的性质以及反比例函数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 10. 国产大模型已经成为全球增长最快的AI工具，据报道，2025年2月，访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》为、、、，画树状图如下： 一共有种等可能的情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有种， 这两位同学选择观看相同影片的概率为． 故答案为：． 12. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正六边形可求出，证明是等边三角形，进而可求出，则有，然后通过勾股定理得，设，则，，再由圆周长公式求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形是圆内接正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 设，则，， ∵的周长等于， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，是半圆的直径，将直径绕点顺时针旋转得对应线段，若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，连接，根据题意，用扇形的面积减去扇形的面积，再减去的面积即可． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得：， 由圆周角性质可得， ， ， 的面积， 扇形的面积， 扇形的面积， 阴影部分的面积， 故答案为：． 16. 如图，太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词，它是由太阳能电池组件、部分LED灯具、控制箱和灯杆几部分构成．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端点E离地面的高度．如图2，已知测角仪的高度为1.2米（即AB=1.2米），在测量点B处安置测角仪，测得点E的仰角为，在与点B相距2.2米的测量点D处安置等高的测角仪（即米），测得点E的仰角为（点B，D，F在一条直线上），求电池板顶端离地面的高度_______米．（结果精确到0.1米，参考数据： ） 【答案】10.1 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 延长交于点，根据题意可得：米,米，然后设米, 则米，从而分别在 和 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点, 由题意得：米,米, 设米, 则米, 在中, 米, 在 中, ∴(米), ， 解得： (米) ∴电池板离地面的高度的长约为米， 故答案为：． 三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题 6 分，共 36 分） 17. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上，找到公共解集即可． 【详解】解不等式组： 解： 解不等式①得， 解不等式②得， 将不等式的解集表示在数轴上： 所以不等式组的解集为． 【点睛】本题考查解一元一次方程组、将不等式的解集表示在数轴上，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形． 【详解】解：等腰直角如图所示： 20. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． （1）你添加的条件是_________（填序号）； （2）添加条件后，请证明为矩形． 【答案】（1）答案不唯一，①或② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取； （2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形． 【小问1详解】 解：①或② 【小问2详解】 添加条件①，为矩形，理由如下： 在中，， 和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形； 添加条件②，为矩形，理由如下： 在中，， 在和中， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为矩形 【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键． 21. 某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ （2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，要求购进空调的数量不能超过电冰箱数量的2倍，问该商城如何进货能使利润最大？ 【答案】（1）每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元 （2）该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元，根据商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等建立方程求解即可； （2）设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元，根据购进空调的数量不能超过电冰箱数量的2倍列出不等式求出a的取值范围，再列出y关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台电冰箱的进价是元，则每台空调的进价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意 ． 答：每台电冰箱与空调的进价分别是2000元和1600元； 【小问2详解】 解：设购进电冰箱台，则购进空调的数量是台，这100台家电的销售总利润为元， 由题意得，， 解得（为整数）． ， ， 随的增大而减小， 当时，值最大，此时购进空调的数量是台， 答：该商城购进电冰箱34台、空调66台时利润最大． 22. 为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 应用数据】 （4）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）估计该校需准备大约份奖品． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）根据组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出的值； （）根据（）中的值补图即可； （）用乘以D组人数的占比即可求解； （）用4000乘以分以上(含分)的人数占比即可求解． 【详解】（）解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； （）解：补全条形统计图如下： （）解：， 故答案为：； （）解：， 答：估计该校需准备大约份奖品． 四、解答题（23题、24题每题8分，25题10分，26题每题10分，共36分） 23. 如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等角对等边，直径所对的圆周角为直角，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角平分线性质，和等角对等边可得，即可得出，再根据，可推出，即可证明是的切线． （2）由（1）可得，，根据三角函数可得，，进而得出，根据直径所对的圆周角为直角，，可推出，再根据等角对等边，可得，，进而证明，，代入数值即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 解得． 24. 如图1，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）图见解析；函数的性质：当时，随的增大而减小；函数的性质：当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题考查是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式， （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：，，， 当时，，， ∴ ∵的面积为，即， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：如图，，的图象如下： 函数的性质：当时，随的增大而减小； 函数的性质：当时，随的增大而减小 【小问3详解】 解：当时，，解并检验得：​或 由图象可得：当时，或 25. 【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． （1）【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； （2）【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3）3或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，分类讨论等，掌握性质和判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）的数量关系不成立，位置关系成立，证明即可； （3）分两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：的数量关系不成立，位置关系成立． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵在中，， ∴， ①当时，如图， ∵, ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 26. 如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$