精品解析：贵州省贵阳市第十九中学2024--2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年贵州省贵阳十九中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 3. 水是生物赖以生存的必要物质，经测算，一个水分子的直径约有，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小珍同学参加“感恩祖国”手抄报比赛时，将“遵、道、行、义”四个字设计在如图所示的方格纸中．若建立平面直角坐标系，使“道”“行”的坐标分别为，则“遵”对应的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 11. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 该二次函数图象的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点在该二次函数图象上 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为___________． 14. 已知是一元二次方程，则实数______． 15. 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，则水流的速度为_____________千米/时． 16. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，，平分，F为的中点，连接交于点G，若，，求的长___________． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 18. 已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点在该函数的图象上，求k的值． 19. 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； （2）该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ （3）为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且． （1）求证：； （2）连接，，若时，求证：四边形为菱形． 21. 电影《哪吒•魔童闹海》在寒假票房大卖，随之也带火了周边商品．某网店销售的哪吒的抱枕及玩偶，玩偶的单价比抱枕的单价少15元，花240元购进玩偶的数量是花180元购进抱枕的数量的2倍 （1）求哪吒抱枕和玩偶的单价； （2）某文创店准备在该网店购买哪吒抱枕和玩偶共20个，花费不超过750元，则该文创店最多可以购买多少个抱枕？ 22. 上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） （1）求B，D两地的垂直高度； （2）若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 23. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外． （1）写出一个与相等的角___________； （2）已知，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，当时，求图中阴影部分面积． 24. 贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量y（把）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． （1）根据图象，求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商店决定每销售一把团扇向顾客赠送一件价值为m元的礼物，为确保该种团扇的日销售获得的最大利润为625元，求m的值． 25. 已知矩形，．点是上一点． （1）【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； （2）【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年贵州省贵阳十九中九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：B． 2. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】，，， ． 故选：D． 3. 水是生物赖以生存的必要物质，经测算，一个水分子的直径约有，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10－n，与较大数的科学记数法不同的是10的指数是负整数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000004＝4×10－7， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10－n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 若，则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质：性质1、等号两边同时加（或减）同一个数或式子，等式仍然成立；性质2、等号两边同时乘（或除）同一个数（除数不能为0）或式子，等式仍然成立．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，本选项不符合题意； B、若，则，本选项不符合题意； C、若，则，本选项不符合题意； D、若，则，必须满足才成立，本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：A，B均为上的点，， ． 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由得， 在数轴上表示如下： 7. 小珍同学参加“感恩祖国”手抄报比赛时，将“遵、道、行、义”四个字设计在如图所示的方格纸中．若建立平面直角坐标系，使“道”“行”的坐标分别为，则“遵”对应的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标．根据“道”“行”的坐标分别为，可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“遵”的坐标即可． 【详解】解：由“道”“行”的坐标分别为，可得如下图的坐标系， 则“遵”的坐标为， 故选：A． 8. 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查利用平均数、方差作决策，先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】解：因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大， 而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量既高又稳定， 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点C的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形对应点坐标的变化规律． 确定位似中心为原点，相似比为，且位似图形在第三象限；根据位似图形对应点坐标的关系，原图形点A的坐标乘以得到位似图形对应点C的坐标． 【详解】解：A、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； B、因为以原点O为位似中心，相似比为，且在第三象限，原图形点的横纵坐标各乘以,得到对应的位似点C的坐标为，此选项符合题意； C、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意； D、点，与计算得到的点C坐标不符，此选项不符合题意． 故选：B． 10. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故选A． 11. 如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 12. 如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是（　　） A. B. 该二次函数图象的对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 点在该二次函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；熟练掌握相关基础知识是解题关键． 由抛物线的开口方向、与y轴的交点位置、对称轴可对A、B进行判断；根据抛物线的增减性可判断C；根据对称性可对D进行判断．进而可得答案． 【详解】解：由图象得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，对称轴为直线， ∴，，，即， ∴，故选项A、B错误，不符合题意； 由图象可得，当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴点在该二次函数图象上，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由一元二次方程的定义可得且，解之即可得解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 15. 一艘轮船从甲码头到乙码头顺流行驶用3小时，从乙码头到甲码头逆流行驶用4小时，已知轮船在静水中的速度为30千米/时，则水流的速度为_____________千米/时． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际问题，设水流的速度为千米/时，利用路程速度时间，结合甲码头到乙码头的航程不变，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设水流的速度为千米/时， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点E为上一点，连接，，平分，F为的中点，连接交于点G，若，，求的长___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由勾股定理可求，通过证明，可得，可求的长，由平行线分线段比例可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ， 设，， ， 为的中点， ， 平分， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简与求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，分式相关运算法则是解题的关键； （1）利用特殊角的三角函数值和整数指数幂化简，再进行加减运算； （2）利用分式的运算法则化简，再求值即可． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 由，得，， 取， 当时，原式． 18. 已知反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大． （1）求k的取值范围； （2）若点在该函数的图象上，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴． 19. 贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； （2）该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ （3）为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 【答案】（1），； 补全条形统计图如下图所示： （2）估计该校学生选择B活动的约有人； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、由样本估计总体、列表法求概率． 由条形统计图可知，选择A的人数有人，由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的，所以可知，本次被调查的学生有人，从而可以求出选择B的人数是人，根据B组的人数补全条形统计图即可； 由可知被调查的人中选择B的人数占，利用样本估计总体可以估计出该学校学生选择B活动的人数大约有人； 列表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种，所以恰好选到两个女生的概率为． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，选择A的人数有人， 由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的， 本次被调查的学生有（人）， ， ， 选择B的人数为（人）； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校学生选择B活动的约有人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种， 恰好选到两个女生的概率为． 20. 如图，在中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且． （1）求证：； （2）连接，，若时，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）先证明，，，，再利用证明即可得到结论； （2）如图，连接，，先证明四边形为平行四边形，再利用可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解本题的关键． 21. 电影《哪吒•魔童闹海》在寒假票房大卖，随之也带火了周边商品．某网店销售的哪吒的抱枕及玩偶，玩偶的单价比抱枕的单价少15元，花240元购进玩偶的数量是花180元购进抱枕的数量的2倍 （1）求哪吒抱枕和玩偶的单价； （2）某文创店准备在该网店购买哪吒抱枕和玩偶共20个，花费不超过750元，则该文创店最多可以购买多少个抱枕？ 【答案】（1）哪吒抱枕的单价为45元，玩偶的单价为30元 （2）10个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设哪吒抱枕的单价为元，根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设该文创店购买个抱枕，根据题意列不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设哪吒抱枕的单价为元，则哪吒玩偶的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， ． 答：哪吒抱枕的单价为45元，玩偶的单价为30元． 【小问2详解】 解：设该文创店购买个抱枕，个玩偶， 由题意得，， 解得， 该文创店最多可以购买10个抱枕． 答：该文创店最多可以购买10个抱枕． 22. 上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） （1）求B，D两地的垂直高度； （2）若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 【答案】（1） （2）40分钟 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作交于点C，利用直角三角形的性质求出，再证明四边形为矩形，可得，再求的长； （2）利用的正弦值，求出的长，再分段计算从山脚A处到达山顶D处需要的时间，相加即可． 【小问1详解】 由题知，于点E，则， 如图，过点B作交于点C， 则， 又，， ， 由可得四边形是矩形， ， ， B，D两地的垂直高度． 【小问2详解】 攀登第一段斜坡所用的时间等于， ，， ， ， 攀登第二段斜坡所用的时间等于， ， 他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 23. 如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外． （1）写出一个与相等的角___________； （2）已知，求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，当时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等求解即可； （2）根据圆周角定理求得，，利用三角形的内角和定理可得，进而有，然后根据切线的判定可得结论； （3）连接，先由锐角三角函数和圆周角定理求得，，则，，进而有，然后利用扇形面积公式和三角形的中线性质求解阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积 ． 【点睛】本题是圆的综合题，涉及切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数、三角形的中线性质和扇形的面积计算等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解答的关键． 24. 贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量y（把）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． （1）根据图象，求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商店决定每销售一把团扇向顾客赠送一件价值为m元的礼物，为确保该种团扇的日销售获得的最大利润为625元，求m的值． 【答案】（1） （2）销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得； （3）根据题意得出，根据日销售获得的最大利润为625元，得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：设（为常数），将点代入得： ， 解得：， 与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为W元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ∵日销售获得的最大利润为625元， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 即． 25. 已知矩形，．点是上一点． （1）【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； （2）【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由尺规作图作角平分线的方法作图即可，结合矩形的性质、角平分线的定义即可得解； （2）先根据勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质推得即可求得； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，反向延长后交延长线于点，结合矩形性质和等腰直角三角形性质证明，结合全等三角形性质求得、，最后证明，由相似三角形的性质即可求得． 【小问1详解】 解：画出的平分线如下图： 矩形中，，， ，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 即， 解得， 经检验是该方程的解， ． 【小问3详解】 解：作交延长线于点，作交延长线于点， 反向延长后交延长线于点， 则四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， 矩形和矩形中， ，，， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、等角对等边、相似三角形的判定与性质、分式方程的实际应用、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $