精品解析：甘肃省天水市武山县马力中学　2024-2025学年下学期5月月考八年级数学试题

2024-2025学年度下学期第二次月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果分式有意义，则x的范围是（ ） A. 一切实数 B. C. D. 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 5. 已知中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A 12 B. 15 C. 18 D. 21 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且交于点F，则长为（ ） A. 13 B. 10 C. 8 D. 6 8. 关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ） A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF 10. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（ ） A. 22 B. 22.5 C. 23 D. 23.5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知平面直角坐标系中点的坐标为，则点在第________象限． 12. 将直线向下平移 2 个单位，所得直线与轴的交点坐标是____． 13. 若，则的值是______． 14. 如图，在中，，若，的面积为6，则的长是_________． 15. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为________秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 解方程：． 20. 如图，平面直角坐标系中，． （1）在图中做出关于轴的对称图形． （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标______________． （3）在轴上是否存在点，使由构成的的周长最小？若存在，标出点的位置；若不存在，说明理由． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 四、解答题（共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在中，，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式解集； （3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点的坐标． 25. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 26. 如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积. 27. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期第二次月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如果分式有意义，则x的范围是（ ） A. 一切实数 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：由分式有意义，得， 解得， 故选：B． 2. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000000076用科学记数法表示为； 故选：A． 3. 已知点和都在直线（为常数）上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质由可得随的增大而减小，即可得到答案. 【详解】解：一次函数（为常数），， 随的增大而减小， 点和都在直线（为常数）上，， ， 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上，点在轴上，若四边形为平行四边形，则的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的几何意义，根据反比例函数的几何意义求出和，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴轴，， ∵点A在函数（）的图象上，点在函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形．熟练掌握平行四边形性质，是解题的关键． 利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件建立方程求解． 【详解】解：中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 6. 如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得，，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点E处，且交于点F，则的长为（ ） A. 13 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 即， 故选：B． 8. 关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】首先解此方程，再根据此方程的解是正数及，即可求解． 【详解】解：去分母，得：， 解得， 此方程的解是正数且， 且， 解得且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键． 9. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ） A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 10. 小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（ ） A. 22 B. 22.5 C. 23 D. 23.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象．熟练掌握行程问题的s—v图象数据，路程与速度和时间的计算，是解题的关键． 由两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为2.5分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值． 【详解】解：由图象可得， 小鹿的速度为（千米/分钟）， 小鹿行完全程的时间为（分钟）， 在休息点休息的时间为（分钟）， 小鹿与小晨的速度差为（千米/分钟）， 小晨的速度为（千米/分钟）， 小晨行完全程的时间为（分钟）， 图书馆到休息点的路程为（千米）， 小晨从休息点到公园的时间为（分钟）， ． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知平面直角坐标系中点的坐标为，则点在第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查象限内点的坐标特征，根据“一全正，三全负，二负正，四正负”判定即可． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 12. 将直线向下平移 2 个单位，所得直线与轴的交点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移，求一次函数与坐标轴的交点，根据“上加下减”确定平移后的解析式，令，建立方程求直线与轴的交点坐标即可． 【详解】直线向下平移 2 个单位，所得直线的解析式为， 令，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 13. 若，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由题意可得，再将所求式子变形，代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，若，的面积为6，则的长是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，先根据三角形的面积公式求，再根据平行四边形的性质得，利用勾股定理求，根据平行四边形的性质可得的长． 【详解】在中，， ∵的面积为6，， ∴，即， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：10． 15. 如图，在中，，P为上一动点，于点E，于点，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 由勾股定理得，，证明四边形是矩形，如图，连接，则，当时，最小，即最小，由，可求，进而可得的最小值． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，连接， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为________秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设运动时间为，根据题意得：，， ①当点F在C的左侧时， ， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时， ， ∵， ∴当时，四边形平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当运动时间为秒或6秒时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 三、解答题（共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，掌握相关的法则是解题的关键． 先算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法． 【详解】解： ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】这道题是一个分式方程，需要通过去分母、移项和求解步骤找到的值，需要特别注意分式方程的增根问题，解出后要验根．本题主要考查了分式方程的求解方法，掌握了分式方程的解法和增根的检验是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 经检验，是原方程的解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）在图中做出关于轴的对称图形． （2）直接写出点关于轴的对称点的坐标______________． （3）在轴上是否存在点，使由构成的的周长最小？若存在，标出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）存在，图见解析． 【解析】 【分析】（1）找到关于轴的对应点，顺次连接即可； （2）结合坐标系写出点关于轴的对称点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，为所求． 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）知：坐标为， ∴关于轴对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 存在，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 点为所求点． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的轴对称和最短路径；能够正确找准各点对称点是解题的关键． 21. 已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的表达式及待定系数法求函数关系式，熟练掌握待定系数法，准确设出函数表达式并代入已知条件列方程组求解是解题的关键．先设出、的表达式，进而得到的表达式，再将已知的、值代入，通过解方程组求出未知系数，确定函数关系式． 【详解】解：设（），（）．则． 当时，，代入可得：①； 当时，，代入可得：②． 由①得，即，将其代入②得 解得． 把代入，得． 所以关于的函数关系式为． 22. 如图，平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）证，再由勾股定理求出，然后由矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵，即， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由（1）知，四边形是矩形． ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为矩形是解此题的关键． 四、解答题（共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 如图，在中，，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到角相等，再结合中点条件，通过证明三角形全等得出对应边相等． （2）先根据平行四边形性质和（1）的结论得出相关线段的关系，再判断三角形的形状，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，即， ，． 点为的中点， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，． 由（1）知， ，即． ∵，是中点， ∴， ，， ． 又， ， 是的中线． ， 是等腰三角形，是中线，根据等腰三角形三线合一，． 在中，，， 根据勾股定理． ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直接写出不等式的解集； （3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质， （1）代入得出，代入得出即可求解； （2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）先求得，表示出，根据三角形面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 ∵图象经过， ∴， ∴反比例函数表达式为：； 将代入得，解得： ∴, 将代入 得， 解得： ∴ 【小问2详解】 由图可得，不等式的解集是或； 【小问3详解】 解：直线与轴交于点， 当时，，解得：， ∴ 设 ∴ ∵的面积为， ∴ ∴ 解得：或 ∴点的坐标为或． 25. 某学校为了全面落实劳动教育，开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳 动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少元，且用元购买甲种工具的数量与用元购买乙种工具的数量相等． （1）求甲、乙两种工具的单价各是多少元？ （2）若该校计划购买甲、乙这两种工具共件，且乙种工具的数量不少于甲种工具数量的一半．求购买这批劳动工具所需的费用最少要多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元 （2）购买这批劳动工具所需的费用最少要元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可； （2）设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元，依题意得，，依题意得：，可求，由，可知随的增大而减小，则当时，有最小值，最小值为元． 【小问1详解】 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是()元， 依题意得，， 解得 ， 经检验：是原分式方程的解， 当时，， 答：甲、乙两种劳动工具的单价分别是元和元； 【小问2详解】 解：设该校计划购买甲种工具件，则购买乙种工具()件，所需总费用为元， 依题意得，， 依题意得：， 解得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，最小值为元， ∴购买这批劳动工具所需的费用最少要元． 26. 如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． （1）求证：； （2）过点作于点，若，求的面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可． （1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵， ∴． 27. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【小问1详解】 解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$