第14章全等三角形章节检测卷培优卷-2025-2026学年人教版数学八年级上册

第14章全等三角形章节检测卷培优卷 （时间100分钟 满分100分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•嘉兴期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•南京期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c 3．（2024秋•新安县期末）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024•武威二模）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．∠AFB 5．（2023秋•武汉期中）如图，平面直角坐标系中，直线EA⊥x轴于点A，A（100，0），B、C分别为线段OA和射线AE上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线AE方向运动，点B和点C速度之比为2：3，运动到某时刻t秒同时停止，且点D在y轴正半轴上，若△OBD与△ABC全等，则点D的坐标为（　　） A．（0，20）或（0，40） B．（0，20）或（0，75）C．（0，40）或（0，75） D．（0，25）或（0，40） 6．（2023秋•盖州市期中）在△ABC中，线段AD是∠BAC的角平分线、AM是BC边上的中线，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，则AC长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2023秋•铁锋区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　） A．7 B．6 C．4 D．2 8．（2023秋•开州区期中）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．41° 9．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2023春•通州区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝4，BC＝3，DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，，则五边形ABCDE的面积等于（　　） A．16 B．20 C．24 D．26 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2022秋•盐池县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是 　 ． 12．（2022春•福山区期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC＝70°，则∠AHB的度数为 　 　 ． 13．（2023秋•鼓楼区期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为 　 ． 14．（2023春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　 ． 15．（2021秋•大名县期中）如图，点D在BC上，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．若∠1+∠2＝108°，则∠ABC的度数是　 　 ． 16．（2024秋•怀柔区期末）如图在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．连接BD，AE，交于点F．以下四个结论：①BD＝AE；②BD⊥AE；③∠AEC+∠DBC＝45°；④FC平分∠BFE，其中结论正确有 　 　 ．（写序号） 三．解答题（共6小题，共46分） 17．（8分）（2023春•如东县月考）如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限的角平分线OC上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则： （1）点P的坐标为多少？ （2）OA+OB的值为多少？ 18．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DFE．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题： （1）如图②、图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论； （2）请选择（1）中任意一种结论进行证明． 19．（8分）（2023•道外区二模）已知四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AB＝CD，∠ABE＝∠DCE． （1）如图1，求证：∠EBC＝∠ECB； （2）如图2，延长BA，延长CD相交于点F，若点D是CF的中点．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADF面积的2倍． 20．（8分）（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　 　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 21．（6分）（2024秋•禹州市期中）如图所示，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，在边AC上截取AF＝AB，连接DF．已知∠DAF＝115°，∠BAE＝50°，∠D＝∠C．求证：DF＝CB． 22．（8分）（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE． （1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE； （2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章全等三角形章节检测卷培优卷 （时间100分钟 满分100分） 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2024秋•嘉兴期中）下列各组的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项不符合题意； B、两个图形能够完全重合，故本选项符合题意． C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项不符合题意； D、圆内两个正方形不能完全重合，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 2．（2024•南京期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为（　　） A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c 【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c； 【详解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°， ∴∠A＝∠C，∵AB＝CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b， ∵EF＝c， ∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2024秋•新安县期末）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【详解】解：①∵∠C＝∠D，AC＝AD，AB＝AE， ∴△ABC和△AED不一定全等， 故①不符合题意； ②∵∠C＝∠D，AC＝AD，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， 故②符合题意； ③∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB， ∴∠CAB＝∠DAE， ∵∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（ASA）， 故③符合题意； ④∵∠B＝∠E，∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（AAS）， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．（2024•武威二模）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（　　） A．∠EDB B．∠BED C．2∠ABF D．∠AFB 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案． 【详解】解：在△ABC和△DEB中，， ∴△ABC≌△DEB （SSS）， ∴∠ACB＝∠DBE． ∵∠AFB是△BFC的外角， ∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB， ∠ACB∠AFB， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 5．（2023秋•武汉期中）如图，平面直角坐标系中，直线EA⊥x轴于点A，A（100，0），B、C分别为线段OA和射线AE上的一点，若点B从点A出发向点O运动，同时点C从点A出发沿射线AE方向运动，点B和点C速度之比为2：3，运动到某时刻t秒同时停止，且点D在y轴正半轴上，若△OBD与△ABC全等，则点D的坐标为（　　） A．（0，20）或（0，40） B．（0，20）或（0，75） C．（0，40）或（0，75） D．（0，25）或（0，40） 【分析】设AB＝2t，则AC＝3t，使△OBD与△ABC全等，分两种情况，△ABC≌△ODB或△ABC≌△OBD，根据OB+AB＝100，即可求解． 【详解】解：依题意，设AB＝2t，则AC＝3t， ∵A（100，0）， ∴OA＝100， ∵∠CAB＝∠BOD＝90°，使△OBD与△ABC全等， 分两种情况，当△ABC≌△ODB时， ∴OD＝AB＝2t，OB＝AC＝3t， ∴OB+AB＝100， 即2t+3t＝100， 解得：t＝20， ∴OD＝2t＝40， 当△ABC≌△OBD时， ∴OD＝AC＝3t，OB＝AB＝2t， ∴OB+AB＝100， 即2t+2t＝100， 解得：t＝25， ∴OD＝3t＝75， 综上所述，D（0，40）或（0，75）． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，涉及到坐标与图形的性质，全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 6．（2023秋•盖州市期中）在△ABC中，线段AD是∠BAC的角平分线、AM是BC边上的中线，DE垂直于AB，已知：S△ABM＝4.5，DE＝2，AB＝5，则AC长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】过D点作DF⊥AC于F点，如图，先利用三角形面积公式得到S△ABC＝2S△ABM＝9，再根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，S△ABD+S△ACD＝S△ABC，然后根据三角形面积公式，利用S△ABD+S△ACD＝S△ABC可求出AC的长． 【详解】解：过D点作DF⊥AC于F点，如图， ∵AM是BC边上的中线， ∴S△ACM＝S△ABM， ∴S△ABC＝2S△ABM＝2×4.5＝9， ∵线段AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴5×2AC×2＝9， 解得AC＝4． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 7．（2023秋•铁锋区校级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，过点B作射线BF，在射线BF上取一点E，连接AE，使得∠CBF＝∠CAE，过点C作射线BF的垂线，垂足为D，若DE＝2，AE＝4，则BD的长度为（　　） A．7 B．6 C．4 D．2 【分析】连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M，利用全等三角形的性质证明BD＝AM，DE＝EM即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CE，过点C作CM⊥AE交AE于M． ∵CD⊥BF，CM⊥AM， ∴∠CDB＝∠M＝90°， 在△CDB与△CMA中， ， ∴△CDB≌△CMA（AAS）， ∴CM＝CD，BD＝AM， ∵∠M＝∠CDE＝90°， 在Rt△CED与Rt△CEM中， ， ∴Rt△CED≌Rt△CEM（HL）， ∴DE＝EM＝2， ∴BD＝AM＝AE+EM＝AE+DE＝2+4＝6， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8．（2023秋•开州区期中）如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE的度数为（　　） A．38° B．39° C．40° D．41° 【分析】连接AE、BD，证△DAB≌△BCF，得出BD＝BF，根据等腰三角形的性质推出∠BDF＝∠BFD，求出∠AFE＝∠BFD＝45°，再根据角的和差即可求出答案． 【详解】解：连接BD、AE， ∵DA⊥AB，FC⊥AB， ∴∠DAB＝∠BCF＝90°， 在△DAB和△BCF中， ， ∴△DAB≌△BCF（SAS）， ∴BD＝BF，∠ADB＝∠ABF， ∴∠BDF＝∠BFD， ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADB+∠DBA＝90°， ∴∠DBF＝∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠BFD＝∠BDF＝45°， 同理∠AFE＝45°， ∵∠AFB＝51°， ∴∠DFE＝45°+45°﹣51°＝39°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的应用，关键是推出∠BDF＝∠BFD，题目比较好，但是有一定的难度． 9．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°；②AC＝BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】先证明△OAC≌△OBD（SAS），∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，则可对②进行判断；利用三角形内角和得到∠AMB＝∠AOB＝36°，则可对①进行判断，过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，则根据角平分线的性质定理的逆定理得到MO平分∠AMD，然后根据三角形内角和可判断∠AOM≠∠DOM，于是可对③④进行判断． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确； ∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2， 而∠1＝∠2， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确； 过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图， ∵△OAC≌△OBD， ∴OE＝OF， ∴MO平分∠AMD，所以④正确； 而∠OAM≠ODM， ∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△OAC≌△OBD是解决问题的关键． 10．（2023春•通州区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE＝4，BC＝3，DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，，则五边形ABCDE的面积等于（　　） A．16 B．20 C．24 D．26 【分析】将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B＝∠AED＝90°，得∠DEF＝180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论； 【详解】解：如图，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AEF， 则AF＝AC，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°， ∴∠DEF＝180°， 即点D，E，F三点共线， ∵， ∴∠BAC+∠DAE＝∠DAE+∠EAF， ∴∠CAD＝∠FAD， 在△ACD和△AFD中， ， ∴△ACD≌△AFD（SAS）， ∴S△ACD＝S△AFD＝S△AED+S△ABC， ∴S五边形ABCDE＝2S△ACD＝20； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2022秋•盐池县期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是 　 ． 【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积． 【详解】解：由作法得AG平分∠BAC， ∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1， 所以△ACG的面积4×1＝2． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 12．（2022春•福山区期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC＝70°，则∠AHB的度数为 　35°　 ． 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：BD＝BC＝AE＝AF，CD＝EF．可证△CDB≌△FAE，所以∠CBA＝∠BAF＝70°，可得AF∥CB．所以∠FAH＝∠AHB．由于AH平分∠BAF，所以．即：∠AHB＝∠FAH＝35°． 【详解】解：连接CD，EF， 由题目中尺规作图可知：BD＝BC＝AE＝AF，CD＝EF， 在△CDB和△FAE中， ， ∴△CDB≌△FAE（SSS）， ∴∠CBA＝∠EAF＝70°， ∴AF∥CB， ∴∠FAH＝∠AHB， ∵AH平分∠BAF， ∴， ∵∠AHB＝∠FAH， ∴∠AHB＝35°； 故答案为：35°． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 13．（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为 　12.5　 ． 【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则，当BE⊥BC时，S△BEC取最大值，即S△BDC取最大值． 【详解】解：如图：延长AB，CD交点于E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AE，DE＝CD； ∵AC﹣AB＝5， ∴AE﹣AB＝5，即BE＝5； ∵DE＝DC， ∴， ∴当BE⊥BC时，S△BEC取最大值，即S△BDC取最大值． S△BDC． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 14．（2023春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　8　 ． 【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积． 【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F， ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥BA， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵DE＝2， ∴EF＝2， ∵BC＝8， ∴S△BCE8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长． 15．（2021秋•大名县期中）如图，点D在BC上，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．若∠1+∠2＝108°，则∠ABC的度数是　72°　 ． 【分析】由平角的定义求出∠ADE＝70°，由AAS证明△ABC≌△ADE，得出对应角相等即可求出答案． 【详解】解：∵∠1+∠2＝108°， ∴∠ADE＝72°， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴∠ABC＝∠ADE＝72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 16．（2024秋•怀柔区期末）如图在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．连接BD，AE，交于点F．以下四个结论：①BD＝AE；②BD⊥AE；③∠AEC+∠DBC＝45°；④FC平分∠BFE，其中结论正确有 　①②④　 ．（写序号） 【分析】①先证明∠BCD＝∠ACE，再依据“SAS”判定△BCD和△ACE全等，然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断； ②设BD与AC交于点H，则∠CAE+∠AHF+∠AFH＝180°，根据△BCD和△ACE全等得∠CBD＝∠CAE，则∠CBD+∠AHF+∠AFH＝180°，然后根据∠CBD+∠BHC+∠ACB＝180°，∠AHF＝∠BHC得∠AFH＝∠ACB＝90°，由此可对结论②进行判断； ③假设∠AEC+∠DBC＝45°，则∠AEC+∠EAC＝45°，根据∠ACE+∠AEC+∠EAC＝180°，∠ACE＝∠ACD+90°得∠ACD＝45°，但是根据已知条件无法判定∠ACD＝45°，由此可对结论③进行判断； ④过点C作CM⊥BD于点D，CN⊥AC于点N，根据△BCD和△ACE全等得S△BCD＝S△ACE，BD＝AE，再根据三角形的面积公式可得出CM＝CN，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE， 故结论①正确； ②设BD与AC交于点H，如图1所示： 在△AHF中，∠CAE+∠AHF+∠AFH＝180°， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∴∠CBD+∠AHF+∠AFH＝180°， 在△BCH中，∠CBD+∠BHC+∠ACB＝180°， ∵∠AHF＝∠BHC， ∴∠AFH＝∠ACB＝90°， ∴BD⊥AE， 故结论②正确； ③假设∠AEC+∠DBC＝45°， ∵∠DBC＝∠EAC， ∴∠AEC+∠EAC＝45°， 在△ACE中，∠ACE+∠AEC+∠EAC＝180°， ∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠ACD+90°， ∴45°+∠ACD+90°＝180°， ∴∠ACD＝45°， 根据已知条件无法判定∠ACD＝45°， 故结论③不正确； ④过点C作CM⊥BD于点D，CN⊥AC于点N，如图2所示： ∵△BCD≌△ACE， ∴S△BCD＝S△ACE，BD＝AE， ∵S△BCDBD•CM，S△ACEAE•CN， ∴CM＝CN， ∴点C在∠BFE的平分线上， ∴FC平分∠BFE， 故结论④正确， 综上所述：结论正确有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键． 三．解答题（共6小题，共46分） 17．（8分）（2023春•如东县月考）如图，已知点P（2m﹣1，6m﹣5）在第一象限的角平分线OC上，一直角顶点与点P重合，角的两边与x轴、y轴分别交于A点，B点，则： （1）点P的坐标为多少？ （2）OA+OB的值为多少？ 【分析】（1）作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，由角平分线的性质得出PE＝PF，得出方程2m﹣1＝6m﹣5，解方程求出m＝1，即可得出P点坐标； （2）由ASA证明△BEP≌△AFP，得出BE＝AF，则OA+OB＝OE+OF＝2． 【详解】解：（1）作PE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，如图所示： 根据题意得：PE＝PF， ∴2m﹣1＝6m﹣5， ∴m＝1， ∴P（1，1）， ∴点P的坐标为（1，1）； （2）由（1）得：∠EPF＝90°， ∵∠BPA＝90°，PE＝PF＝1， ∴∠EPB＝∠FPA， 在△BEP和△AFP中， ， ∴△BEP≌△AFP（ASA）， ∴BE＝AF， ∴OA+OB＝OF+AF+OE﹣BE＝OF+OE， ∵P（1，1）， ∴OE＝OF＝1， ∴OA+OB＝2． ∴OA+OB的值为2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、角平分线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题（2）的关键． 18．（8分）如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DFE．如图①，易证：BC+BE＝BF．请解答下列问题： （1）如图②、图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论； （2）请选择（1）中任意一种结论进行证明． 【分析】（1）根据图形分别得出答案； （2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论． 【详解】解：（1）图②：BC+BE＝BF， 图③：BE﹣BC＝BF； （2）图②：在△ABC与△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（ASA）， ∴BC＝EF， ∵BE＝BC+CE， ∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF； 图③：在△ABC与△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（ASA）， ∴BC＝EF， ∵BE＝BF+EF， ∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ABC≌△DFE是解题的关键． 19．（8分）（2023•道外区二模）已知四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，AB＝CD，∠ABE＝∠DCE． （1）如图1，求证：∠EBC＝∠ECB； （2）如图2，延长BA，延长CD相交于点F，若点D是CF的中点．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADF面积的2倍． 【分析】（1）证△ABE≌△DCE（AAS），得BE＝CE，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）先证CF＝2CD，S△ACF＝2S△ADF，S△BDF＝S△BCDS△BCF，再证∠ABC＝∠DCB，则BF＝CF＝2CD，然后证点A是BF的中点，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在△ABE与△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）， ∴BE＝CE， ∴∠EBC＝∠ECB； （2）解：S△ACF＝S△BDF＝S△ABC＝S△BCD＝2S△ADF，理由如下： ∵点D是CF的中点， ∴CF＝2CD，S△ACF＝2S△ADF，S△BDF＝S△BCDS△BCF， 由（1）可知，∠EBC＝∠ECB， ∵∠ABE＝∠DCE， ∴∠ABE+∠EBC＝∠DCE+∠ECB， 即∠ABC＝∠DCB， ∴BF＝CF＝2CD， ∵AB＝CD， ∴BF＝2AB， ∴点A是BF的中点， ∴S△ABC＝S△ACF＝2S△ADFS△BCF， ∴S△ACF＝S△BDF＝S△ABC＝S△BCD＝2S△ADF， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 20．（8分）（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　二　 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断； （2）证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2． 【详解】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△DOB和△EOC中， ， ∴△DOB≌△EOC（AAS）， ∴OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠1＝∠2， 方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 21．（6分）（2024秋•禹州市期中）如图所示，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D，在边AC上截取AF＝AB，连接DF．已知∠DAF＝115°，∠BAE＝50°，∠D＝∠C．求证：DF＝CB． 【分析】证明△DAF≌△CAB（AAS）得出DF＝CB即可． 【详解】证明：由题意可得：∠CAE＝65°， ∵∠BAE＝50°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+65°＝115°， ∴∠DAF＝∠CAB， 在△DAF和△CAB中， ， ∴△DAF≌△CAB（AAS）， ∴DF＝CB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 22．（8分）（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE． （1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE； （2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE． 【分析】（1）先证∠DAB＝∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则可得出结论； （2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝BE+CE＝BD+BE； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB， 即∠DAB＝∠EAC， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$