专题1 全等三角形判定的常考模型 -2025-2026学年八年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】同步练习课后作业（人教版）

专题1 全等三角形判定的常考模型 类型一 平移模型 【例1】（2021秋•溧阳市期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠F． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）AD＝BE，BC∥EF． 【分析】（1）直接根据全等三角形判定的“SAA”定理即可证得△ABC≌△DEF； （2）根据全等三角形的性质得到AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，由线段的和差及平行线的判定即可得到AD＝BE，BC∥EF． 【详解】证明：（1）在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF， ∴AB﹣BD＝DE﹣BD，BC∥EF， ∴AD＝BE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定定理，根据全等三角形判定的“SAA”定理证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 【针对训练】 1．（2023春•温州期中）已知如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，AC∥DF，请你再添加一个条件　AC＝DF　 （写一种即可），使得△ABC≌△DEF． 【分析】要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加条件AC＝DF，可以用SAS证明其全等． 【详解】解；添加AC＝DF； ∵AD＝BE， ∴AD+DB＝BE+DB， 即：AB＝DE， ∵AC∥DF， ∴∠A＝∠FDB， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：AC＝DF， 【点睛】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2023春•淮阴区期末）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AC＝DF，AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝88°，求∠F的度数． 【分析】（1）求出AC＝DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF． （2）由（1）全等三角形的性质得到∠F＝∠ACB，根据三角形的内角和定理可求∠ACB，由此可得∠F． 【详解】（1）证明：∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：由（1）可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应角相等． 类型二 对称模型 【典例2】（2024秋•铁岭县期中）图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝30°，求∠D的大小． 【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△BAC与△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（SAS）， ∴∠D＝∠C＝30°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【针对训练】 1．（2024春•兴化市期末）如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA 【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可． 【详解】解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意； B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2024春•吉水县期末）如图，AC与BD相交于点E，∠A＝∠D，EB＝EC． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）若CE＝CD，∠1＝40°，求∠3的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质推出∠1＝∠2，利用AAS证明△ABC≌△DCB即可； （2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵EB＝EC， ∴∠1＝∠2， 在△ABC 和△DCB 中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）； （2）解：∵EB＝EC， ∴∠1＝∠2＝40°， ∴∠CED＝∠1+∠2＝80°， ∵CE＝CD， ∴∠D＝∠CED＝80°， ∴∠3＝180°﹣80°﹣80°＝20°． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 模型三 旋转模型 【典例3】（2021秋•诸暨市期中）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE． （1）求证：△BAE≌△DAC； （2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数． 【分析】（1）根据题意由∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，即可求证； （2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由内角和为180°即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△BAE≌△DAC （SAS）； （2）解：∵△BAE≌△DAC， ∴∠E＝∠C， ∵∠CAD＝125°，∠D＝20°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAD+∠D）＝180°﹣（125°+20°）＝35°， ∴∠E＝35°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定的条件是解决问题的关键． 【针对练习】 1．（2024•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证： （1）BH＝DE． （2）BH⊥DE． 【分析】（1）根据正方形的性质可得BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，然后求出∠BCH＝∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH＝∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB＝∠BCD＝90°，再根据垂直的定义证明即可． 【详解】证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中， BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°， ∴∠BCD+∠DCH＝∠ECH+∠DCH， 即∠BCH＝∠DCE， 在△BCH和△DCE中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH＝DE； （2）∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH＝∠CDE， 又∵∠CGB＝∠MGD， ∴∠DMB＝∠BCD＝90°， ∴BH⊥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 2．（2024•泸县模拟）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得结论． 【详解】证明：∵∠ACB+∠ACF＝∠ACF+∠AED＝180°， ∴∠ACB＝∠AED， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024•五华区模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【分析】根据∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，再根据SAS即可证明． 【详解】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是通过∠BAD＝∠CAE得出∠BAC＝∠DAE． 模型四 一线三等角模型 【典例4】（2023秋•海珠区期中）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）直接写出OA•OB的值； （2）求点C坐标； （3）若点A，B是x，y轴正半轴上的动点，BQ，AQ分别是∠ABy和∠BAx的角平分线，交点为Q，求∠Q的大小． 【分析】（1）求出OA＝4，OB＝3，则可得出答案； （2）由∠AOB＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，想到作CD⊥x轴于点D，构造“一线三直角”模型，证明△CDA≌△AOB，得DC＝OA＝4，DA＝OB＝3，则OD＝7，即可求得C（7，4）； （3）由三角形内角和定理可得出答案． 【详解】解：（1）∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴OA•OB＝12； （2）作CD⊥x轴于点D， 则∠CDA＝∠AOB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝∠OBA＝90°﹣∠OAB， 在△CDA和△AOB中， ， ∴△CDA≌△AOB（AAS）， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴DC＝OA＝4，DA＝OB＝3， ∴OD＝OA+DA＝4+3＝7， ∴C（7，4）． （3）如图， ∵BQ平分∠ABy，AQ平分∠BAx， ∴∠QBA（180°﹣∠OBA），， ∴∠QBA+∠BAQ＝180°（∠OBA+∠OAB）＝180135°， ∴∠Q＝180°﹣∠QBA﹣∠BAQ＝45°． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【针对训练】 1．（2023春•通州区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD＝AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDB＝90°，CD＝5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC＝BC，∠ACB＝90°．请直接写出点B和点C的坐标． 【分析】（1）先证∠EAC＝∠DCB，再依据“AAS”可判定△ACE和△CBD全等，进而可得出结论； （2）过点A作AE⊥CD于点E，由（1）可知△ACE≌△CBD（AAS），从而得CD＝AE＝5，据此可求出△ACD的面积； （3）分两种情况进行讨论：①当点C在x轴的负半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E，由（1）可知△ACE和△CBO全等，从而AE＝OC＝5，CE＝OB，据此可求出点B，C的坐标；②当点C在x轴的正半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E，由（1）可知△ACE≌△CBO（AAS），从而得AE＝OC＝5，CE＝OB，据此可求出点B，C的坐标． 【详解】（1）证明：∵AE⊥CD，BD⊥CD， ∴∠AEC＝∠CDB＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝90°， ∴∠EAC＝∠DCB， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（AAS）， ∴AE＝CD， 即：CD＝AE． （2）解：过点A作AE⊥CD于点E， 由（1）可知：△ACE≌△CBD（AAS）， ∴CD＝AE＝5， ∴． （3）点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）．理由如下： 分两种情况进行讨论： ①当点C在x轴的负半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， ∵点A（﹣2，﹣5）， ∴AE＝5，OE＝2， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴CE＝OC﹣OE＝5﹣2＝3， ∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（﹣5，0）； ②当点C在x轴的正半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴OB＝CE＝OC+OE＝5+2＝7， ∴点B的坐标为（0，7），点C的坐标为（5，0）． 综上所述：点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，难点利用类比思想解答（2）和（3），第（3）小题的分类讨论是解答此题的易错点之一． 2．（2023春•海门市期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC＝AE． [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　50　 ． [深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，则△ADG的面积为 　63　 ． 【分析】[模型呈现]证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC＝AE； [模型应用]根据全等三角形的性质得到AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CG＝BG＝3，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到DP＝AF＝12，EQ＝AF＝12，AP＝BF，AQ＝CF，证明△DPG≌△EQG，得到PG＝GQ，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝90°， ∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝AE； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH， ∴AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CG＝BG＝3， 则S实线围成的图形（4+6）×（3+6+4+3）3×63×63×43×4＝50， 故答案为：50； [深入探究]过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA， ∴DP＝AF＝12，EQ＝AF＝12，AP＝BF，AQ＝CF， 在△DPG和△EQG中， ， ∴△DPG≌△EQG（AAS）， ∴PG＝GQ， ∵BC＝21， ∴AQ+AP＝21， ∴AP+AP+PG+PG＝21， ∴AG＝AP+PG＝10.5， ∴S△ADQ10.5×12＝63， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 3．（2024秋•泰安期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），△ABC为等边三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌　△CFD　 ． 【模型应用】（2）如图（2），正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A，C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 　3　 ． 【模型变式】（3）如图（3）所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△BDE≌△CFD； （2）由“AAS”可证△ABE≌△BCF，可得AE＝BF＝1，BE＝CF＝2，即可求解； （3）由“AAS”可证△ACD≌△CBE，可得CE＝AD＝6cm，CD＝BE，即可求解． 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠EDF＝60°， ∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠CDF， ∴∠BED＝∠CDF， 又∵BD＝CF， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， 故答案为：△CFD； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵AE⊥EF，CF⊥EF， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝2， ∴EF＝3， 故答案为：3； （3）∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 类型五 半角模型 【典例5】（2024秋•金乡县月考）（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　 ； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【分析】（1）由△EAF≌△GAF推出EF＝FG，结合DG＝BE，FG＝DG+DF＝BE+DF，即可的得到结论； （2）根据题意易证△ABE≌△ADG（SAS），推出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，然后利用∠EAF＝60°，∠BAD＝120°，以及角的和差关系得到∠GAF＝60°，从而证明△EAF≌△GAF（SAS），推出EF＝FG，结合FG＝DG+DF＝BE+DF，即可得到结论； （3）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据∠B+∠D＝180°，推出∠B＝∠ADG，易证△ABE≌△ADG（SAS），推出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，然后利用，以及角的和差关系得到∠EAF＝∠GAF，从而证明△EAF≌△GAF（SAS），推出EF＝FG，结合FG＝DG+DF＝BE+DF，即可得到结论． 【详解】解：（1）根据小王同学的思路知△AEF≌△AGF， ∴EF＝GF， 又∵DG＝BE， ∴GF＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF， 又∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°， ∴∠GAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝120°﹣60°＝60°， ∴∠EAF＝∠GAF＝60°， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （3）结论EF＝BE+DF仍然成立，理由如下： 如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 【点睛】本题考查了三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【针对训练】 1．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解． 【解析】 【分析】 （1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案； （3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】 （1）解：，理由如下： 延长CD，使DM=BE，连接AM， ∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°， ∴， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵， ∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°， ∴∠EAF=∠MAF=45°， 又∵AF=AF，AE=AM， ∴， ∴EF=MF=MD+DF=BE+DF； （2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图， ∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG＝90°， ∵BE＝DG，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD， ∵， ∴∠EAF＝∠FAG， 又∵AF＝AF，AE＝AG， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF； （3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下： 如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD． ∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF． ∵AE＝AE，AG＝AF． ∴△AEG≌△AEF． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE−BG ∴EF＝BE−FD． 【点睛】 本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 全等三角形判定的常考模型 类型一 平移模型 【例1】（2021秋•溧阳市期末）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠F． 求证：（1）△ABC≌△DEF； （2）AD＝BE，BC∥EF． 【针对训练】 1．（2023春•温州期中）已知如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，AC∥DF，请你再添加一个条件　 （写一种即可），使得△ABC≌△DEF． 2．（2023春•淮阴区期末）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AC＝DF，AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝88°，求∠F的度数． 类型二 对称模型 【典例2】（2024秋•铁岭县期中）图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝30°，求∠D的大小． 【针对训练】 1．（2024春•兴化市期末）如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA 2．（2024春•吉水县期末）如图，AC与BD相交于点E，∠A＝∠D，EB＝EC． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）若CE＝CD，∠1＝40°，求∠3的度数． 模型三 旋转模型 【典例3】（2021秋•诸暨市期中）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE． （1）求证：△BAE≌△DAC； （2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数． 【针对练习】 1．（2024•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证： （1）BH＝DE．（2）BH⊥DE． 2．（2024•泸县模拟）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD． 3．（2024•五华区模拟）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 模型四 一线三等角模型 【典例4】（2023秋•海珠区期中）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）直接写出OA•OB的值； （2）求点C坐标； （3）若点A，B是x，y轴正半轴上的动点，BQ，AQ分别是∠ABy和∠BAx的角平分线，交点为Q，求∠Q的大小． 【针对训练】 1．（2023春•通州区期末）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD＝AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDB＝90°，CD＝5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC＝BC，∠ACB＝90°．请直接写出点B和点C的坐标． 2．（2023春•海门市期末）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC＝AE． [模型应用]如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　 ． [深入探究]如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，则△ADG的面积为 　 ． 3．（2024秋•泰安期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），△ABC为等边三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，则△BDE≌　 　 ． 【模型应用】（2）如图（2），正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A，C作AE⊥l于E，CF⊥l于F．若AE＝1，CF＝2，则EF的长为 　 　 ． 【模型变式】（3）如图（3）所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，DE＝4cm，AD＝6cm，求BE的长． 类型五 半角模型 【典例5】（2024秋•金乡县月考）（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF可得出结论，他的结论应是 　 　 ； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【针对训练】 1．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$