精品解析：2025年6月广东省惠州市惠城区惠台学校第三次初中学业水平模拟考试数学试卷

2025年6月惠州市惠台学校第三次初中学业水平模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. “白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高 记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数表示相反意义的量即可求解，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵茶水温度比低记作， ∴茶水温度比高 记作， 故选： ． 2. 下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．根据中心对称图形的定义结合各图形的特点即可解答． 【详解】解：是在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的有第2个与第4个，即中心对称图形是第二个与第四个，其它两个不是． 故选：B． 3. 一个数用科学记数法表示为，则这个数是（　　） A. 216 B. 2160 C. 21600 D. 216000 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，由平行线的性质得，再根据平角的定义解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、二次根式的化简、积的乘方、单项式除以单项式的法则，分别计算四个选项即可得到． 【详解】解：A、不是同类项，不可以合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故正确． 故选D． 【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、二次根式、乘方、单项式除以单项式需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 6. 在一个不透明布袋里装有4个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据摸到黄球的概率=黄球的数量÷球的总数进行求解即可． 【详解】解：∵从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据概率求数量，解题的关键在于能够熟知摸到黄球的概率=黄球的数量÷球的总数． 7. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ，， D. ， ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据两边之和大于第三边逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴ ， ，不能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵， ∴， ，不能组成三角形，该选项不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； D、∵， ∴不能组成三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 8. 若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：解不等式，得： ， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9. 方程的一个根为2，则另一个根为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到两根之积为，进而求出方程的另一根即可． 【详解】解：∵方程的一个根为 2 ，且两根之积为， ∴另一个根为； 故选：C． 10. 如图，二次函数 的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ① ； ②； ③； ④当 时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a、b、c的符号，再根据函数图象反映的信息逐一分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵对称轴为， ∴，即， ∵图象与y轴交点在正半轴， ∴， ∴ ，故①错误； ②∵点坐标为， ∴，， ∵ ， ∴故②错误； ③当时，， 由图象可知函数经过点， ∴当时，， 故， 即，故③错误； ④∵对称轴为，点， ∴， ∴当 时，或，故④正确； 综上所述，正确的结论只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，此类问题通常先将二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息分析出来是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 把多项式分解因式的结果为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12. 如图，将一副三角板如图放置，已知 ，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角板的特点可得， ， ，根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查三角板中角度的计算，理解三角板的特点，掌握平行线的性质是解题的关键． 13. 如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比，关键是求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值．先求出黑色方砖在整个地板面积中所占面积的比值，根据此比值即可解答． 【详解】解：黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为20， 毽子恰落在黑色方砖上的概率为（A）． 故答案为：． 14. 在中，，D在内，且，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，勾股定理，连接并延长交于点P，根据线段垂直平分线的定义得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出 ，得到的长，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形为矩形，根据矩形的面积公式计算，得到答案． 【详解】如图，连接并延长交于点P． ， 是线段的垂直平分线， ， 在 中，， ， 在中，， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 同理，，，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， 四边形的面积为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，∠ADC=90°，OA=OD． ∵AB=3，AD=4， ∴由勾股定理得：AC= ． ∵ ， ∴DM=． ∵， ∴ ． ∴PE+PF=DM=． 故答案为： 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，有理数的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式． 17. 如图，在中， ， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ， 与交于点．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，， 在 中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图，勾股定理，涉及三角形的内角和定理，正确作出图形，得到 是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤画图即可； （2）根据三角形的内角和定理得到 ，进而利用定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯距地面的高度米，射出的光线与地面的夹角分别是和，求大灯照亮的空间截面的面积．（参考数据：，，，） 【答案】 平方米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，求出 ，在中，求出，再根据面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 在 中，， ，解得：（米）， 在中，， ，解得：（米）， （米）， 故的面积（平方米）． 答：大灯照亮的空间截面的面积为 平方米． 19. 某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A：跑步；B：跳绳；C：做操；D：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）跳绳B对应扇形的圆心角为多少度？ （3）学校在每班A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率． 【答案】(1) 本次共调查了300名学生；(2) ;(3) 【解析】 【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数 （2）先算出B类的总数，再利用B的总数除以总的调查人数在乘以360°即可得到答案 （3）利用画树状图可知一共有十二种结果，而做操”和“跳绳”的结果数为2，即可得到答案 【详解】（1）120÷40%＝300（人）， 所以本次共调查了300名学生； （2）喜欢B类的人数为300﹣120﹣60﹣90＝30（人）， 所以跳绳B对应扇形的圆心角＝360°× ＝36°； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的结果数为2， 所以每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率＝． 【点睛】此题综合考查了扇形统计图，条形统计图，画树状图等，解题关键在于对图形性质的理解 20. 如图，在 中，点P为直径延长线上一点，直线 切 于点D，过点B作，垂足为H，交 于点C，连接． （1）求证：平分． （2）如果，，求的长？ 【答案】（1） 证明：如图，连接， AI ∵直线 切 于点D， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质． （1）连接，根据切线的性质得到 ，根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，得到； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵ 为 的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上一点， ⊥轴于点，一次函数的图象交轴于，交轴于点，并与反比例函数的图象交于两点，连接若△ 的面积为4，且． (1) 分别求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求△的面积. 【答案】；y2=x－2 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴OB＝4 ∵AB⊥x轴 ∴在Rt△AOB中，AB＝OB ∴A（4，2）.................2分 代入 k=8 ∴ .................3分 将A（4，2） D（0，-2）代入y2=ax+b中 ∴ .................5分 ∴y2="x-2" .................6分 （2） ∵y=x-2 令y=0 ∴x=2 ∴C(2,0) .................8分 ∴BC＝4-2＝2.................9分 ∴ .................10分 （1）通过△AOD的面积为4和tan∠AOB=求得A点坐标，从而求得反比例函数的解析式，即用待定系数法求得一次函数的解析式 （2）通过一次函数求得C点坐标,即可求得BC长，从而求得△ABC的面积 22. 给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点．如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离，在平面直角坐标系中，为坐标原点． （1）点的坐标为，则点和射线之间的距离为________，点和射线之间的距离为________． （2）如果直线和抛物线之间的距离为，那么________；（可在图中进行研究） （3）点的坐标为．将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形． ①请在图中画出图形，并描述图形的组成部分：（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ②将射线组成的图形记为图形 ，抛物线 与图形的公共部分记为图形，请直接写出图形 和图形之间的距离． 【答案】（1），； （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）点与射线的距离就是点到的距离，点与的距离是长； （2）根据过点与平行的直线与抛物线只有一个公共点，则化简后的一元二次方程的左边的代数式是完全平方式，可得出点的横坐标的值，从而表示出点和点坐标，进而求得； （3）数形结合：y正半轴到和的距离相等，和在x轴下方上点和，的距离是直线上的点和点的距离是，它们之间的夹角内部和，的距离是该区域内的点和之间的线段的长． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴射线在轴上， ∴点和射线之间的距离为，点和射线之间的距离为， 故答案是：，； 【小问2详解】 如图1，设抛物线与直线之间的距离是点到的距离， 设过点与平行的直线为 ， 由，得， ∴ ， ∴点， ∴， ∴， ∴， 故答案是：； 【小问3详解】 ①如图2，反向延长得射线， 则图形是轴的正半轴，射线及的内部， ②如图2， 与之间距离是抛物线与或的交点到点的长度， 由， 解得或（舍去）， ∴其中一个交点是， ∴图形 和图形之间的距离． 【点睛】本题考查了新定义下的阅读理解，考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质等知识，解决问题的关键是数形结合，观察，猜想和论证． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作探究： （1）如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕，连接 ，折叠 ，点D的对应点为点，过作于点G，则 的长度为______． 迁移探究： 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 操作二：如图②，将正方形纸片的右上角沿折叠，得到点D的对应点； 操作三：如图③，将正方形纸片的左上角沿折叠再展开，折痕与边 交于点P． 问题解决：请在图③中解决下列问题： （2）求证： （3）求证：． 拓展探究： （4）在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿折叠再展开，折痕与边 交于点Q，如图④．试探究：______（直接写出结果，不需证明）． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 将正方形纸片对折可知：， ，， ， ， ， ； （3） 证明：由（2）中结论，设，则， 设，则，， 在中，， ， 解得：，， ； （4） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据勾股定理说明，再证明即可得出结果； （2）连接，将正方形纸片对折可知：，再证明即可； （3）由（2）中结论，设，则，设，则，，在中，根据勾股定理，再列方程求解即可得出结论； （4）由（3）中结论，设，则，，再证明即可． 【小问1详解】 解：在矩形纸片中，由折叠知： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， ， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）中结论， 设，则，， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，相似三角形的判定和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年6月惠州市惠台学校第三次初中学业水平模拟考试 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. “白茶清欢无别事，我在等风也等你．”白茶使用沸水冲泡易使其口感苦涩，冲泡温度通常建议在左右，若茶水温度比低记作，则茶水温度比高 记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 一个数用科学记数法表示为，则这个数是（　　） A. 216 B. 2160 C. 21600 D. 216000 4. 如图，直线，若，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明布袋里装有4个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ，， D. ， ， 8. 若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 9. 方程的一个根为2，则另一个根为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，二次函数 的图象与轴交于 、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ① ； ②； ③； ④当 时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 把多项式分解因式的结果为_______． 12. 如图，将一副三角板如图放置，已知 ，则_________． 13. 如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为__． 14. 在 中，，D在 内，且，E，F，G，H分别是的中点，则四边形的面积为________． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于_____． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，在 中， ， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规作 ， 与交于点．（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的作图下，求证：． 18. 如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯距地面的高度米，射出的光线与地面的夹角分别是和，求大灯照亮的空间截面的面积．（参考数据：，，，） 19. 某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A：跑步；B：跳绳；C：做操；D：游戏，全校学生都选择了一种形式参与活动，小明对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，并绘制了不完整的两幅统计图（如图）： （1）本次共调查了多少名学生？ （2）跳绳B对应扇形的圆心角为多少度？ （3）学校在每班A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，求每班抽取的两种形式恰好是“做操”和“跳绳”的概率． 20. 如图，在中，点P为直径延长线上一点，直线 切于点D，过点B作，垂足为H，交于点C，连接． （1）求证：平分． （2）如果，，求的长？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数图象上一点，⊥轴于点，一次函数的图象交轴于，交轴于点，并与反比例函数的图象交于两点，连接若△ 的面积为4，且． (1) 分别求出该反比例函数和一次函数的解析式； (2) 求△的面积. 22. 给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点．如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离，在平面直角坐标系中，为坐标原点． （1）点 的坐标为，则点和射线之间的距离为________，点和射线之间的距离为________． （2）如果直线和抛物线之间的距离为，那么________；（可在图 中进行研究） （3）点的坐标为．将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形． ①请在图 中画出图形，并描述图形的组成部分：（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） ②将射线组成的图形记为图形 ，抛物线 与图形的公共部分记为图形 ，请直接写出图形 和图形 之间的距离． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作探究： （1）如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕，连接 ，折叠 ，点D的对应点为点，过作于点G，则 的长度为______． 迁移探究： 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 操作二：如图②，将正方形纸片的右上角沿折叠，得到点D的对应点； 操作三：如图③，将正方形纸片的左上角沿折叠再展开，折痕与边交于点P． 问题解决：请在图③中解决下列问题： （2）求证： （3）求证：． 拓展探究： （4）在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿折叠再展开，折痕与边交于点Q，如图④．试探究：______（直接写出结果，不需证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $