精品解析：陕西省安康市平利县大贵镇初级中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024～2025学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数 学 说明： 1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 下列二次根式能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，与不能合并，不合题意； B．，与不能合并，不合题意； C．，与能合并，符合题意； D．，与不能合并，不合题意； 故选C． 2. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（ ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是．   故选： B． 3. “勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加法，二次根式乘法，根据各自的运算法则计算并一一判断即可． 【详解】A. 与不是同类二次根式，不可以相加，故原计算不正确，此选项不符合题意； B. 与不是同类二次根式，与不可以相减，故原计算不正确，此选项不符合题意； C. ，原计算正确，此选项符合题意； D. ，故原计算不正确，此选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，若，则平行四边形的面积为（ ） A. 60 B. 65 C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 先由平行四边形得到，然后对运用勾股定理求高，即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为， 故选：A． 6. 某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策、引起店主最关注的统计量是众数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 7. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人宝宝和贝贝，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，宝宝比贝贝先出发，且速度保持不变，贝贝出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设宝宝行走的时间为，宝宝和贝贝行走的路程分别为()，()，，与的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 宝宝的速度为 C. 贝贝出发后将速度提高到原来的倍 D. 贝贝出发后与宝宝相遇 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象的应用，一元一次方程的应用，根据函数图象逐项分析即可求解，函数图象获取解题有关的信息是解题的关键． 【详解】解：、由函数图象可知，客人距离厨房门口，该选项说法正确，不合题意； 、由函数图象可知，贝贝一开始的速度为，提速之后的速度为， ∴， ∴宝宝的速度为，该选项说法错误，符合题意； 、由函数图象可知，贝贝出发后将速度提高到原来的倍，该选项说法正确，不合题意； 、设贝贝出发后与宝宝相遇， 则， 解得， ∴贝贝出发后与宝宝相遇，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 8. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．则小路的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．由菱形的性质可得，，，由含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：设和交于点O， 由菱形的性质得，，， 菱形的边长为， ， ， ， 故选D． 9. 一次函数中，随的增大而减小，，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝kx＋b中，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵b＞0， ∴此函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 10. 如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 当平分时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据平行四边形的判定、矩形的判定定理、菱形的判定定理、等腰直角三角形的性质逐一进行判断即可得到结论． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，故A正确，符合题意； 平分， ， ， ， ， 四边形为菱形，故B错误，不符合题意； ， ， 四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 为等腰直角三角形， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 即为等腰直角三角形时，只能证明四边形为矩形，故D错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 12. 如图，直线经过点，请写出关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过观察图象求解．由图象得时． 【详解】解：由图象可得当时，， ∴的解集为． 故答案为：． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， ， 故答案为：10 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 15. 如图，四边形是正方形，G是上一点，于点E，交于点F，连接．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 根据正方形的性质以及勾股定理，求出的长，易证，根据正方形的性质再证，得，，所以，根据勾股定理即可求出的值． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【小问1详解】 （1） 【小问2详解】 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分解因式，根据，，可得：、、，把分解因式可得：原式，把各代数式的值分别代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 18. 如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． （1）直接写出直线的函数解析式： ； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查一次函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点代入直线求解即可． （2），求出C，D两点坐标计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线过点，代入得： ， ， ∴直线的函数解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 过点A作轴于点F， 把代入得，， ∴， ， 把代入得，， ∴， ， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为 分； （3）求被抽查学生的平均成绩； （4）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 【答案】（1）补全统计图如下： （2） （3）分 （4）名 【解析】 【分析】（1）用抽取的总人数减去已知等级人数求出等级的人数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据平均数的定义求解即可； （4）用总人数乘以样本中成绩在分及以上的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：等级的人数为：（名）， 【小问2详解】 解：由统计图可知：第、名学生成绩均在等级， 此次测试中被抽查学生成绩的中位数为（分）． 故答案为：； 【小问3详解】 解：被抽查学生的平均成绩为（分）； 【小问4详解】 解：（名）， 故估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数为名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、数据的中位数、平均数、利用样本估计总体，从统计图中获取相关信息是解决本题的关键． 20. 阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等． 如图，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图，延长到E，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点F．（依据） 问题2：求作线段的中点M． … 类型二：构造角平分线 问题3：求作的平分线． 思路：如图，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接，则为的平分线． … 任务： （1）问题1中“依据”的内容是 ． （2）请用无刻度的直尺在图中参照问题1的思路，作线段的中点M．（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图中参照问题3的思路，作的平分线．（保留作图痕迹）． 【答案】（1）平行四边形的对角线互相平分 （2） 如下图，点M即为所求； （3） 如下图， 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的性质是解题关键． （1）首先根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“平行四边形对角线相互平分”，即可证明结论； （2）取格点D、E，使得且，连接，则与的交点即为线段的中点M； （3）首先证明，延长至点，使得，取格点，使得，且，证明四边形为正方形，由正方形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴，即点F为线段的中点． 故答案为：平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 延长至点，如图， ∵， ∴， 取格点，使得，且， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴平分，故即为所求． 21. 项目式学习 项目主题：优化学校食堂餐盒存储方案． 项目背景：学校食堂为节省空间，优化存储．综合实践小组以探究“餐盒叠放高度与数量的关系”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究餐盒叠放的高度与数量的关系研究步骤： 数据测量与记录 餐盒数量（个） 1 3 4 6 9 … 总高度（） 12 18 21 27 36 … 建立模型 操作步骤： （1）①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示餐盒数量x（个），纵轴表示餐盒总高度，将上表中的数据作为坐标点逐一描出，再用平滑的曲线顺次连接起来； ②观察图象特征，判断是什么函数，并求出y与x之间的函数表达式． （2）模型应用与验证 ①实际测量发现，叠放11个餐盒时总高度为，与函数表达式预测值是否一致？并说明理由． ②已知食堂的餐柜每层高度为，计算餐柜每层每列最多能叠放餐盒的数量． 【答案】（1） ①描点并连线如图所示： ②一次函数； （2） ①实际测量值与函数表达式预测值一致．理由如下： 当时，， 实际测量值与函数表达式预测值一致． ②最多叠放13个 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的图象特征及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）①描点并连线即可； ②根据这些点的分布情况判断函数类型，再利用待定系数法求出函数关系式即可； （2）①当时，求出对应值即可； ②根据题意，列关于的一元一次不等式，求出其最大整数值即可． 【小问1详解】 解：①略 ②这些点分布在同一条直线上， 与之间是一次函数， 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①略 ②根据题意，得， 解得， 为非负整数， 餐柜每层每列最多能叠放餐盒13个． 22. 综合与探究 习题再现： 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 数学思考： （1）兴趣小组的作法：如图，取的中点H，连接．请你根据此辅助线写出证明过程． 深入探究： （2）智慧小组提出问题：如图，若点E是线段上任意一点，延长到G使，连接，其它条件不变． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②若正方形的边长为6，E为的三等分点，请你直接写出的长为 ． 【答案】 （1）证明：取中点，连接， 又为的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又交正方形外角的平分线于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①四边形为正方形， 理由：在边上取一点P使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； ②或 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，得出，，进而得到为等腰直角三角形即可得出的值，再利用补角的性质得出，然后根据角平分线的性质求出，最后根据性质判定和全等即可得出答案； （2）①在边上取一点P使，连接，利用证明，得，再证明，得，，所以，进而可得四边形为正方形； ②分两种情况讨论：当时，当时，过点F作的延长线于点H，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）①略 ②当时，如图，过点F作的延长线于点G， ∵正方形的边长， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴； 当时，如图，过点F作的延长线于点， ∵正方形的边长， ∴， ∵为正方形外角的平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数 学 说明： 1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 下列二次根式能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（ ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 3. “勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点，若，则平行四边形的面积为（ ） A. 60 B. 65 C. 30 D. 6. 某店专营某品牌运动鞋，该店老板统计了一周内不同尺码的运动鞋的销售量如图，如果每双鞋的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 7. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人宝宝和贝贝，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，宝宝比贝贝先出发，且速度保持不变，贝贝出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设宝宝行走的时间为，宝宝和贝贝行走的路程分别为()，()，，与的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 宝宝的速度为 C. 贝贝出发后将速度提高到原来的倍 D. 贝贝出发后与宝宝相遇 8. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．则小路的长为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数中，随的增大而减小，，则这个函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在中，点D，E，F分别在三边，，上（不与顶点重合），且满足，，连接．下列说法一定正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 当平分时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 当为等腰直角三角形时，四边形为正方形 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________． 12. 如图，直线经过点，请写出关于x的不等式的解集为__________． 13. 如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为_____． 14. 如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 15. 如图，四边形是正方形，G是上一点，于点E，交于点F，连接．若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知，，求的值． 18. 如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． （1）直接写出直线的函数解析式： ； （2）求四边形的面积． 19. 月日，某校开展以“珍爱地球人与自然和谐共生”为主题的竞赛活动，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取了名学生的成绩进行整理，绘制如下统计图： （1）补全统计图； （2）此次测试中被抽查学生成绩的中位数为 分； （3）求被抽查学生的平均成绩； （4）学校决定，给成绩在分及以上的同学授予“生态保护先锋”称号．根据上面的统计结果，估计该校名学生中将获得“生态保护先锋”称号的人数． 20. 阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探 正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务，如：构造线段上的特殊点或与线段相关的特殊角等． 如图，在正方形网格中，已知线段和的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点F． 思路：如图，延长到E，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点F．（依据） 问题2：求作线段的中点M． … 类型二：构造角平分线 问题3：求作的平分线． 思路：如图，延长到D使得，利用网格构造线段，满足且，连接，则为的平分线． … 任务： （1）问题1中“依据”的内容是 ． （2）请用无刻度的直尺在图中参照问题1的思路，作线段的中点M．（保留作图痕迹）； （3）请用无刻度的直尺在图中参照问题3的思路，作的平分线．（保留作图痕迹）． 21. 项目式学习 项目主题：优化学校食堂餐盒存储方案． 项目背景：学校食堂为节省空间，优化存储．综合实践小组以探究“餐盒叠放高度与数量的关系”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究餐盒叠放的高度与数量的关系研究步骤： 数据测量与记录 餐盒数量（个） 1 3 4 6 9 … 总高度（） 12 18 21 27 36 … 建立模型 操作步骤： （1）①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示餐盒数量x（个），纵轴表示餐盒总高度，将上表中的数据作为坐标点逐一描出，再用平滑的曲线顺次连接起来； ②观察图象特征，判断是什么函数，并求出y与x之间的函数表达式． （2）模型应用与验证 ①实际测量发现，叠放11个餐盒时总高度为，与函数表达式预测值是否一致？并说明理由． ②已知食堂的餐柜每层高度为，计算餐柜每层每列最多能叠放餐盒的数量． 22. 综合与探究 习题再现： 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． 数学思考： （1）兴趣小组的作法：如图，取的中点H，连接．请你根据此辅助线写出证明过程． 深入探究： （2）智慧小组提出问题：如图，若点E是线段上任意一点，延长到G使，连接，其它条件不变． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②若正方形的边长为6，E为的三等分点，请你直接写出的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $